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Chapitre PT2: La diffusion thermique Exercices TD-PT2 : La diffusion thermique Révisions de cours : Enoncer et exploiter les principes de la thermodynamique pour une transformation élémentaire. Utiliser avec rigueur les notations d et δ en leur attachant une signification. Citer les trois modes de transfert thermique. Expliquer que la diffusion est un déplacement d’énergie de proche en proche dans la matière macroscopiquement immobile. → − Définir le vecteur densité de courant thermique j Q et le flux thermique à travers une surface orientée. Définir l’hypothèse d’équilibre thermodynamique local. Définir et utiliser les champs scalaires intensifs (volumiques ou massiques) associés à des grandeurs extensives de la thermodynamique. Enoncer la loi phénoménologique de Fourier. Citer les ordres de grandeur de la conductivité thermique dans les conditions usuelles : air, eau, béton, acier. Etablir l’équation locale de conservation de l’énergie dans le cas d’un problème unidimensionnel en coordonnées cartésiennes, cylindriques et sphériques. On se limitera au cas d’un milieu évoluant à volume constant. Etablir l’équation locale de conservation de l’énergie avec le terme source de l’effet Joule. Citer l’équation locale de conservation de l’énergie généralisée en géométrie quelconque (expression admise). Etablir l’équation de diffusion vérifiée par la température, avec ou sans terme source. Relier l’équation de diffusion à l’irréversibilité temporelle du phénomène. Exploiter la linéarité de l’équation de diffusion. Analyser en ordre de grandeur une équation de diffusion pour relier les échelles caractéristiques spatiales et temporelles. Exploiter la continuité du flux thermique, la continuité de la température pour un contact thermique parfait, traduire le contact avec une paroi calorifugée. Utiliser la relation de Newton (fournie) à l’interface solide-fluide. Définir la notion de résistance thermique par analogie avec l’électrocinétique. Enoncer les conditions d’application de l’analogie. Etablir l’expression de la résistance thermique d’un cylindre calorifugé latéralement (régime stationnaire). Exploiter des associations de résistances thermiques en série ou en parrallèle. ARQS : mettre en évidence un temps caractéristique d’évolution de la température et justifier l’ARQS. Etablir l’analogie avec un circuit électrique RC. Ondes thermiques : établir la relation de dispersion de sondes thermiques en géométrie unidirectionnelle. Effet de peau thermique : mettre en évidence le déphasage lié à la propagation et établir une distance caractéristique d’atténuation. 1 PSI, lycée de l’Essouriau, 2014/2015 Chapitre PT2: La diffusion thermique Exercices Exercice 1 : QCM - Diffusion thermique 1. Deux thermostats de températures T1 et T2 sont reliés par 3 barres de cuivre de longueurs L1 = L2 = 2L3 = 2L et de sections S3 = S2 = 4S1 . Que peut-on dire des flux thermiques φ1 , φ2 et φ3 traversant chacune des barres, sachant que T1 > T2 ? a) φ1 < φ2 < φ3 b) φ3 < φ2 < φ1 c) φ2 < φ3 < φ1 b) autre réponse 2. Une brique de construction est modélisée par le schéma ci-dessus. Elle est réalisée en matériau de conductivité thermique λb et l’air qu’elle contient a la conductivité thermique λa . Estimer la puissance thermique la traversant en fonction des résistances thermiques R1 = Lλ3b et R2 = L1 λ1a + λ2b . a) (T1 − T2 ) R1 + 2R2 R1 R2 b) T1 − T2 R1 + R2 c) T1 − T2 R1 − R2 3. Estimer la durée caractéristique de chauffe d’un moteur de taille L ∼ 31cm (en métal D ∼ 2.10−4 m2 .s−1 ). a) 2 minutes b) 4 minutes c) 6 minutes d) 8 minutes Exercice 2 : la sensation de chaud ou de froid L’exercice présenté ici propose une modélisation très simplifiée permettant de comprendre la sensation de chaud ou de froid d’objets pourtant à la même température. Deux cylindres, isolés thermiquement sur leurs surfaces latérales, de même section S, de même axe (Ox), de conductivités thermiques λ1 et λ2 , de longueurs L1 et L2 , sont en contact en x = 0. On maintient leurs extrémités x = −L1 et x = L2 aux températures respectives T1 et T2 . On se place en régime stationnaire. 1. Déterminer la température Ti à l’interface en x = 0. 2. On donne : T1 = 37˚C (main), T2 = 20˚C (bois ou acier), L1 = L2 , λ1 = 10W .m−1 .K −1 (main), λ2 = 1W .m−1 .K −1 (bois) et λ02 = 100W .m−1 .K −1 (acier). Faire l’application numérique de Ti pour un contact main-bois, et pour un contact main − acier. 2 PSI, lycée de l’Essouriau, 2014/2015 Chapitre PT2: La diffusion thermique Exercices Exercice 3 : analogies thermique/électrique Le but de cet exercice est de comparer le réchauffement d’un corps en contact avec un thermostat et la charge d’un condensateur dans un circuit R C . 1. On considère tout d’abord un circuit constitué d’une résistance R et d’une capacité C en série. Le circuit est alimenté par une tension U0 (t) et parcouru par un courant d’intensité i. Donner la relation qui existe entre i et la tension u(t) aux bornes de la capacité. Etablir l’équation différentielle satisfaite par u(t). La résoudre dans le cas où la tension d’entrée est un créneau d’amplitude E établi à t = 0. 2. On considère maintenant un thermostat suffisamment gros pour que sa température T0 ne varie pas. A t = 0, il est mis en contact avec un cylindre de métal de rayon R et de hauteur H, de capacité calorifique Cp , dont la température est notée TM (t). On suppose que le métal est très bon conducteur de sorte que sa température est à tout instant uniforme sauf au niveau du contact thermique avec le thermostat. On admet qu’il est équivalent à une couche de conductivité thermique λ et d’épaisseur `. (a) Appliquer le premier principe de la thermodynamique au bloc de métal et en déduire la relation dTM qui existe entre et le flux de chaleur Φ(t) entrant dans le cylindre de métal. Quelles sont les dt quantités analogues de T et Φ en électricité ? (b) A priori le flux Φ varie d’un endroit à l’autre dans la couche de contact. L’épaisseur de cette couche étant cependant très petite, on considèrera que φ à un instant t est uniforme. Dans ces conditions, écrire la loi de Fourier et en déduire la relation entre T0 − TM (t) et Φ(t). Faire à nouveau l’analogie avec l’électricité. On notera S la surface du cylindre de métal. (c) A l’aide des deux relations établies ci-dessus, établir l’équation différentielle satisfaite par TM (t). La résoudre dans le cas où TM (0) = Ti 6= T0 . Exercice 4 : Résolution de problème - survie sur la banquise Par son métabolisme, un être humain dégage une puissance de 50W , si son corps est conduit à dégager une puissance plus grande, alors sa vie est en danger ; bien couvert, il survit à 10˚C ; dehors, il fait −10˚C . La conductivité thermique de la glace est λ = 0, 05W .K −1 .m−1 . On considérera le cas d’un igloo de 2m de diamètre et on négligera toute conduction avec le sol. Déterminer l’épaisseur de la glace pour qu’un être humain puisse survivre dans un igloo de 2 m de diamètre. Donnée : en coordonnée sphérique le laplacien de A s’écrit ∆A = 3 1 ∂2 (rA) r ∂r 2 + 1 ∂ r 2 sin θ ∂θ sin θ ∂A ∂θ + 1 ∂2 A r 2 sin2 θ ∂Φ2 PSI, lycée de l’Essouriau, 2014/2015 Chapitre PT2: La diffusion thermique Exercices Exercice 5 : gel d’un lac Lorsque l’air au dessus d’un lac de surface S est à une température Ta inférieure à la température de fusion (c’est à dire aussi de solidification) de la glace Tf , l’eau de surface du lac commence √ à geler. L’épaisseur de glace formée est notée e(t). On constate qu’elle croît lentement, proportionnellement à t pour des temps importants. On note Tf la température de l’eau liquide, supposée uniforme, et T (z, t) la température de la glace pour 0 < z < e(t). On suppose que le profil de température T (z, t) est le même que si le régime était stationnaire (il ne l’est pas, puisque la glace croît ; approximation des régimes quasi-stationnaires). On donne la température de fusion Tf = 273K et la chaleur latente lf = 330kJ.kg−1 de fusion de la glace, ainsi que sa masse volumique µ, sa capacité calorifique massique c = 4, 18kJ.kg−1 .K −1 et sa conductivité thermique λ. On adoptera la même valeur µ pour la masse volumique de l’eau. On suppose que l’air impose sa température Ta à la surface du lac, c’est à dire T (z = 0, t) = Ta . 1. Exprimer le flux thermique φ traversant la couche de glace dans le sens des z décroissants en fonction de λ, e(t), S, Ta et Tf . 2. En faisant un bilan d’énergie interne pour la petite couche de glace de volume dV qui se forme entre t et t + dt, montrer que e(t) est solution de : e de λ(Tf − Ta ) = dt µlf En déduire e(t) pour e(t = 0) = e0 (on part d’un lac déjà partiellement gelé) et commenter le résultat obtenu. 3. En déduire une durée caractéristique τc des variations de e(t). Discuter la validité de l’approximation d’un régime quasi-stationnaire. Exercice 6 : Equation de la diffusion thermique - cas unidimensionnels 1. Retrouver l’équation de la diffusion thermique dans les cas unidimensionnels suivants (il n’y a ni production ni consommation d’énergie dans le milieu). On supposera les diffusivités thermiques des différents matériaux constants. (a) Tuyau métallique infini, de section S constante, aux parois latérales parfaitement isolées thermiquement, dont le diamètre est négligeable devant la longueur (le problème est donc unidimensionnel). O est un point de l’axe de tuyau, on note x la distance à O le long de ce tuyau. (b) Diffusion dans l’air (gaz supposé parfait) autour du point O. On notera r la distance au point O. 2. On place en O un petit résistor (taille négligeable devant l’échelle d’étude), qui dissipe une puissance thermique P = R I 2 (avec R et I constants). On attend que le régime stationnaire soit établi, le problème reste unidimensionnel dans chaque cas. En considérant les deux cas possibles vus à la question 1, calculer T en tout point de l’espace, en notant T0 la température en un point situé à la distance d de O. 4 PSI, lycée de l’Essouriau, 2014/2015 Chapitre PT2: La diffusion thermique Exercices Exercice 7 : Onde thermique dans un four La face interne d’un four constitué d’un mur de conductivité thermique λ = 6, 92.10−4 W .m−1 .K −1 et de diffusivité thermique Dth = 5, 16.10−4 m2 .s−1 ets soumises à des variations périodiques de température telle que celle-ci passe de la valeur minimale 100˚C à la valeur maximale 750 ˚C pendant une période 2π ω = 3heures. On appelle (Ox) l’axe perpendiculaire au mur du four. On considère le problème comme étant unidimensionnel. 1. Justifier qu’il est pertinent de chercher des solutions sous la forme : T (x, t) = T m ej(ωt−kx ) + To . 2. Déterminer la relation de dispersion. 3. Déterminer l’évolution spatio-temporelle de la température dans le mur du four T (x, t) en fonction de ω, To = 325˚C et Dth . On introduira une longueur caractéristique à exprimer en fonction de ω et Dth . 4. Déterminer : – L’épaisseur de peau thermique. Réponse : l=1,33 m – Les températures maximales et minimales en x=0,2 m. Réponse : 605˚C et 454˚C – Le déphasage entre la face interne et l’onde à la profondeur x=0,2 m. Réponse : 0,15 rad – La température sur la face interne lorsque la température est maximale en x=0,2 m. Réponse : 646˚C Exercice 8 : ailette de refroidissement (d’après CCP PSI 2001) 5 PSI, lycée de l’Essouriau, 2014/2015 Chapitre PT2: La diffusion thermique Exercices 6 PSI, lycée de l’Essouriau, 2014/2015
