Sur le théorème de Morera p

Groupe de travail
d’analyse ultramétrique
H A H UY K HOAI
Sur le théorème de Morera p-adique
Groupe de travail d’analyse ultramétrique, tome 15 (1987-1988), p. 29-34
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Groupe d’Etude d’Analyse ultramétrique
1987-1988
SUR LE THEOREME DE MORERA
Ha
p-ADIQUE
KHOAI
Huy
L’analogue p-adique de l’intégrale sur une courbe a ete construit par
Schnirelman en 1938. L’integrale de Schnirelamn est utilisée dans 1’etude
des nombres transcendants (voir W. Adams [1], J. Coates [2], T.N. Shorey
[5],
R.
TiJdeman [6])
et pour construire
spectrale (voir M. Vishik [7]). Dans
Krasner.
Dans
En
:
expose
un
les fonctions
les
sont
dans
le
fonctions
de
integrales
choisirons ici
1’integrale
sont
nulles
fonctions
analytiques.
candidat
pour
complexe
l’intégrale
de Schnirelman de
Krasner
notions de fonctions
notion
nous
et
nous
de Schnirelman
de
fonctions
de
analogue
dont
de
les
nouvelle
dont
Nous
de
celles
peut-être,
notion
les
integrales
plusieurs propriétés analogues à
de Schnirelman est,
bien
de
ont
d’une
notion
l’integrale
fonctions
L’integrale
analytiques
Morera).
les
p-adiques
localement
fonctions
(théorème
comme
une
encore
les
sont
ce
analytiques
les fonctions
avons
nulles
sont
construction
la
considère
de
sens
de Krasner,
sens
analogues de
cycles
Cauchy et montrons que
Schnirelman
quelques
analytiques :
les
sur
au
cas
au
de la théorie
du théorème de Morera.
avons
analytiques
analytiques. Ce
complexes. Mais
connue
nous
on
l’intégrale
analytiques
analogue p-adique
analyse p-adique
articles
ces
considérons
nous
non-nécessairement
fonctions
cherchons
cet
1’analogue p-adique
de
un
des
bon
fonctions
analytiques p-adiques.
INTEGRALE DE SCHNIRELMAN
Nous
des
rappelons
fonctions
1’anneau
des
completion
de
normalisée par
ici
quelques propriétés de l’intégrale
analytiques.
entiers
la
p
p-adiques,
clôture
!p! =
Soit
-i
p .
le
algebrique
Soit D
un
nombre
un
corps
de Q .
premier,
des
29
resp.,
p-adiques,
absolue
p
domaine de C .
Schnirelman
Z, Q t C,
nombres
La valeur
de
de C
est
p
On notera
la
Definition 1.1. On dit que la fonction f(z) donne dans
intégrable
Dans
ce
par
au sens
c
D
cas
I
(f) est appelée
a
.
yeC
tels
que
P
de Schnierelman de la fonction
On notera
(Schnirelman). Pour
fonction f(z)
une
P
tels que
(Schnirelman). Soit fez)
Krasner dans D et
P
Pour les autres
et
domaine D est
=
l’intégrale
Krasner dans D et pour tout
Théorème 1. 3.
acD
tout
pour
la limite suivante existe
rapport
Théorème 1.2.
de Schnirelman si
un
tels que
proprlétés
de
une
B+(a, ~
l’intégrale
analytique
D~~a,~~~l
c
D
au
D.
Alors
de
Qn a
fonction analytique
c
sens
au
sens
de
on a
de Schnirelman voir
[3].
~ 2 . LA CLASSE ~ ( D ) .
Définition 2.1.
On dit
qu’ une
seulement si pour tout a,
Remarque. 1)
Si
Krasner dans D,
on
yeC
est de
tels que
tyt
l’espace
note
alors
p
fonction
c
naturel
qu’il
n’appartiennent pas à la
Par exemple, considérons
11
est
D
de fonctions
si
et
on a
analytiques
au
sens
de
~(D).
2) La propriété "appartenir à la classe
et
c
la classe
existe des fonctions
classe ~(D).
la fonction suivante :
30
est
une
propriété globale,
localement analytiques
qui
Alors
(0.2».
En
effet,
11 est facile de montrer que si
alors
et done
f ( 1-~)
1
~
choisissant
en
=
1,
1.
=
=
(n.p) = 1 et ~ ~
-
I,
on
a
(1-~!=1
1 alors
1. On obtient :
=
=1
L
n
a
n
~=1
t n, p)=1
Ainsi, il n’ existe pas d’intégrale
Théorème 2.3.
de
Soit f (z)
une
f
f (z) (z-a)dz
fonction de la classe
f(z) dans chaque boule
D
c
ne
pour
a
=
1,
y
=
-l.
F(D). Alors les valeurs
dependent
que des valeurs dans
C(a, r).
Demonstration.
D~1 (a, ~ ~r j ) .
on
Supposons
Alors
la
que
B*( a,
boule
~
On
a
(n,p)
=
D
est
a
et parce que
c
1,
done
31
et
soit
contenue
z
dans
un
point
D,
et
de
comme
)~"1J(
Comme
1
=
~
si
=
(n.p)
1,
=
~1.
1.
les
points
et le théorème est démontré.
Corollaire 2.4.
Soient f(z) et
et supposons que
=
g(z)
deux fonctions de la classe
g(z)
dans
C(o,r).
(le principe du maximum~.
Corollaire 2. 5.
g(z)
Alors
Supposons
dans
que
Alors
En
effet, par la formule (2) pour
où ~C ,t
P
171[
=
dans
Pour
chaque
Soit fez)
Théorème 2.6.
que
r.
une
zcB
(o,r)
on a
n on a
et supposons
fonction de la classe
f’ ( z ) existe unlformément dans C(o,r). Alors f’ ( z ) existe uniformement
B~(o,r)
et
Demonstrat ion.
501t b
Par la formule (2)
Comme pour tout
un
point
de B
(o,r)
et h~C
assez
p
petit,
on a
03BE~1, (n,p) = 1,
pour beB
suivante existe unlformément
En posant
32
(o,r)
la limite
nous
avons
13’ (o,r).
la fonction f (z)
f’~(B+(o,r)).
Nous démontrons maintenant que
(yj
Si
=
r
!yj
2:
r.
alors la formula (3) montre que
pour tout
Si
r
alors
f (2;) existe uniformément dans C(b,
précédentes
comme
||) ).
on a
Des considérations
démontré,
analogues
aux
démonstration
du
donnent
nous
la
Alors
tout
pour
Soit ycC tel que
(4)
formule
et
la
théorème 2.3 montrent que
~
Le théorème est démontré.
de fonctions localement
1’espace
On notera par
Soi t
pour
Salt fez)
Théorème 2.7.
p (f)
le rayon de convergence
fonction de la classe
et supposons
chaque xeD
Taylor de f(z)
de la serie de
min
et
que
une
on
note par
en x.
p (f)
>
0.
Alors f (z)
~
et
ordres
En effet,
d’ ordre
inf ini
ses
min
comme
dans
analytiques dans D.
p
C(o,r)
dérivées
sont
de
a
dérivées de tous
des
+
la
classe
(o,r)).
(f) > 0, f(z) est différentiable uniformément
et
le
théorème
2.7
est
une
consequence
du
théorème 2.6.
Théorème 2.8.
qu’ll
par
Solt
existe r’ r
une
une
Supposons
et supposons
r} f(z) admet
tel que dans
série de Laurent.
Demonstration .
fonction de la
Alors f(z) est
33
representation
holomorphe dans
et pour
que
une
r’
~r~~
r,
On pose
et
Alors
g(z)
dans
c(o, r),
(corollaire 2.4). Le théorème 2.8. est démontré.
f(z) =5 g(z) dans
Remarque. Ainsi, pour
c
0 arbitraire et
>
r
> ~
on a
~(B~ (o, r)) B B~(o, r-e))
n
Question :
=
comme
Est-ce que
=
=
BIBLIOGRAPHIE.
[1]
W.
J.
Amer.
[2] J.
Math.
An
Coates.
Arith.
[3]
Transcendental numbers in the
Adams.
N.
15
88 (1966) 279-308.
effective
(1969),
Koblitz.
L.G.
Schnirelman.
T.N.
[6]
R.
[7]
of
a
theorem
of
Thue
Acta
279-305.
a
short
course
on
recent works.
London
Math, N42.
On functions in normed
rings. Isvestija AN
[5]
p-adic analogue
p-adic analysis :
lecture Notes in
[4]
p-adic domain.
algebraically closed
division
SSSR 2 (1938) 417-498.
Shorey : Algebraic independence of certain numbers in the p-adic
domain. indag. Math. 34 (1971) 1-7.
Tijdeman. Indag.
M.M. Vishik.
Math.
33 (1971) 1-7.
Some
applications of the Schnirelman integral
non-archimedean analysis Uspehi Math. nauk., 34 (1979) 223-224.
Ha
Huy KHOAI
Institute of Mathematics
P.O. Box 631 Bo Ho
HANOI-VIETMAM
34
in