Table des mati` eres

Table des mati`eres
1 Fonction d’onde et ´equation de Schr¨ odinger 7
1.1 Observations sur la dualit´e onde-corpuscule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.1 La lumi`ere : aspects corpusculaire et ondulatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.2 L’exp´erience des fentes d’Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.3 Ondes mat´erielles et relation de de Broglie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.4 Notion de fonction d’onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.5 Notions de probabilit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 ´ Equation de Schr¨ odinger................................... 7
1.2.1 Principe de superposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.2 ´ Equation de Schr¨ odinger............................... 7
1.2.3 Densit´e et courant de probabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.4 ´ Equation de Schr¨ odinger stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Potentiels `a une dimension, applications 9
2.1 Consid´erations g´en´erales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.1 Position du probl`eme, exemples de potentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.2 Propri´et´es math´ematiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.3 Potentiels constants par morceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.4 Propri´et´es physiques `a d´eterminer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.5 Strat´egie g´en´erale de r´esolution pour les potentiels constants par morceaux . . 9
2.2 La marche de potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.1 cas 0 ≤E≤V0.................................... 9
2.2.2 cas E≥V0...................................... 9
2.2.3 Discussion qualitative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3 Paquets d’ondes - relation d’incertitude de Heisenberg 11
3.1 Paquetd’ondes ........................................ 11
3.1.1 D´efinition....................................... 11
3.1.2 Vitesse de phase, vitesse de groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.1.3 Une premi`ere relation d’incertitude de Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2 Repr´esentation en impulsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2.1 Transform´ee de Fourier et impulsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2.2 Impulsion moyenne, incertitude sur l’impulsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2.3 Relation d’incertitude de Heisenberg position-impulsion . . . . . . . . . . . . . 11
4 Description g´en´erale d’un syst`eme quantique 13
4.1 Un degr´e de libert´e purement quantique : le spin 1/2 de l’´electron . . . . . . . . . . . . 13
4.1.1 Lien entre moment magn´etique et moment cin´etique de l’´electron . . . . . . . . 13
4.1.2 Pr´ecession de Larmor (approche classique) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.1.3 R´esultats quantiques sur le moment cin´etique orbital . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.1.4 Observations exp´erimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.1.5 Le spin 1/2 : une propri´et´e intrins`eque des particules . . . . . . . . . . . . . . . 16
3

4.1.6 Fonction d’onde avec spin 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.1.7 ´ Equation d’´evolution pour un syst`eme `a deux niveaux . . . . . . . . . . . . . . 17
4.2 De l’alg`ebre lin´eaire `a l’espace de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.2.1 Vecteurs et op´erateurs lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.2.2 Produit scalaire, bases et changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.2.3 Lien entre op´erateur lin´eaire et observables (grandeur physique) . . . . . . . . 20
4.2.4 Les notations de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.3 Apr`es une mesure : la r´eduction du paquet d’onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.3.1 La r´eduction du paquet d’onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.3.2 Utilisation pour la pr´eparation d’un ´etat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.3.3 L’´etalement du paquet d’onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.4 Les postulats de la m´ecanique quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5 Syst`emes `a deux niveaux 25
5.1 Description et mesure d’un ´etat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.1.1 Fonction d’onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.1.2 Observable g´en´erale et matrices de Pauli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.1.3 Mesure d’un spin-1/2 selon un axe quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.1.4 Application `a la pr´eparation d’un ´etat quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.1.5 Repr´esentation sur la sph`ere de Bloch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.1.6 Exemples de mesures successives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.2 Aspects ´energ´etique et dynamique : couplage et r´esonance . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5.2.1 Couplage de deux oscillateurs en m´ecanique classique . . . . . . . . . . . . . . 26
5.2.2 Deux niveaux d´eg´en´er´es : la mol´ecule d’ammoniac NH3............. 28
5.2.3 Deux niveaux non-d´eg´en´er´es : application d’un champ ´electrique sur NH3. . . 28
6 Commutation des observables et oscillateur harmonique 29
6.1 Notion de relation de commutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6.1.1 Le commutateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6.1.2 Exemple : le moment cin´etique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6.2 Relations d’incertitude de Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6.2.1 D´emonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6.2.2 Exemples ....................................... 29
6.3 Th´eor`eme d’Ehrenfest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6.3.1 ´ Equation d’´evolution d’une valeur moyenne d’observable . . . . . . . . . . . . . 29
6.3.2 Constantes du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6.4 R´esolution alg´ebrique de l’oscillateur harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6.4.1 Motivations et oscillateur classique revisit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6.4.2 Hamiltonien quantique adimensionn´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6.4.3 Op´erateurs annihilation, cr´eation et nombre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6.4.4 Valeurspropres.................................... 29
6.4.5 Vecteurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6.4.6 Exemples d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6.5 Observables qui commutent et caract´erisation d’un ´etat . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6.5.1 Plusieurs degr´es de libert´es : le produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6.5.2 Base commune `a deux observables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6.5.3 Ensemble complet d’observables qui commutent (ECOC) . . . . . . . . . . . . 29
7 Le moment cin´etique 31
7.1 D´efinition et r´esolution alg´ebrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

7.1.1 D´efinition `a partir des relations de commutation . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
7.1.2 Principaux r´esultats et nombres quantiques j, m ................. 31
7.1.3 D´emonstration de ces r´esultats par la m´ethode alg´ebrique . . . . . . . . . . . . 31
7.2 Le moment cin´etique orbital ˆ
~
L............................... 31
7.2.1 Repr´esentation des op´erateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
7.2.2 Les nombres quantiques l, m sont des entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
7.2.3 Repr´esentation des ´etats propres : les harmoniques sph´eriques . . . . . . . . . . 31
7.3 Potentiel central et l’atome d’hydrog`ene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
7.3.1 Syst`eme `a deux corps et particule dans un potentiel central . . . . . . . . . . . 31
7.3.2 ´ Equation de Schr¨ odinger en coordonn´ees sph´eriques . . . . . . . . . . . . . . . 31
7.3.3 ´ Etats ´electroniques de l’atome d’hydrog`ene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
8 Particules identiques : postulat de sym´etrisation et principe de Pauli (si le temps) 33
8.1 Description d’´etats `a deux particules et position du probl`eme . . . . . . . . . . . . . . 33
8.1.1 Notion de particules indiscernables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
8.1.2 Op´erateur de permutation et sym´etrie lors de l’´echange . . . . . . . . . . . . . 33
8.1.3 Bosons et fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
8.1.4 (Anti-)Sym´etrisation de la fonction d’onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
8.1.5 Principe d’exclusion de Pauli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
8.2 Exemples importants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
8.2.1 Fonctions d’onde `a deux particules sans spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
8.2.2 Deux ´electrons : particules `a spin-1/2, ´etats singulet et triplet . . . . . . . . . . 33
8.2.3 Application remplissage des atomes poly´electronique . . . . . . . . . . . . . . . 33
Bibliographie
Livres recommand´es pour leur concision et clart´e
•Jean-Louis Basdevant & Jean Dalibard, M´ecanique quantique,´ Editions de l’´ Ecole Polytech-
nique. Il existe en plus un livre de probl`emes r´esolus appel´e Probl`emes quantiques.
•Christophe Texier, M´ecanique quantique, Dunod.
Autres ouvrages de r´ef´erence mais plus volumineux, plus difficiles en premi`ere lecture
•Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu & Franck Lalo¨ e, M´ecanique quantique, 2 tomes, Her-
mann.
•Claude Aslangul, M´ecanique quantique, 2 tomes + 1 d’exercices, De Boeck.
•Albert Messiah, M´ecanique quantique, 2 tomes, Dunod.