Groupe de travail d’analyse ultramétrique H A H UY K HOAI Sur le théorème de Morera p-adique Groupe de travail d’analyse ultramétrique, tome 15 (1987-1988), p. 29-34 <http://www.numdam.org/item?id=GAU_1987-1988__15__29_0> © Groupe de travail d’analyse ultramétrique (Secrétariat mathématique, Paris), 1987-1988, tous droits réservés. L’accès aux archives de la collection « Groupe de travail d’analyse ultramétrique » implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ Groupe d’Etude d’Analyse ultramétrique 1987-1988 SUR LE THEOREME DE MORERA Ha p-ADIQUE KHOAI Huy L’analogue p-adique de l’intégrale sur une courbe a ete construit par Schnirelman en 1938. L’integrale de Schnirelamn est utilisée dans 1’etude des nombres transcendants (voir W. Adams [1], J. Coates [2], T.N. Shorey [5], R. TiJdeman [6]) et pour construire spectrale (voir M. Vishik [7]). Dans Krasner. Dans En : expose un les fonctions les sont dans le fonctions de integrales choisirons ici 1’integrale sont nulles fonctions analytiques. candidat pour complexe l’intégrale de Schnirelman de Krasner notions de fonctions notion nous et nous de Schnirelman de fonctions de analogue dont de les nouvelle dont Nous de celles peut-être, notion les integrales plusieurs propriétés analogues à de Schnirelman est, bien de ont d’une notion l’integrale fonctions L’integrale analytiques Morera). les p-adiques localement fonctions (théorème comme une encore les sont ce analytiques les fonctions avons nulles sont construction la considère de sens de Krasner, sens analogues de cycles Cauchy et montrons que Schnirelman quelques analytiques : les sur au cas au de la théorie du théorème de Morera. avons analytiques analytiques. Ce complexes. Mais connue nous on l’intégrale analytiques analogue p-adique analyse p-adique articles ces considérons nous non-nécessairement fonctions cherchons cet 1’analogue p-adique de un des bon fonctions analytiques p-adiques. INTEGRALE DE SCHNIRELMAN Nous des rappelons fonctions 1’anneau des completion de normalisée par ici quelques propriétés de l’intégrale analytiques. entiers la p p-adiques, clôture !p! = Soit -i p . le algebrique Soit D un nombre un corps de Q . premier, des 29 resp., p-adiques, absolue p domaine de C . Schnirelman Z, Q t C, nombres La valeur de de C est p On notera la Definition 1.1. On dit que la fonction f(z) donne dans intégrable Dans ce par au sens c D cas I (f) est appelée a . yeC tels que P de Schnierelman de la fonction On notera (Schnirelman). Pour fonction f(z) une P tels que (Schnirelman). Soit fez) Krasner dans D et P Pour les autres et domaine D est = l’intégrale Krasner dans D et pour tout Théorème 1. 3. acD tout pour la limite suivante existe rapport Théorème 1.2. de Schnirelman si un tels que proprlétés de une B+(a, ~ l’intégrale analytique D~~a,~~~l c D au D. Alors de Qn a fonction analytique c sens au sens de on a de Schnirelman voir [3]. ~ 2 . LA CLASSE ~ ( D ) . Définition 2.1. On dit qu’ une seulement si pour tout a, Remarque. 1) Si Krasner dans D, on yeC est de tels que tyt l’espace note alors p fonction c naturel qu’il n’appartiennent pas à la Par exemple, considérons 11 est D de fonctions si et on a analytiques au sens de ~(D). 2) La propriété "appartenir à la classe et c la classe existe des fonctions classe ~(D). la fonction suivante : 30 est une propriété globale, localement analytiques qui Alors (0.2». En effet, 11 est facile de montrer que si alors et done f ( 1-~) 1 ~ choisissant en = 1, 1. = = (n.p) = 1 et ~ ~ - I, on a (1-~!=1 1 alors 1. On obtient : = =1 L n a n ~=1 t n, p)=1 Ainsi, il n’ existe pas d’intégrale Théorème 2.3. de Soit f (z) une f f (z) (z-a)dz fonction de la classe f(z) dans chaque boule D c ne pour a = 1, y = -l. F(D). Alors les valeurs dependent que des valeurs dans C(a, r). Demonstration. D~1 (a, ~ ~r j ) . on Supposons Alors la que B*( a, boule ~ On a (n,p) = D est a et parce que c 1, done 31 et soit contenue z dans un point D, et de comme )~"1J( Comme 1 = ~ si = (n.p) 1, = ~1. 1. les points et le théorème est démontré. Corollaire 2.4. Soient f(z) et et supposons que = g(z) deux fonctions de la classe g(z) dans C(o,r). (le principe du maximum~. Corollaire 2. 5. g(z) Alors Supposons dans que Alors En effet, par la formule (2) pour où ~C ,t P 171[ = dans Pour chaque Soit fez) Théorème 2.6. que r. une zcB (o,r) on a n on a et supposons fonction de la classe f’ ( z ) existe unlformément dans C(o,r). Alors f’ ( z ) existe uniformement B~(o,r) et Demonstrat ion. 501t b Par la formule (2) Comme pour tout un point de B (o,r) et h~C assez p petit, on a 03BE~1, (n,p) = 1, pour beB suivante existe unlformément En posant 32 (o,r) la limite nous avons 13’ (o,r). la fonction f (z) f’~(B+(o,r)). Nous démontrons maintenant que (yj Si = r !yj 2: r. alors la formula (3) montre que pour tout Si r alors f (2;) existe uniformément dans C(b, précédentes comme ||) ). on a Des considérations démontré, analogues aux démonstration du donnent nous la Alors tout pour Soit ycC tel que (4) formule et la théorème 2.3 montrent que ~ Le théorème est démontré. de fonctions localement 1’espace On notera par Soi t pour Salt fez) Théorème 2.7. p (f) le rayon de convergence fonction de la classe et supposons chaque xeD Taylor de f(z) de la serie de min et que une on note par en x. p (f) &#x3E; 0. Alors f (z) ~ et ordres En effet, d’ ordre inf ini ses min comme dans analytiques dans D. p C(o,r) dérivées sont de a dérivées de tous des + la classe (o,r)). (f) &#x3E; 0, f(z) est différentiable uniformément et le théorème 2.7 est une consequence du théorème 2.6. Théorème 2.8. qu’ll par Solt existe r’ r une une Supposons et supposons r} f(z) admet tel que dans série de Laurent. Demonstration . fonction de la Alors f(z) est 33 representation holomorphe dans et pour que une r’ ~r~~ r, On pose et Alors g(z) dans c(o, r), (corollaire 2.4). Le théorème 2.8. est démontré. f(z) =5 g(z) dans Remarque. Ainsi, pour c 0 arbitraire et &#x3E; r &#x3E; ~ on a ~(B~ (o, r)) B B~(o, r-e)) n Question : = comme Est-ce que = = BIBLIOGRAPHIE. [1] W. J. Amer. [2] J. Math. An Coates. Arith. [3] Transcendental numbers in the Adams. N. 15 88 (1966) 279-308. effective (1969), Koblitz. L.G. Schnirelman. T.N. [6] R. [7] of a theorem of Thue Acta 279-305. a short course on recent works. London Math, N42. On functions in normed rings. Isvestija AN [5] p-adic analogue p-adic analysis : lecture Notes in [4] p-adic domain. algebraically closed division SSSR 2 (1938) 417-498. Shorey : Algebraic independence of certain numbers in the p-adic domain. indag. Math. 34 (1971) 1-7. Tijdeman. Indag. M.M. Vishik. Math. 33 (1971) 1-7. Some applications of the Schnirelman integral non-archimedean analysis Uspehi Math. nauk., 34 (1979) 223-224. Ha Huy KHOAI Institute of Mathematics P.O. Box 631 Bo Ho HANOI-VIETMAM 34 in