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Chapitre PT2: La diffusion thermique Exercices
TD-PT2 : La diffusion thermique
Révisions de cours :
Enoncer et exploiter les principes de la thermodynamique pour une transformation élémentaire.
Utiliser avec rigueur les notations d et δen leur attachant une signification.
Citer les trois modes de transfert thermique.
Expliquer que la diffusion est un déplacement d’énergie de proche en proche dans la matière
macroscopiquement immobile.
Définir le vecteur densité de courant thermique −→ jQet le flux thermique à travers une surface
orientée.
Définir l’hypothèse d’équilibre thermodynamique local.
Définir et utiliser les champs scalaires intensifs (volumiques ou massiques) associés à des gran-
deurs extensives de la thermodynamique.
Enoncer la loi phénoménologique de Fourier. Citer les ordres de grandeur de la conductivité
thermique dans les conditions usuelles : air, eau, béton, acier.
Etablirl’équationlocaledeconservationdel’énergiedanslecasd’unproblèmeunidimensionnelen
coordonnées cartésiennes, cylindriques et sphériques. On se limitera au cas d’un milieu évoluant
à volume constant.
Etablir l’équation locale de conservation de l’énergie avec le terme source de l’effet Joule.
Citerl’équation locale deconservationdel’énergie généraliséeengéométriequelconque(expres-
sion admise).
Etablir l’équation de diffusion vérifiée par la température, avec ou sans terme source.
Relier l’équation de diffusion à l’irréversibilité temporelle du phénomène.
Exploiter la linéarité de l’équation de diffusion.
Analyser en ordre de grandeur une équation de diffusion pour relier les échelles caractéristiques
spatiales et temporelles.
Exploiterlacontinuitédufluxthermique,lacontinuitédelatempératurepouruncontactthermique
parfait, traduire le contact avec une paroi calorifugée.
Utiliser la relation de Newton (fournie) à l’interface solide-fluide.
Définir la notion de résistance thermique par analogie avec l’électrocinétique. Enoncer les condi-
tions d’application de l’analogie.
Etablir l’expression de la résistance thermique d’un cylindre calorifugé latéralement (régime sta-
tionnaire).
Exploiter des associations de résistances thermiques en série ou en parrallèle.
ARQS : mettre en évidence un temps caractéristique d’évolution de la température et justifier
l’ARQS. Etablir l’analogie avec un circuit électrique RC.
Ondesthermiques : établirlarelation dedispersionde sondes thermiquesengéométrie unidirec-
tionnelle.
Effet de peau thermique : mettre en évidence le déphasage lié à la propagation et établir une
distance caractéristique d’atténuation.
1PSI, lycée de l’Essouriau, 2014/2015

Chapitre PT2: La diffusion thermique Exercices
Exercice 1 : QCM - Diffusion thermique
1. Deux thermostats de températures T1et T2sont reliés par 3 barres de cuivre de longueurs L1=L2=
2L3= 2Let de sections S3=S2= 4S1. Que peut-on dire des flux thermiques φ1,φ2et φ3traversant
chacune des barres, sachant que T1> T2?
a) φ1< φ2< φ3b) φ3< φ2< φ1c) φ2< φ3< φ1b) autre réponse
2. Une brique de construction est modélisée par le schéma ci-dessus. Elle est réalisée en matériau de
conductivité thermique λbet l’air qu’elle contient a la conductivité thermique λa. Estimer la puissance
thermique la traversant en fonction des résistances thermiques R1=3
Lλbet R2=1 L1 λa+2 λb.
a) (T1−T2)R1+2R2
R1R2b) T1−T2 R1+R2c) T1−T2 R1−R2
3. Estimerladuréecaractéristiquedechauffed’unmoteurdetailleL∼31cm (enmétalD∼2.10−4m2.s−1).
a) 2 minutes b) 4 minutes c) 6 minutes d) 8 minutes
Exercice 2 : la sensation de chaud ou de froid
L’exercice présenté ici propose
une modélisation très simplifiée
permettant de comprendre la sen-
sationdechaudoudefroidd’objets
pourtant à la même température.
Deuxcylindres, isolésthermiquement surleurssurfaceslatérales,demême sectionS,demêmeaxe(Ox),de
conductivitésthermiquesλ1et λ2,delongueursL1etL2,sontencontactenx=0.Onmaintientleursextrémités
x=−L1et x=L2aux températures respectives T1et T2. On se place en régime stationnaire.
1. Déterminer la température Tià l’interface en x=0.
2. On donne : T1= 37˚C(main), T2= 20˚C(bois ou acier), L1=L2,λ1= 10W.m−1.K−1(main), λ2=
1W.m−1.K−1(bois) et λ0
2=100W.m−1.K−1(acier).
Faire l’application numérique de Tipour un contact main-bois, et pour un contact main −acier.
2PSI, lycée de l’Essouriau, 2014/2015

Chapitre PT2: La diffusion thermique Exercices
Exercice 3 : analogies thermique/électrique
Lebutdecetexerciceestdecomparerleréchauffementd’uncorpsencontactavecunthermostatetlacharge
d’un condensateur dans un circuit RC.
1. On considère tout d’abord un circuit constitué d’une résistance Ret d’une capacité Cen série.
Le circuit est alimenté par une tension U0(t)et parcouru par un courant d’intensité i. Donner la relation
qui existe entre iet la tension u(t)aux bornes de la capacité.
Etablir l’équation différentielle satisfaite par u(t). La résoudre dans le cas où la tension d’entrée est un
créneau d’amplitude Eétabli à t=0.
2. On considère maintenant un thermostat suffisamment gros pour que sa température T0ne varie pas.
At=0,ilestmisencontactavecuncylindredemétalderayonRetdehauteurH,decapacitécalorifique
Cp, dont la température est notée TM(t). On suppose que le métal est très bon conducteur de sorte que
sa température est à tout instant uniforme sauf au niveau du contact thermique avec le thermostat. On
admet qu’il est équivalent à une couche de conductivité thermique λet d’épaisseur `.
(a) Appliquer le premier principe de la thermodynamique au bloc de métal et en déduire la relation
qui existe entre dTM
dt et le flux de chaleur Φ(t)entrant dans le cylindre de métal. Quelles sont les
quantités analogues de Tet Φen électricité?
(b) A priori le flux Φvarie d’un endroit à l’autre dans la couche de contact. L’épaisseur de cette couche
étant cependant très petite, on considèrera que φà un instant t est uniforme. Dans ces conditions,
écrirela loi deFouriereten déduire larelationentre T0−TM(t)etΦ(t).Faireà nouveaul’analogie
avec l’électricité. On notera Sla surface du cylindre de métal.
(c) Al’aidedesdeux relations établiesci-dessus, établirl’équationdifférentielle satisfaiteparTM(t). La
résoudre dans le cas où TM(0)=Ti6=T0.
Exercice 4 : Résolution de problème - survie sur la banquise
Par son métabolisme, un être humain dégage une
puissance de 50W, si son corps est conduit à déga-
ger une puissance plus grande, alors sa vie est en
danger; bien couvert, il survit à 10˚C; dehors, il fait
−10˚C. La conductivité thermique de la glace est λ=
0,05W.K−1.m−1. On considérera le cas d’un igloo de
2mdediamètreetonnégligeratouteconductionavecle
sol.
Déterminer l’épaisseur de la glace pour qu’un être humain puisse survivre dans un igloo de 2 m de diamètre.
Donnée : en coordonnée sphérique le laplacien de A s’écrit ∆A=1
r∂2(rA)
∂r2+1 r2sinθ∂
∂θ sinθ∂A ∂θ +1
r2sin2θ∂2A
∂Φ2
3PSI, lycée de l’Essouriau, 2014/2015

Chapitre PT2: La diffusion thermique Exercices
Exercice 5 : gel d’un lac
Lorsquel’airau dessusd’unlacdesurface Sest àunetempératureTainférieureà la températurede fusion
(c’estàdireaussidesolidification)delaglaceTf,l’eaudesurfacedulaccommenceàgeler.L’épaisseurdeglace
formée est notée e(t). On constate qu’elle croît lentement, proportionnellement à √tpour des temps importants.
On note Tfla température de l’eau liquide, supposée uniforme, et T(z,t)la température de la glace pour
0< z < e(t). On suppose que le profil de température T(z,t)est le même que si le régime était stationnaire
(il ne l’est pas, puisque la glace croît; approximation des régimes quasi-stationnaires).
On donne la température de fusion Tf=273Ket la chaleur latente lf=330kJ.kg−1de fusion de la glace,
ainsi que sa masse volumique µ, sa capacité calorifique massique c= 4,18kJ.kg−1.K−1et sa conductivité
thermique λ. On adoptera la même valeur µpour la masse volumique de l’eau.
On suppose que l’air impose sa température Taà la surface du lac, c’est à dire T(z=0,t)=Ta.
1. Exprimer le flux thermique φtraversant la couche de glace dans le sens des zdécroissants en fonction
de λ,e(t),S,Taet Tf.
2. En faisant un bilan d’énergie interne pour la petite couche de glace de volume dV qui se forme entre t
et t+dt, montrer que e(t)est solution de :
ede
dt =λ(Tf−Ta) µlf
En déduire e(t)pour e(t= 0) = e0(on part d’un lac déjà partiellement gelé) et commenter le résultat
obtenu.
3. Endéduireuneduréecaractéristiqueτcdesvariationsdee(t).Discuterlavaliditédel’approximationd’un
régime quasi-stationnaire.
Exercice 6 : Equation de la diffusion thermique - cas unidimensionnels
1. Retrouver l’équation de la diffusion thermique dans les cas unidimensionnels suivants (il n’y a ni produc-
tion ni consommation d’énergie dans le milieu). On supposera les diffusivités thermiques des différents
matériaux constants.
(a) Tuyaumétalliqueinfini,desection Sconstante,auxparoislatéralesparfaitementisoléesthermique-
ment, dont le diamètre est négligeable devant la longueur (le problème est donc unidimensionnel).
Oest un point de l’axe de tuyau, on note xla distance à Ole long de ce tuyau.
(b) Diffusion dans l’air (gaz supposé parfait) autour du point O. On notera rla distance au point O.
2. On place en Oun petit résistor (taille négligeable devant l’échelle d’étude), qui dissipe une puissance
thermique P=RI2(avec Ret Iconstants). On attend que le régime stationnaire soit établi, le problème
reste unidimensionnel dans chaque cas.
En considérant les deux cas possibles vus à la question 1, calculer Ten tout point de l’espace, en notant
T0la température en un point situé à la distance dde O.
4PSI, lycée de l’Essouriau, 2014/2015

Chapitre PT2: La diffusion thermique Exercices
Exercice 7 : Onde thermique dans un four
La face interne d’un four constitué d’un mur de conductivité thermique λ= 6,92.10−4W.m−1.K−1et de
diffusivité thermique Dth = 5,16.10−4m2.s−1ets soumises à des variations périodiques de température telle
quecelle-cipassedelavaleurminimale100˚Càlavaleurmaximale750˚Cpendantunepériode 2π
ω=3heures.
On appelle (Ox) l’axe perpendiculaire au mur du four. On considère le problème comme étant unidimensionnel.
1. Justifier qu’il est pertinent de chercher des solutions sous la forme : T(x,t)=Tmej(ωt−kx)+To.
2. Déterminer la relation de dispersion.
3. Déterminer l’évolution spatio-temporelle de la température dans le mur du four T(x,t)en fonction de ω,
To=325˚Cet Dth. On introduira une longueur caractéristique à exprimer en fonction de ωet Dth.
4. Déterminer :
– L’épaisseur de peau thermique. Réponse : l=1,33 m
– Les températures maximales et minimales en x=0,2 m. Réponse : 605˚C et 454˚C
– Le déphasage entre la face interne et l’onde à la profondeur x=0,2 m. Réponse : 0,15 rad
– La température sur la face interne lorsque la température est maximale en x=0,2 m. Réponse : 646˚C
Exercice 8 : ailette de refroidissement (d’après CCP PSI 2001)
5PSI, lycée de l’Essouriau, 2014/2015