chap 4

Chap. 4 • La fonction exponentielle
•45
chapitre
4
La fonction exponentielle
1. a) Pour tout point M la tangente coupe l’axe des
abscisses donc f ′ ( x
0
) ≠ 0.
b) y – f ( x
0
) = f ′ ( x
0
) ( x – x
0
).
c) (T) coupe l’axe des abscisses pour y = 0
et x = x
0
– .
2. a) équivaut à abscisse de est 1
donc = 1 d’où f ( x
0
) = f ′ ( x
0
).
b) Il en résulte que f convient si et seulement si
f ′ = f .
1. f = f ( t
0
) + f ′ ( t
0
) = f ( t
0
)
et f ( t
0
) = y
0
= 1 d’où y = 1 + .
2. a) ≈ f ( t
k
) + f ′ ( t
k
) or f ′ ( t
k
) = f ( t
k
)
donc = f ( t
k
).
On choisit y
k + 1
= y
k
.
b) Par récurrence il est évident que y
k
= .
1. Pour tout réel x , f ( x
0
+ x ) = f ( x
0
) × f ( x ) = 0 .
Donc pour tout réel X, f (X) = 0 .
2. a) f ( x + 0) = f (0) × f ( x ) , donc f ( x )[1 – f (0)] = 0
pour tout réel x . Il en résulte que f (0) = 1 .
b) f = f ( x ) ,
donc pour tout réel X, f (X) > 0 .
3. a) g est dérivable sur et pour tout réel y ,
g ′ ( y ) = f ′ ( x + y ) = f ( x ) f ′ ( y) .
b) Il en résulte que f′(x) = f′(0)f(x) = af(x) avec
a = f′(0) .
c) f(x) = keax et f(0) = 1 donc k = 1 .
4. ea(x+y) = eax × eay donc f(x + y) = f(x) × f(y) .
1. a) f′(x) = ex – 1.
D’après le tableau de variations :
Pour tout réel x : f(x)  0 donc (1 + x)  ex (1)
Pour tout réel x < 1, 1 – x < e– x, 1 – x > 0 et e– x > 0
donc ex  (2).
2. a) x = avec 0 < x < d’après (1)
donc  e (3).
b) x < 1 donc soit
donc e  ,
d’où le résultat.
Activités (page 20)
ACTIVITÉ 1
fx
0
()
f′x0 ()
--------------
TH i =TH
fx
0
()
f′x0
()
--------------
ACTIVITÉ 2
t01
n
---+
 1
n
---11
n
---+
1
n
---
ft
k
1
n
---+
1
n
---
ft
k
1
n
---+ 11
n
---+
11
n
---+
11
n
---+
k
Travaux dirigés (page 97)
TD 1
TD 2
x
2
---x
2
---+ fx
2
---
2
=
1
x– ∞0+ ∞
f′(x)–0+
f0
0
+ ∞
1
1x–
------------
1
n
---1
2
---11
n
---+ e
1
n
---
11
n
---+
n
e
1
n1+
------------ 1
11
n1+
------------–
---------------------
e
1
n1+
------------
11
n
---+ 11
n
---+
n1+

46
1. a) g′(x) = e– x
= e– x < 0.
Donc g(1) < 1.
On démontre de même que h est croissante sur
[0 ; 1] et que h(1) > 1.
2. Il résulte alors de l’étude précédente que
e– 1 < 1 et
e– 1 > 1 donc
1 + + … + < e < 1 + + + … + + (4)
1. n! + n! + … + 1! < n! e < (n! + n! + … + 1) + 1.
En posant an = n! + n! + … + 1 il en résulte que
an < n! e < an + 1.
2. a) Si q  n alors q divise n! donc est un
entier. Or est strictement compris entre deux
entiers consécutifs donc q  n est impossible.
b) Il résulte que quel que soit n > 1, q > n. Ce qui
est impossible donc e est irrationnel.
1. Il reste A .
2.
3. À partir de la troisième injection.
1. b > 0 donc 1 + be– kt > 0 pour tout réel t.
2. f(t) = a et f(t) = 0.
3. f′(t) =
Pour a = 3, b = 2 et k = 1.
On a la fonction f : t  .
1. a) x′(t) = – kx(t) + 1 000k équation du type
y′ = ay + b donc les solutions sont :
f : t  λe– kt + 1 000.
b) 40 = λ + 1 000 donc k = – 960°. Il en résulte que
f(t) = – 960e– kt + 1 000.
f(1) = 160 donc 160 = – 960e– k + 1 000 soit e– k =
f(5) = – 960(e– k)5 + 1 000 = – × 960 + 1 000.
Soit f(5) ≈ 508°.
2. Mise en mouvement d’un canot :
mv′ = – rv + F ou v′ = – v + donc
v(t) = λ.
v(1) = F donc 1 = λ soit λ =
donc v(t) = .
La vitesse limite du canot est .
y – y′ = .
1. h′(x) =
donc h(x) – h′(x) =
donc h est solution de (E).
x01
g′(x)–
g(x)1
TD 3
21xx2
2!
-----…xn1–
n1–()!
-------------------1–++ + +
x–x2
2!
-----…–xn
n!
-----–
xn
n!
-----
–
11
1!
-----1
2!
-----…1
n!
-----+++ +
11
1!
-----…1
n!
-----1
n!
-----++ ++
1
1!
-----1
n!
-----1
1!
-----1
2!
-----1
n!
-----1
n!
-----
3
n!p
q
---------
n!p
q
---------
1e–1
3
---
O816 24 32 40 48 56 64
A = 2
2,2A
(heures)
Quantité de médicament dans le sang
t
2
t+ ∞→
lim
t– ∞→
lim
t– ∞0+ ∞
f′(t)+
f(t)
0
a
TD 4
akbe kt–
1be kt– +()
2
-------------------------------
a
1b+
-----------
3
12e
t–
+
---------------------
1
O
3
3
7
8
---
7
8
---
5
r
m
-----
F
m
-----
e r
m
-----t–F
r
---+
e r
m
-----
–F
r
---+e
r
m
-----
1F
r
---
–
e
r
m
-----
1F
r
---
– e r
m
-----t–F
r
---+
F
r
---
1
ex
x2
-----
exx1–()
x2
----------------------
ex
x
-----ex
x
-----– ex
x2
-----+ ex
x2
-----=

Chap. 4 • La fonction exponentielle •47
2. g solution de (E) si et seulement si g – g′ =
soit g1 – g′1 + h – h′ = .
Or h – h′ = donc g1 – g′1 = 0.
3. g1(x) = λex.
4. g(x) = λex + .
1. h(x) = ax2 + bx + c
h′(x) = 2ax + b
h(x) + h′(x) = ax2 + (b + 2a)x + c + b
= x2 + x
d’où a = 1, b = – 1 et c = 1 soit h(x) = x2 – x + 1
donc les solutions sont données pour tout réel x
par f(x) = λe– x + x2 – x + 1.
2. h′(x) = – a sin x + b cos x
h(x) + h′(x) = (b – a) sin x + (a + b) cos x = 5 cos x
d’où a + b = 5, b – a = 0, b = = a
et h(x) = (cos x + sin x)
et f(x) = λe2x + (cos x + sin x).
a) exb) e– 3 c) 1 + e– 2x
d) e2 – xe) e4xf) e2y
1. [g(x)]2 – [h(x)]2 = [g(x) + h(x)] [g(x) – h(x)]
soit ex × e– x = e0 = 1.
2. 2[g(x)]2 – 1 = – 1 = g(2x).
2g(x)h(x) = (e2x – e– 2x) = h(2x).
Corrigé dans le manuel.
Corrigé dans le manuel.
a) 2e– x(ex + 2) = 1 soit 2 + 4e– x = 1.
4e– x = – 1 pas de solution.
b) x = 2.
a) ex + 1 = équivaut pour x ≠ 0 à x2 + x – 2 = 0
soit x = 1 ou x = – 2.
b) Sin x = sin d’où x = + k2π ou x = + k2π.
a) L’équation équivaut à x2 + x – 6 = 0
soit x = – 3 ou x = 2.
b) L’équation équivaut à x2 – x + 2 = 0 donc pas de
solution.
a)  e– 2 d’où x2  – 2 vrai pour tout réel x.
b) L’équation équivaut à x3 – x – 6  0
ou (x – 2) (x2 + 2x + 3)  0 donc x ∈ ]– ∞ ; 2]
car x2 + 2x + 3 > 0 pour tout réel x.
a) L’inéquation équivaut à e2x  1.
Soit 2x  0 et x ∈ ]– ∞ ; 0].
b) (ex – 1) (ex – 1) > 0 donc x ∈ –{0}.
Corrigé dans le manuel.
Corrigé dans le manuel.
f′(x) = ex.
f′(x) = .
f′(x) = ex[2 cos x].
f′(x) = .
f′(x) = 2x – 2xex = 2x(1 – ex).
1. f′(x) = (ex – e– x) = g(x).
g′(x) = (ex + e– x) = f(x).
2. h′(x) = .
Or [f(x)]2 – [g(x)]2 = 1 (voir corrigé exercice 2)
et h′(x) = ou h′(x) = .
ex
x2
-----
ex
x2
-----
ex
x2
-----
ex
x
-----
2
5
2
---
5
2
---
5
2
---
Corrigés des exercices
Maîtriser le cours (page 101)
1. La fonction exponentielle
1
2
e2xe 2x–2++
2
-----------------------------------
1
2
---
3
4
5
6e
2
x
---
π
6
---π
6
---5π
6
------
7
8ex2
2. Étude de la fonction exponentielle
9
10
11
12 1
x
---1
x2
-----–
13 3ex
2ex1+()
2
-------------------------
14
15 ex1x–()
exx–()
2
----------------------
16
17 1
2
---
1
2
---
g′x()fx() gx()f′x()–
f2
------------------------------------------------------fx()[]
2gx()[] 2
–
f2
------------------------------------------=
1
f2x()
-------------
1
f2
-----

48
1. f(0) = 2 et f(– 2) = 0 donc 2 = b
et 0 = (– 2a + b)e2 donc 2a = b = 2 ; a = 1 et b = 2.
Ainsi pour tout réel x, f(x) = (x + 2)e– x.
2. f′(x) = (– x – 1)e– x et A a pour coordonnées (– 1 ; e).
a) f1 : x  ex – 2. La courbe 1 est déduite de  par la
translation de vecteur – 2zj.
b) f2 : x  1 – ex. 2 se déduit de  par la symétrie par
rapport à l’axe des abscisses suivie de la translation de
vecteur zj (c’est-à-dire la symétrie par rapport à la
droite d’équation y = ).
c) 3 = 2 si x < 0 et 3 est la symétrie de 2 par rap-
port à l’axe des abscisses x > 0.
Corrigé dans le manuel.
; = + ∞ ;
= 0.
= 0.
= – 1.
= + ∞ = 1.
Corrigé dans le manuel.
f(x) = 2 × donc
= + ∞.
= 1 = 1
= 0 = + ∞.
1. f(x) – (x – 1) = e– 2x et e– 2x = 0 donc la
droite d’équation y = x – 1 est asymptote à .
2. e– 2x > 0 pour tout réel x donc  est au-dessus de la
droite d.
f(x) – x – 1 = 4e– x et 4e– x = 0 donc la
droite d’équation y = x + 1 est asymptote à la courbe .
f(x) – x – 2 = xexxex = 0
donc la droite d’équation y = x + 2 est asymptote à la
courbe .
1. = 2 et = – 3 d’où le
résultat.
2. a) f′(x) =
donc f′(x) = .
Corrigé dans le manuel.
1. a) = + ∞ = + ∞.
b) f(x) + x = ex et ex = 0
donc la droite d est asymptote oblique à  en – ∞.
2. f′(x) = ex – 1.
3. Des limites importantes
18
19
1
2
1
3
()
2 = 3ji
O
e
– 2
1
1
2
---
20
21 fx()
x0→
lim 1
2
---= fx()
x+ ∞→
lim
fx()
x– ∞→
lim
22 fx()
x+ ∞→
lim
23 fx()
x+ ∞→
lim 1
2
---= fx()
x– ∞→
lim
24 fx()
x+ ∞→
lim fx()
x– ∞→
lim
25
26 e2x1–
2x
----------------- fx()
x0→
lim 2=
fx()
x+ ∞→
lim
27 fx()
x– ∞→
lim fx()
x+ ∞→
lim
fx()
x0– →
lim fx()
x0+ →
lim
b) x– ∞+ ∞
f′(x)+
f(x)– 3
2
x– ∞0+ ∞
f′(x)–0+
f(x)+ ∞1
+ ∞
28
x+ ∞→
lim
29
x+ ∞→
lim
30
x– ∞→
lim
31
fx()
x+ ∞→
lim
fx()
x– ∞→
lim
2exex1+()2ex3–()ex –
ex1+()
2
---------------------------------------------------------------
5ex
ex1+()
2
----------------------
1
d
O
2
– 3
1
32
33
fx()
x+ ∞→
lim
fx()
x– ∞→
lim
x– ∞→
lim

Chap. 4 • La fonction exponentielle •49
1. = + ∞ = – ∞.
2. a) f(x) – (x – 1) = et = 0
d’où le résultat.
b) f(x) – (x + 3) = et = 0
d’où le résultat.
3. f′(x) = 1 – .
f′(x) = .
1. = + ∞ = + ∞.
2. f′(x) = ex – 1.
3. a) f bijection de ]– ∞ ; 0] sur [– 1 ; + ∞[ donc il existe
α unique de ]– ∞ ; 0] tel que f(α) = 0.
De même pour β dans [0 ; + ∞[.
f(– 1 ; 9)  e– 1,9 – 0,1  0,14
f(– 1,8)  e– 1,8 – 0,2  – 0,03
donc – 1,9 < α < – 1,8.
Même chose pour 1,1 < β < 1,2.
b) Il résulte que f(x) < 0 pour x ∈ ]α ; β[.
1. = 0 et = – ∞
f′(x) = (2 – x)ex
d’où le tableau avec f(2) = e2.
2. Si m > 0 et m < e2 on a deux solutions et m > e2 zéro
solution.
f′(x) = .
f′(x) = 2ex – 1[x].
f′(x) = esin x [cos2 x – sin x].
Corrigé dans le manuel.
1. a) x + et x  x sont dérivables sur
]0 ; + ∞[.
b) Pour tout x > 0, f′(x) = .
2. f(0) = 0 et .
= 1 donc f est dérivable en x = 0.
a) f(– x) = = f(x) donc f est paire et 
admet l’axe des ordonnées pour axe de symétrie.
b) f′(x) = – 2x.
x– ∞0+ ∞
f′(x)+0+
f(x)– ∞
+ ∞
x– ∞ α 0β+ ∞
f′(x)–0+
f(x)+ ∞– 1
+ ∞
1
d
O
1
34 fx()
x+ ∞→
lim fx()
x– ∞→
lim
4
ex1+
-------------- 4
ex1+
--------------
x+ ∞→
lim
4ex –
ex1–
-------------- 4ex
–
ex1–
--------------
x– ∞→
lim
4ex
ex1+()
2
----------------------
ex1–()
2
ex1+()
2
----------------------
O1
d
– 3
3
( )
– 1
35 fx()
x+ ∞→
lim fx()
x– ∞→
lim
0 0
4. Des fonctions x  eu(x)
x0+ ∞
f′(x)0–
f(x)1
0
36
fx()
x– ∞→
lim
fx()
x+ ∞→
lim
O
3
2
e2
37 e
1
x
---1
x
---– 1+
38
39
40
41 ex
x
2
-------1+ ex
fx() f0()–
x
--------------------------ex =
e x
x0→
lim
42 e x2
–
e x2
–