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Chapitre O1: Phénomènes de propagation unidimensionnelle
TD
TD O1 : Phénomènes de propagation unidimensionnelle
Révisions de cours :
Définir une onde longitudinale et une onde transversale
Etablir l’équation d’onde dans le cas de la corde vibrante
Exprimer une célérité en fonction des paramètres du milieu à partir de l’équation d’onde
Identifier une équation de d’Alembert
Définir une onde progressive
Donner la solution générale de l’équation de d’Alembert
Définir une onde progressive harmonique
Etablir la relation de dispersion à partir de l’équation de d’Alembert et en notation complexe pour
une OPH
Définir le vecteur d’onde
Définir la vitesse de phase
Définir une onde stationnaire et une onde stationnaire harmonique
Retrouver que la distance entre deux nœuds (ou ventres) consécutifs est égale à 2λ
Décomposer une onde stationnaire en ondes progressives et réciproquement
Régime libre : définir et décrire les modes propres d’une corde vibrante fixée à ses deux extrémités
(+savoir refaire le calcul)
Régime forcé : associer mode propre et résonnance dans l’expérience de la corde de Melde (+savoir
refaire le calcul)
Décrire le modèle d’un câble coaxial sans pertes
Etablir les équations de propagation
Etablir l’expression de l’impédance caractéristique d’un câble coaxial
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PSI, lycée de l’Essouriau, 2016/2017
Chapitre O1: Phénomènes de propagation unidimensionnelle
1
TD
Fil de jardinier - résolution de problème
Thème abordé : système infinitésimal
Un jardinier désire mettre une bordure autour de son jardin potager. Afin de bien aligner les différentes
bordures entre elles, il tend un fil entre deux poteaux. Le fil utilisé possède une masse linéique µ et une raideur
négligeable.
Données : µ = 2g.m−1 , L=10 m.
Déterminer la tension que doit appliquer le jardinier sur la corde pour que l’écart maximal hmax entre le fil
et l’horizontale soit égal à 1 cm.
Réponse : To = 24N.
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Onde de compression dans un solide
Thèmes abordés : établir une équation d’onde, exprimer une célérité, relation de dispersion
On étudie un solide déformable, de section S constante, de masse volumique au repos µo dans lequel se
propage des ondes de compression parrallèlement à (Ox). Sous l’influence de l’onde, une section située à l’abscisse x à l’instant t se déplaçe d’une distance u(x,t).
On admet la loi de Hook (loi d’élasticité) qui stipule qu’à l’abscisse x, la force exercée par la partie de droite
du solide sur la partie gauche est F~ (x, t) = ES ∂u
ux , où E est une constante caractéristique du matériau,
∂x (x, t)~
nommé module d’Young. L’influence de la pesanteur est ici négligée.
Données : µo = 3, 4.103 kg.m−3 , E = 8, 0.1010 Pa (acier).
1. Ecrire l’équation du mouvement d’une tranche de solide d’épaisseur dx et de masse δm = µo Sdx lors du
passage de l’onde.
2. En déduire l’équation d’onde et définir une célérité. Calculer la célérité du phénomène. Réponse : c =
4, 8km.s−1 .
3. On considère que l’onde de compression est une onde progressive harmonique de la forme u(x, t) =
uo cos(ωt − kx + Φ). Déterminer la relation de dispersion.
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PSI, lycée de l’Essouriau, 2016/2017
Chapitre O1: Phénomènes de propagation unidimensionnelle
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TD
Modes propres d’une corde libre à une extrémité
Thèmes abordés : conditions aux limites, modes propres.
Une corde est attachée à une de ses extrémités en x=0. Sa seconde extrémité est libre de se déplacer en
x=L sur un anneau qui coulisse sans frotter sur une tige. La réaction de la tige sur l’anneau est donc uniquement
dirigée suivant l’axe x. La présence de la tige permet de tendre la corde sous une tension To . L’anneau est de
masse quasi-nulle.
1. En appliquant le principe fondamental de la dynamique à l’anneau, montrer que la condition aux limites
en x=L s’écrit : ∂y
∂x (L, t) = 0.
2. Déterminer les modes propres de cette corde. Réponse : ωn = (2n + 1) π2 Lc .
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Piano (corde frappée) et clavecin (corde pincée)
Thèmes abordés : construction d’une solution par superposition de modes propres.
Dans cet exercice on compare les spectres sonores d’un piano, où la corde est frappée, et d’un clavecin, où
les cordes sont pincées. Dans les deux cas la corde est fixée à ses deux extrémités.
A l’instant t=0, une corde vibrante est dans la position d’équilibre y(x, 0) = 0. On la frappe avec un petit
marteau de largeur e (e << L) situé entre les abscisses x=a et x=a+e. La durée du contact du marteau avec
la corde étant très court, on admet que de cette manière on impose une vitesse initiale non nulle à la partie
de la corde située entre x=a et x=a+e : ∂y
∂t (x, t) = cste = A. On appelle c la célérité des ondes le long de la
corde vibrante.
On cherche des solutions sous la forme du développement en série de Fourier suivant :
y(x, t) =
∞
X
yn sin(
n=0
nπc
nπx
t) sin(
)
L
L
1. Justifier qu’il soit pertinent de chercher des solutions sous la forme donnée ci-dessus. On justifiera le
produit de fonctions sinusoïdales dans la décomposition, les arguments de ces fonctions ainsi que la
somme infinie.
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PSI, lycée de l’Essouriau, 2016/2017
Chapitre O1: Phénomènes de propagation unidimensionnelle
TD
nπa
2. L’étude théorique donne le résultat suivant : yn = 2ec
. Comment faut-il frapper la corde pour
nπ sin
c
supprimer le premier harmonique dissonant défini par n=7 ? Commenter la position du point d’impact
du marteau sur la corde.
3. Dans le cas où a = L2 , quelles sont les harmoniques présentes dans le son émis par la corde frappée ? Ce
résultat était-il prévisible ? Donner l’expression de y(x,t) et représenter l’allure du spectre du son émis.
La même corde de longueur L est maintenant pincée en x=a puis lâchée sans vitesse initiale à l’instant
t = 0. Pour simplifier la comparaison avec le piano on suppose que a = L2 et que la corde est écartée de sa
position de repos d’une hauteur h en x=a (voir schéma). On cherche toujours une solution sous la forme d’un
développpement en série de Fourier :
y(x, t) =
∞
X
n=0
an cos(
nπc
nπx
8h (−1)n
et a2n = 0.
t) sin(
) où a2n+1 = 2
L
L
π (2n + 1)2
4. Comparer les spectres des son émis par le piano et le clavecin et justifier que le son du clavecin paraisse
plus pur et "cristallin" que celui du piano.
5. Calculer la longueur de la corde de piano pour que la fréquence fondamentale du son émis corresponde à
un Do4 (f=262 Hz), sachant que la corde est tendue sous 80 kg, qu’elle est en acier de masse volumique
ρ = 7800kg.m−3 et de diamètre 1, 0mm. Réponse : L=68 cm.
6. Justifier que sur un clavecin la corde pour le Do4 faite du même matériau ne soit tendu que sous 13 kg
et avec un diamètre de 0, 4mm environ.
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Ondes électrocinétiques
Thème abordés : conditions aux limites dans un câble coaxial, impédance caractéristique, réflexion en amplitude de tension, entrainement au calcul.
On considère un câble coaxial d’impédance caractéristique Zc s’étendant de x=0 à x=L.
Dans un premier temps, le câble est court-circuité en x=0 et l’extrémité x=L est en circuit ouvert. On étudie
j(ωt−kx)
j(ωt+kx)
et u− (x, t) = u−
.
une onde décrite par u(x, t) = u+ (x, t) + u− (x, t) où u+ (x, t) = u+
oe
oe
1. Formuler les conditions aux limites en x=0 et x=L.
2. Déterminer les modes propres du câble coaxial. Réponse : ωn =
(2n+1)πc
2L
avec n ∈ N.
Dans un deuxième temps la ligne est fermée en x=L sur une résistance R. On branche en x=0 un générateur de tension délivrant e(t) = E cos(ωt). On étudie une onde de tension décrite par la même forme que
précédemment.
3. Formuler les conditions aux limites en x=0 et x=L.
4. Donner la relation liant u+ et i+ puis u− et i− .
−
5. Montrer que u+
o et uo s’expriment de la manière suivante :
u+
o =
E
(R + Zc )ejkL
E
(R − Zc )e−jkL
et u−
o =
2 R cos(kL) + jZc sin(kL)
2 R cos(kL) + jZc sin(kL)
6. Exprimer u(x, t) et i(x, t) en fonction de ejωt , E, Zc , R, sin kL, cos kL, sin k(L − x) et cos k(L − x). Montrer
que les ondes obtenues sont de type stationnaire.
7. Calculer l’impédance Z (x) définie par Z =
u(x,t)
i(x,t) .
cos k(L−x)+jZc sin k(L−x)
Réponse : Z (x) = Zc RR sin
k(L−x)+jZc cos k(L−x) .
8. A quelle condition la ligne transmet-elle une puissance maximale à la résistance R ? Montrer qu’alors
Z (x) ne dépend plus de x et donner sa valeur.
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PSI, lycée de l’Essouriau, 2016/2017
6 Instruments à percussion: étude d'une membrane vibrante
(extrait d'Agrégation de sciences physique 2009)
Dans cette partie, on étudie les vibrations d’une membrane élastique, sans raideur, de masse
surfacique σ, tendue avec la tension T . La tension d’une membrane est définie de la façon
suivante : pour un petit élément de longueur dlM de la membrane, situé au point M, orthogonal
−
→
−→
−→
à la direction −
n→
M , la membrane exerce la force d F = T dl nM , le vecteur unitaire nM étant
tangent à l’élément de surface.
Nous n’étudierons que les petits mouvements transverses d’une membrane horizontale quand
elle est au repos. Dans ce cas, nous admettrons que T est une constante, indépendante du point
et de la direction de la force.
Le petit élément de surface dxdy autour du point M de coordonnées (x, y) qui était sur
le plan z = 0 quand la membrane est au repos se trouve en z(x, y, t) quand celle-ci est en
mouvement.
Un élément de membrane est donc soumis aux forces suivantes :
z
β(y +dy)
y
T dy
α(x+dx)
α(x)
y +dy
T dx
T dy
β(y)
T dx
y
x
x+dx
x
On néglige les effets de la pesanteur.
A. Équation de propagation de la déformation
1. Les angles α(x) et β(y) sont faibles. Montrer que la résultante des forces de tension
agissant sur le petit élément de membrane ci-dessus s’écrit, en première approximation :
2
−
→
∂ z ∂ 2z
→
dFT = T
+
dxdy −
ez
∂x2 ∂y 2
2. En déduire l’équation de propagation de la déformation z(x, y, t).
3. a) Quelle est la célérité des ondes c dans la membrane ?
b) Retrouver ce résultat par un simple argument dimensionnel en supposant que c s’écrit
sous la forme : c = T ασ β où α et β sont des nombres rationnels.
c) On donne : T = 3990 N.m−1 et σ = 0, 35 kg.m−2 . Calculer la valeur numérique de c.
B. Modes propres d’une membrane circulaire
La membrane est un disque de rayon a fixée rigidement sur sa circonférence. On donne le
laplacien en coordonnées polaires (r, θ) :
∆f =
1 ∂f
1 ∂ 2f
∂ 2f
+
+
∂r2
r ∂r r2 ∂θ2
On cherche des solutions sous la forme z(r, θ, t) = F (r)G(θ)H(t).
1. Montrer que H(t) vérifie une équation différentielle de la forme :
00
H (t) = KH(t)
où K est une constante. Pourquoi choisit-on cette constante négative ? Dans la suite, on posera
K = −ω 2.
2. a) Montrer que G(θ) vérifie une équation différentielle de la même forme :
00
G (θ) = K 0G(θ)
où K 0 est une constante.
b) En posant K0 = −m2, montrer que m est nécessairement entier.
3. a) Quelle est l’équation différentielle vérifiée par F (r) ?
b) Montrer que, par un changement de variable u(r) à préciser, cette équation se met sous
la forme :
d2 F
1 dF
m2
+
+ 1 − 2 F (u) = 0
du2
u du
u
c) Les solutions de cette équation qui gardent une valeur finie en u = 0 sont les fonctions
de Bessel de première espèce Jm (u) dont les graphes sont données par la figure suivante (pour
m = 0, 1, 2 et 3) :
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
J0
J1
2
J2
4
J3
6
8
10
u
D’autre part, J−m = Jm .
On appelle ξm,n le nième zéro de la fonction Jm . Les premières valeurs de ξm,n sont récapitulées
dans le tableau ci-dessous :
n=1 n=2 n=3 n=4
m = 0 2,405 5,520 8,654 11,792
m = 1 3,832 7,016 10,173 13,324
m = 2 5,136 8,417 11,620 14,796
m = 3 6,380 9,761 13,015 16,223
Quelles sont les conditions aux limites que doit satisfaire z(r, θ, t) ? En déduire les fréquences
propres fm,n de la membrane en fonction de a, c et de ξm,n .
d) Montrer que f−m,n = fm,n . Dans toute la suite, on prendra une superposition des solutions correspondant à m et −m, paire en θ. La solution correspondant à une valeur du couple
(m, n) où m ≥ 0 est appelée mode propre (m, n).
4. a) Calculer la fréquence propre la plus basse pour la membrane étudiée à la question
A.3c, de diamètre 65 cm.
b) Calculer les fréquences correspondant aux modes (0, 2), (1, 1), (1, 2), (2, 1) et (2, 2). Les
différentes fréquences propres sont-elles multiples de la fréquence du fondamental ? Quelle en
est la conséquence pour le son émis par la membrane ? Qu’en est-il du son émis par l’instrument
lui-même ?
c) Les figures ci-dessous représentent l’aspect de la membrane vue de dessus à un instant
fixé. La valeur de z(M, t) a été convertie en niveaux de gris (blanc pour les maxima, noir pour
les minima).
mode (0,1)
mode (0,2)
mode (1,1)
mode (1,2)
mode (2,1)
mode (2,2)
Vérifier la cohérence de ces simulations avec les résultats obtenus. On déterminera en
particulier les lignes nodales, c’est-à-dire les points de la membrane qui restent immobiles,
représentées en traits continus sur la figure.