Table des mati` eres

Table des matières
1 Fonction d’onde et équation de Schrödinger
1.1 Observations sur la dualité onde-corpuscule . . . . . . .
1.1.1 La lumière : aspects corpusculaire et ondulatoire
1.1.2 L’expérience des fentes d’Young . . . . . . . . . .
1.1.3 Ondes matérielles et relation de de Broglie . . .
1.1.4 Notion de fonction d’onde . . . . . . . . . . . . .
1.1.5 Notions de probabilités . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Équation de Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Principe de superposition . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Équation de Schrödinger . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Densité et courant de probabilité . . . . . . . . .
1.2.4 Équation de Schrödinger stationnaire . . . . . . .
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2 Potentiels à une dimension, applications
2.1 Considérations générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Position du problème, exemples de potentiels . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Propriétés mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Potentiels constants par morceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.4 Propriétés physiques à déterminer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.5 Stratégie générale de résolution pour les potentiels constants par morceaux
2.2 La marche de potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 cas 0 ≤ E ≤ V0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 cas E ≥ V0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Discussion qualitative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3 Paquets d’ondes - relation d’incertitude de Heisenberg
3.1 Paquet d’ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Vitesse de phase, vitesse de groupe . . . . . . . . . . . .
3.1.3 Une première relation d’incertitude de Heisenberg . . .
3.2 Représentation en impulsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Transformée de Fourier et impulsion . . . . . . . . . . .
3.2.2 Impulsion moyenne, incertitude sur l’impulsion . . . . .
3.2.3 Relation d’incertitude de Heisenberg position-impulsion
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4 Description générale d’un système quantique
4.1 Un degré de liberté purement quantique : le spin 1/2 de l’électron . . . .
4.1.1 Lien entre moment magnétique et moment cinétique de l’électron
4.1.2 Précession de Larmor (approche classique) . . . . . . . . . . . . .
4.1.3 Résultats quantiques sur le moment cinétique orbital . . . . . . .
4.1.4 Observations expérimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.5 Le spin 1/2 : une propriété intrinsèque des particules . . . . . . .
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5 Systèmes à deux niveaux
5.1 Description et mesure d’un état . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Fonction d’onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.2 Observable générale et matrices de Pauli . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.3 Mesure d’un spin-1/2 selon un axe quelconque . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.4 Application à la préparation d’un état quelconque . . . . . . . . . . . . .
5.1.5 Représentation sur la sphère de Bloch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.6 Exemples de mesures successives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Aspects énergétique et dynamique : couplage et résonance . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Couplage de deux oscillateurs en mécanique classique . . . . . . . . . . .
5.2.2 Deux niveaux dégénérés : la molécule d’ammoniac NH3 . . . . . . . . . .
5.2.3 Deux niveaux non-dégénérés : application d’un champ électrique sur NH3
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6 Commutation des observables et oscillateur harmonique
6.1 Notion de relation de commutation . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.1 Le commutateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.2 Exemple : le moment cinétique . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Relations d’incertitude de Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.1 Démonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Théorème d’Ehrenfest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.1 Équation d’évolution d’une valeur moyenne d’observable .
6.3.2 Constantes du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Résolution algébrique de l’oscillateur harmonique . . . . . . . . .
6.4.1 Motivations et oscillateur classique revisité . . . . . . . .
6.4.2 Hamiltonien quantique adimensionné . . . . . . . . . . . .
6.4.3 Opérateurs annihilation, création et nombre . . . . . . . .
6.4.4 Valeurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.5 Vecteurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.6 Exemples d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5 Observables qui commutent et caractérisation d’un état . . . . .
6.5.1 Plusieurs degrés de libertés : le produit tensoriel . . . . .
6.5.2 Base commune à deux observables . . . . . . . . . . . . .
6.5.3 Ensemble complet d’observables qui commutent (ECOC)
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4.2
4.3
4.4
4.1.6 Fonction d’onde avec spin 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.7 Équation d’évolution pour un système à deux niveaux . . . . . .
De l’algèbre linéaire à l’espace de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Vecteurs et opérateurs linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Produit scalaire, bases et changement de base . . . . . . . . . . .
4.2.3 Lien entre opérateur linéaire et observables (grandeur physique)
4.2.4 Les notations de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Après une mesure : la réduction du paquet d’onde . . . . . . . . . . . .
4.3.1 La réduction du paquet d’onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2 Utilisation pour la préparation d’un état . . . . . . . . . . . . . .
4.3.3 L’étalement du paquet d’onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Les postulats de la mécanique quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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7 Le moment cinétique
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7.1 Définition et résolution algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
7.1.1
7.1.2
7.1.3
7.2
Définition à partir des relations de commutation . . . . . . .
Principaux résultats et nombres quantiques j, m . . . . . . .
Démonstration de ces résultats par la méthode algébrique . .
~ˆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Le moment cinétique orbital L
7.2.1 Représentation des opérateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.2 Les nombres quantiques l, m sont des entiers . . . . . . . . .
7.2.3 Représentation des états propres : les harmoniques sphériques
Potentiel central et l’atome d’hydrogène . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.1 Système à deux corps et particule dans un potentiel central .
7.3.2 Équation de Schrödinger en coordonnées sphériques . . . . .
7.3.3 États électroniques de l’atome d’hydrogène . . . . . . . . . .
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8 Particules identiques : postulat de symétrisation et principe de Pauli (si le temps)
8.1 Description d’états à deux particules et position du problème . . . . . . . . . . .
8.1.1 Notion de particules indiscernables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.2 Opérateur de permutation et symétrie lors de l’échange . . . . . . . . . .
8.1.3 Bosons et fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.4 (Anti-)Symétrisation de la fonction d’onde . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.5 Principe d’exclusion de Pauli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2 Exemples importants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.1 Fonctions d’onde à deux particules sans spin . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.2 Deux électrons : particules à spin-1/2, états singulet et triplet . . . . . . .
8.2.3 Application remplissage des atomes polyélectronique . . . . . . . . . . . .
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Bibliographie
Livres recommandés pour leur concision et clarté
• Jean-Louis Basdevant & Jean Dalibard, Mécanique quantique, Éditions de l’École Polytechnique. Il existe en plus un livre de problèmes résolus appelé Problèmes quantiques.
• Christophe Texier, Mécanique quantique, Dunod.
Autres ouvrages de référence mais plus volumineux, plus difficiles en première lecture
• Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu & Franck Laloë, Mécanique quantique, 2 tomes, Hermann.
• Claude Aslangul, Mécanique quantique, 2 tomes + 1 d’exercices, De Boeck.
• Albert Messiah, Mécanique quantique, 2 tomes, Dunod.