Autour du dernier Th´eor`eme de Fermat Cours de

Autour du dernier Th´ eor` eme de Fermat
Cours de Licence - Module OpA
Thomas Hausberger
mailto :[email protected]
15 Mars 2004
Table des mati`eres
2 Arithm´etique des courbes elliptiques 2
2.1 Motivations ................................. 2
2.2 Courbes planes et singularit´ e....................... 2
2.3 Courbes elliptiques et loi de groupe ................... 2
2.4 Points rationnels et th´ eor` eme de Mordell ................ 2
2.5 Courbes elliptiques et nombres congruents ............... 2
2.6 Courbes elliptiques sur Z/pZ....................... 2
2.7 D´ etermination de E(Q)tors .......................... 2
B Annexes au chapitre deux 2
B.1 Le plan projectif ............................... 2
B.2 Les nombres p-adiques ........................... 2
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2. Arithm´etique des courbes elliptiques
2.1. Motivations
2.2. Courbes planes et singularit´e
2.3. Courbes elliptiques et loi de groupe
2.4. Points rationnels et th´eor`eme de Mordell
2.5. Courbes elliptiques et nombres congruents
2.6. Courbes elliptiques sur Z/pZ
2.7. D´etermination de E(Q)tors
B. Annexes au chapitre deux
B.1. Le plan projectif
B.2. Les nombres p-adiques
B.2.1. Motivation
L’entier 2 n’est pas un carr´ e rationnel, mais si l’on passe de Q` aR, l’´ equation
x2=2 poss` ede deux solutions : ±√2, o `
u√2=1,414213 ···. Cette ´ ecriture est
l’´ ecriture d´ ecimale de √2, tout r´ eel pouvant s’´ ecrire x=±Pn
k=−∞ ak10k, o `
u les ak∈
{0,...,9}(´ ecriture unique, sauf pour les d´ ecimaux o ` u···cn000 ··· et ···(cn−1)999 ···
repr´ esentent le mˆ eme nombre). On peut d´ efinir les r´ eels de cette mani` ere, l’in-
conv´ enient ´ etant la d´ efinition des op´ erations.
Une autre fac¸on de regarder le d´ eveloppement d´ ecimal de √2 est la suivante :
on consid` ere la suite (xn) d´ efinie par x0=1, x1=14/10, x2=141/100, etc... C’est une
suite de Cauchy de rationnels qui n’admet pas de limite dans Qmais converge vers
√2 dans le corps complet R. La d´
efinition moderne des r´ eels passe par les suites de
Cauchy : Rest le compl´ et´ e de Qpour la valeur absolue archim´ edienne |•|. Enfin, les
rationnels xnsont de approximations de √2 de plus en plus fines : |√2−xn| ≤ 10−n.
Consid´ erons maintenant la suite de congruences x2≡2 mod 7npour n=1,2, . . ..
Lorsque n=1, on a deux solutions : x=x1≡ ±3 mod 7. Ce choix fait, les xn
(n≥2) sont uniquement d´ etermin´ es : en effet, supposant xnconstruit (et unique
modulo 7n), alors xn+1v´ erifie ´ egalement x2≡2 mod 7n, donc xn+1≡xnmod 7npar
unicit´ e. On ´ ecrit xn+1=xn+cn7net x2
n−2=dn7n; alors x2
n+1−2≡x2
n−2+2xncn7n
mod 7n+1≡dn7n+2x1cn7nmod 7n+1. Il faut donc que dn+2x1cn≡0 mod 7, ce
qui d´ etermine cnmodulo 7 (x1est inversible modulo 7), donc xn+1modulo 7n+1.
Par exemple, si x1=3, on trouve cn≡dnmod 7, d’o ` u la formule de r´ ecurrence
xn+1≡xn+xn2−2 mod 7n+1.
Que se passe-t-il «` a la limite», lorsque ntend vers l’infini ? La suite (xn) poss` ede-
t-elle une limite ? D’une part, il n’existe pas d’entier xv´ erifiant x2≡2 mod 7npour
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tout n≥1, car x2−2 serait divisible par une puissance arbitraire de 7, ce qui n’est
possible que si x2−2=0. D’autre part, la s´ erie Pcn7n(o ` ucn∈ {0,...,6}) ne converge
pas dans R, au sens usuel, pour la distance issue de la valeur absolue archim´ edienne.
Nous allons d´ efinir les «nombres p-adique»(pour chaque nombre premier p).
L’anneau Zpdes entiers p-adiques contient Z; il est muni d’une distance, la «distance
p-adique»issue de la «valeur absolue p-adique»|•|p. La s´ erie Pcn7nconverge pour
la distance 7-adique ; sa somme, not´ ee x, est un entier 7-adique qui v´ erifie x2=7
dans Z7. L’´ ecriture x=P+∞
n=0cn7nconstitue le «d´
eveloppement 7-adique»de x.
Le corps Qpdes nombres p-adiques est le corps des fractions de Zp; il contient
Q. En fait, on peut ´ egalement l’obtenir par «compl´ etion»de Qpour la distance
p-adique.
B.2.2. Construction de Zp
On consid` ere les Z/pnZ; la projection in:Z→Z/pnZa pour noyau pnZ⊃pn+1Z,
donc factorise ` a travers Z→Z/pn+1Z. Les projections ´ etant surjectives, on obtient
des morphismes surjectifs pn:Z/pn+1ZZ/pnZ.
D´efinition B.2.1. Zpest la limite projective de ce syst`eme, c’est-`a-dire l’ensemble des suites
(x1,x2,...,xn, . . .)∈Z/pZ×Z/p2Z× ··· × Z/pnZ··· qui v´erifient xn=pn(xn+1)pour
tout n ≥1.
On ´ ecrit Zp=lim
←−−
n→+∞
Z/nZ. C’est un sous-ensemble de Qn≥1Z/pnZ, et en fait un
sous-anneau pour les op´ erations h´ erit´ ees (car les projections sont des morphismes
d’anneaux).
On a une inclusion naturelle i:Z→Zp: les morphismes in(n≥1) sont compa-
tibles aux projections pn(i.e. les idagrammes ´ evidents commutent), donc d´ efinissent
un morphisme ipar la formule i(x)=(in(x)) =(xmod pn). Bien qu’aucun des inne
soit injectif, la r´ esultante iest injective : si in(x)=¯ 0 dans Z/pnZpour tout n, alors pn
divise xpour tout n, d’o ` ux=0.
D´ eveloppement p-adique d’un ´ el´ ement de Zp:soit x=(xn)∈Zp, o ` uxn∈Z/pnZ,
et soit ˜ xnle repr´ esentant de xncompris entre 0 et pn−1. Ecrivons pour tout nl’entier
˜
xnen base p:˜ xn=c(n)
0+c(n)
1p+··· +c(n) n−1pn−1, o `
uc(n)
i∈ {0,...,p−1}.
Lemme B.2.1. Pour i ≤n−1,onac(n+1)
i=c(n) i.
En effet, ˜ xn+1≡˜ xnmod pn(puisque xn=pn(xn+1) ; ´ ecrivant ˜ xn+1=˜ xn+pnu, on
montre que u∈ {0,...,p−1}: si u<0, on aurait ˜ xn+1≤˜ xn−pn<0 et si u≥palors
˜
xn+1≥pn+1; c’est impossible. Donc c(n)
0+c(n)
1p+··· +c(n) n−1pn−1+upnest l’´
ecriture en
base pde ˜ xn+1; on conclut par l’unicit´ e de ce dernier.
D´efinition B.2.2. On appelle d´eveloppement p-adique de x la suite infinie des chiffres ci:
(c0,c1,...,cn, . . .), ci∈ {0,p−1}. On note x =c0+c1p+··· +cnpn+··· (`a prendre pour
l’instant comme une ´ecriture formelle).
Nous venons d’associer ` ax∈Zpune suite infinie de chiffres. R´ eciproquement,
´
etant donn´ ee (c0,c1,...,cn, . . .), on lui associe x=(xn)∈Zp, o ` uxnest la classe de
c0+c1p+··· +cn−1pn−1modulo pn. Ces deux constructions sont r´ eciproques l’une de
l’autre : on peut se donner un entier p-adique par son d´ eveloppement p-adique.
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B.2.3. Propri´et´es alg´ebriques de Zp
Lemme B.2.2. Soit x =(xn)∈Zp; alors x est inversible dans Zpsi et seulement si x1,¯ 0.
Preuve : le sens direct est ´ evident ; ´ etant donn´ e un ´ el´ ement inversible x=(xn)
de Zp, la composante x1en particulier est inversible dans Z/pZ, donc non nulle.
R´ eciproquement, soit xtel que x1est inversible dans Z/pZ; nous noterons y1son
inverse. Soit y∈Z/pn+1Zet pn(y) son image par la projection Z/pn+1Z→Z/pnZ;
on a le r´ esultat g´ en´ eral suivant :
Si pn(y) est inversible dans Z/pnZalors yest inversible dans Z/pn+1Z.
En effet, les inversible de Z/pnZsont les ¯ mou (p,m)=1. Soit ˜ yun entier qui
repr´ esente la classe y; par hypoth` ese, la classe pn(y) de ˜ ymodulo pnest inversible,
donc ( ˜ y,p)=1. Par cons´ equent, la classe yde ˜ ymodulo pn+1est ´ egalement inversible.
Cela montre, de proche en proche, que les xnsont inversibles dans Z/pnZ; nous
notons ynles inverses. Montrons que yn=pn(yn+1) : appliquant pn` a l’´ egalit´ exn+1yn+1=
¯
1, on obtient xnpn(yn+1)=¯ 1 et conclut par l’unicit´ e de l’inverse.
Lemme B.2.3. Si x n’est pas inversible dans Zpalors il existe y ∈Zptel que x =py.
R´eciproquement, py n’est pas inversible.
Preuve : D’apr` es le lemme pr´ ec´ edent, si x=(xn) n’est pas inversible, alors x1=0.
Le repr´ esentant de x1dans {0,...,p−1}est donc c0=0 et le d´ eveloppement p-
adique s’´ ecrit c1p+··· +cnpn+··· (somme «formelle»). L’entier p-adique ydont le
d´ eveloppement p-adique est c1+··· +cnpn−1+··· v´ erifie x=py : en effet, xnest la
classe de c1p+···+cn−1pn−1modulo pnet yncelle de c1+··· +cn−1pn−2, donc xn=pyn
pour tout n. R´ eciproquement, py =(¯ 0,¯ py1, . . .) n’est pas inversible.
Lemme B.2.4. Tout x ∈Zp\ {0}s’´ecrit de mani`ere unique sous la forme pny, o`u n ∈Net
y∈Z×
p.
Preuve : D´ emontrons l’existence. Si x∈Z×
p, c’est termin´
e ; sinon, on ´ ecrit x=px1.
Si x1est inversible alors on a gagn´ e, sinon on poursuit : x=p2x2. Ainsi de suite ; le
processus s’arrˆ ete bien : si l’on pouvait ´ ecrire x=pnxnpour tout n, alors on aurait
x=(¯ 0,...,¯ 0, . . .)=0. Pour d´ emontrer l’unicit´ e, on suppose que pny=pmz(avec
n≥m) : comme z=pn−myest inversible, alors n=m; puis y=z.
Proposition B.2.1. Zpest un anneau principal (donc factoriel) dont p est (aux associ´es pr`es)
l’unique ´el´ement irr´eductible. La d´ecomposition pr´ec´edente est la d´ecomposition en produit
d’irr´eductibles.
Preuve : D´ emontrons que Zpest int` egre : ´ etant donn´ es xet x0deux ´ el´ ements non
nuls, il s’agit de montrer que xx0,0. Pour cela, on ´ ecrit x=pnyet x0=pn0y0, o ` uyet y0
sont inversibles, d’inverses zet z0. Alors xx0=pn+n0yy0. Comme (xx0)(zz0)=pn+n0,0,
n´ ecessairement xx0,0.
Soit maintenant Iun id´ eal non nul de Zp. On note nle plus petit entier tel que
pn∈I; prenant x=pmy(yinversible) dans I, alors pm=xy−1∈I, donc nest bien
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d´ efini et l’on a m≥npar d´ efinition de n. Par cons´ equent xest un multiple de pn, ce
qui montre que I=(pn).
Il reste ` a montrer que pest irr´ eductible : si p=xx0, on ´ ecrit les d´ ecompositions
x=pnyet x0=pn0y0; alors p=pn+n0yy0, donc n+n0=1 par unicit´ e. Par cons´ equent
l’un des deux entiers est nul, donc l’un parmi xet x0est inversible.
Remarque. Tout id´ eal est donc de la forme (pn) pour un certain entier n. L’id´ eal
(p) est l’unique id´ eal premier non nul ; il est de plus maximal : on va voir que
Zp/pZp'Z/pZ, qui est un corps (ceci n’a rien d’´ etonnant : un id´ eal premier d’un
anneau principal est maximal).
Lemme B.2.5. La suite de morphismes
0→Zp
α
→Zp
β
→Z/pnZ→0,
o`u αd´esigne la multiplication par pnet β: (xn)7→ xn, est exacte. Autrement dit, αest
injective, ker β=Im αet βest surjective.
Preuve : L’injectivit´ e de αprovient du fait que Zpest int` egre : si pnx=0, alors
x=0.
D´ emontrons que ker β⊂Im α: un ´ el´ ement x=(xn) de ker βa ses npremi` eres
composantes nulles (puisque xn=¯ 0) ; son d´ eveloppement p-adique est donc de
la forme cnpn+cn+1pn+1+···. Soit yl’entier p-adique dont le d´ eveloppement est
cn+cn+1p+··· ; on v´ erifie que x=pny. L’inclusion ker β⊃Im αest ´ evidente.
Enfin, βest surjective : ´ etant donn´ eλ∈Z/pnZ, on pose xn=λ, ce qui d´ efinit xi
pour i<n(xi−1=pi−1(xi)). On utilise la surjectivit´ e des pipour d´ efinir les xilorsque
i>n. On peut donc construire xtel que β(x)=λ.
Corollaire. Zp/pnZp'Z/pnZ.
En effet, ker β=Im α=pnZp.
B.2.4. Propri´et´es topologiques de Zp
Sur Z, on dispose de la valuation p-adique vpd´ efinie comme suit : vp(x) est la
puissance de pqui apparaˆ ıt dans la d´ ecomposition de x,0 en produit de nombres
premiers et vp(0) = +∞. On d´ efinit ensuite la valeur absolue p-adique par |x|p=a−vp(x),
o` ua>1 est un r´ eel fix´ e ; souvent, on choisit a=p(cette normalisation permet d’avoir
la formule du produit : |x|Qp|x|p=1).
On v´ erifie facilement que vp(xy)=vp(x)+vp(y) et que vp(x+y)≥min(vp(x),vp(y))
(avec ´ egalit´ e si vp(x),vp(y)). Ainsi :
–|x| ≥ 0 et |x|p=0⇔x=0 ;
–|x+y|p≤max(|x|p,|y|p) (in´ egalit´ eultram´ etrique, plus forte que l’in´ egalit´ e trian-
gulaire) ;
–|xy|p=|x|p|y|p;
Les trois propri´ et´ es pr´ ec´ edentes constituent la d´ efinition d’une valeur absolue
(ultram´ etrique ou non-archim´ edienne).
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