TD-PT2 : La diffusion thermique - PCSI

Chapitre PT2: La diffusion thermique Exercices
TD-PT2 : La diffusion thermique
Révisions de cours :
Enoncer et exploiter les principes de la thermodynamique pour une transformation élémentaire.
Utiliseravecrigueurlesnotationsdetδenleurattachantunesignification.
Citerlestroismodesdetransfertthermique.
Expliquer que la diffusion est un déplacement d’énergie de proche en proche dans la matière
macroscopiquementimmobile.
Définir le vecteur densité de courant thermique −→ jQet le flux thermique à travers une surface
orientée.
Définirl’hypothèsed’équilibrethermodynamiquelocal.
Définiretutiliserleschampsscalairesintensifs(volumiquesoumassiques)associésàdesgran-
deursextensivesdelathermodynamique.
Enoncer la loi phénoménologique de Fourier. Citer les ordres de grandeur de la conductivité
thermiquedanslesconditionsusuelles:air,eau,béton,acier.
Etablirl’équationlocaledeconservationdel’énergiedanslecasd’unproblèmeunidimensionnelen
coordonnéescartésiennes,cylindriquesetsphériques.Onselimiteraaucasd’unmilieuévoluant
àvolumeconstant.
Etablirl’équationlocaledeconservationdel’énergieavecletermesourcedel’effetJoule.
Citerl’équationlocaledeconservationdel’énergiegénéraliséeengéométriequelconque(expres-
sionadmise).
Etablirl’équationdediffusionvérifiéeparlatempérature,avecousanstermesource.
Relierl’équationdediffusionàl’irréversibilitétemporelleduphénomène.
Exploiterlalinéaritédel’équationdediffusion.
Analyserenordredegrandeuruneéquationdediffusionpourrelierleséchellescaractéristiques
spatialesettemporelles.
Exploiterlacontinuitédufluxthermique,lacontinuitédelatempératurepouruncontactthermique
parfait,traduirelecontactavecuneparoicalorifugée.
UtiliserlarelationdeNewton(fournie)àl’interfacesolide-fluide.
Définirlanotionderésistancethermiqueparanalogieavecl’électrocinétique.Enoncerlescondi-
tionsd’applicationdel’analogie.
Etablirl’expressiondelarésistancethermiqued’uncylindrecalorifugélatéralement(régimesta-
tionnaire).
Exploiterdesassociationsderésistancesthermiquesensérieouenparrallèle.
ARQS : mettre en évidence un temps caractéristique d’évolution de la température et justifier
l’ARQS.Etablirl’analogieavecuncircuitélectriqueRC.
Ondesthermiques:établirlarelationdedispersiondesondesthermiquesengéométrieunidirec-
tionnelle.
Effet de peau thermique : mettre en évidence le déphasage lié à la propagation et établir une
distancecaractéristiqued’atténuation.
1PSI, lycée de l’Essouriau, 2016/2017

Chapitre PT2: La diffusion thermique Exercices
Exercice 1 : QCM - Diffusion thermique
1. DeuxthermostatsdetempératuresT1etT2sontreliéspar3barresdecuivredelongueursL1=L2=
2L3=2LetdesectionsS3=S2=4S1.Quepeut-ondiredesfluxthermiquesφ1,φ2etφ3traversant
chacunedesbarres,sachantqueT1> T2?
a) φ1< φ2< φ3b) φ3< φ2< φ1c) φ2< φ3< φ1b) autreréponse
2. Une brique de construction est modélisée par le schéma ci-dessus. Elle est réalisée en matériau de
conductivité thermique λbet l’air qu’elle contient a la conductivité thermique λa. Estimer la puissance
thermiquelatraversantenfonctiondesrésistancesthermiquesR1=3
LλbetR2=1 L1 λa+2 λb.
a) (T1−T2)R1+2R2
R1R2b) T1−T2 R1+R2c) T1−T2 R1−R2
3. Estimerladuréecaractéristiquedechauffed’unmoteurdetailleL∼31cm (enmétalD∼2.10−4m2.s−1).
a) 2minutes b) 4minutes c) 6minutes d) 8minutes
Exercice 2 : la sensation de chaud ou de froid
L’exercice présenté ici propose
une modélisation très simplifiée
permettant de comprendre la sen-
sationdechaudoudefroidd’objets
pourtantàlamêmetempérature.
Deuxcylindres,isolésthermiquementsurleurssurfaceslatérales,demêmesectionS,demêmeaxe(Ox),de
conductivitésthermiquesλ1etλ2,delongueursL1etL2,sontencontactenx=0.Onmaintientleursextrémités
x=−L1etx=L2auxtempératuresrespectivesT1etT2.Onseplaceenrégimestationnaire.
1. Rappelerl’équationdeladiffusionsanstermesourceenrégimestationnaire.
2. Larésoudredanslesmilieux1et2.OnnoteraTilatempératuredel’interfaceenx=0.
3. A partir de l’équation locale de conservation de l’énergie, montrer que le flux du vecteur densité de
courantthermiqueseconserve.
4. EndéduirelatempératureTiàl’interfaceenx=0.
5. On donne : T1= 37◦C(main), T2= 20◦C(bois ou acier), L1=L2,λ1= 10W.m−1.K−1(main),
λ2=1W.m−1.K−1(bois)etλ0
2=100W.m−1.K−1(acier).
Fairel’applicationnumériquedeTipouruncontactmain-bois,etpouruncontactmain −acier.
2PSI, lycée de l’Essouriau, 2016/2017

Chapitre PT2: La diffusion thermique Exercices
Exercice 3 : analogies thermique/électrique
Lebutdecetexerciceestdecomparerleréchauffementd’uncorpsencontactavecunthermostatetlacharge
d’uncondensateurdansuncircuitRC.
1. Onconsidèretoutd’aborduncircuitconstituéd’unerésistanceRetd’unecapacitéCensérie.
LecircuitestalimentéparunetensionU0(t)etparcouruparuncourantd’intensitéi.Donnerlarelation
quiexisteentreietlatensionu(t)auxbornesdelacapacité.
Etablirl’équationdifférentiellesatisfaiteparu(t).Larésoudredanslecasoùlatensiond’entréeestun
créneaud’amplitudeEétabliàt=0.
2. OnconsidèremaintenantunthermostatsuffisammentgrospourquesatempératureT0nevariepas.
At= 0, il est mis en contact avec un cylindre de métal de rayon Ret de hauteur H, de capacité
calorifique Cp, dont la température est notée TM(t). On suppose que le métal est très bon conducteur
de sorte que sa température est à tout instant uniforme sauf au niveau du contact thermique avec le
thermostat.Onadmetqu’ilestéquivalentàunecouchedeconductivitéthermiqueλetd’épaisseur`.
(a) Appliquer le premier principe de la thermodynamique au bloc de métal et en déduire la relation
quiexisteentre dTM
dt etlefluxde chaleurΦ(t)entrantdansle cylindredemétal.Quellessontles
quantitésanaloguesdeTetΦenélectricité?
(b) ApriorilefluxΦvaried’unendroitàl’autredanslacouchedecontact.L’épaisseurdecettecouche
étantcependanttrès petite,onconsidèreraque φàuninstanttestuniforme.Danscesconditions,
écrirelaloideFourieretendéduirelarelationentreT0−TM(t)etΦ(t).Faireànouveaul’analogie
avecl’électricité.OnnoteraSlasurfaceducylindredemétal.
(c) Al’aidedesdeuxrelationsétabliesci-dessus,établirl’équationdifférentiellesatisfaiteparTM(t).La
résoudredanslecasoùTM(0)=Ti6=T0.
Exercice 4 : Résolution de problème - survie sur la banquise
Par son métabolisme, un être humain dégage une
puissance de 50W, si son corps est conduit à déga-
ger une puissance plus grande, alors sa vie est en
danger; bien couvert, il survit à 10◦C; dehors, il fait
−10◦C.La conductivitéthermique dela glaceest λ=
0,05W.K−1.m−1. On considérera le cas d’un igloo de
2mdediamètreetonnégligeratouteconductionavecle
sol.
Déterminer l’épaisseur de la glace pour qu’un être humain puisse survivre dans un igloo de 2 m de diamètre.
Donnée:encoordonnéesphériquelelaplaciendeAs’écrit∆A=1
r2∂(r2∂A
∂r )
∂r +1
r2sinθ∂
∂θ sinθ∂A ∂θ +1
r2sin2θ∂2A
∂Φ2
3PSI, lycée de l’Essouriau, 2016/2017

Chapitre PT2: La diffusion thermique Exercices
Exercice 4bis : Survie sur la banquise
Par son métabolisme, un être humain dégage une
puissancede50W,si son corpsest conduit àdégager
unepuissanceplusgrande,alorssavieestendanger;
bien couvert, il survit à Tint = 10◦C; dehors, il fait
Text =−10◦C.Laconductivitéthermiquedelaglaceest
λ=0,05W.K−1.m−1.Onconsidéreralecasd’unigloo
derayonintérieur R=1m, d’épaisseureonnégligera
toute conduction avec le sol. On se place en régime
stationnaire.
Donnée:encoordonnéesphériquelelaplaciendeAs’écrit∆A=1
r2∂(r2∂A
∂r )
∂r +1
r2sinθ∂
∂θ sinθ∂A ∂θ +1
r2sin2θ∂2A
∂Φ2
1. Donner l’équation de la diffusion en coordonnées sphériques. En déduire que la température dans la
glaceestdelaforme:T(r)=−a
r+boùaetbsontdeuxconstantesréelles.
2. Onnégligetoutphénomènedeconvectionauxparois.Déterminerlesexpressionsdeaetbenfonction
deTint,Text,Rete.
3. Déterminerl’expressiondufluxthermiqueΦenfonctiondeTint,Text,R,eetλ.
4. Calculerl’épaisseurminimaledel’igloopourysurvivre.
Exercice 5 : gel d’un lac
Lorsquel’airaudessusd’unlacdesurfaceSestàunetempératureTainférieureàlatempératuredefusion
(c’estàdireaussidesolidification)delaglaceTf,l’eaudesurfacedulaccommenceàgeler.L’épaisseurdeglace
forméeestnotéee(t).Onconstatequ’ellecroîtlentement,proportionnellementà√tpourdestempsimportants.
On note Tfla température de l’eau liquide, supposée uniforme, et T(z,t)la température de la glace pour
0< z < e(t).OnsupposequeleprofildetempératureT(z,t)estlemêmequesilerégimeétaitstationnaire
(ilnel’estpas,puisquelaglacecroît;approximationdesrégimesquasi-stationnaires).
OndonnelatempératuredefusionTf=273Ketlachaleurlatentelf=330kJ.kg−1defusiondelaglace,
ainsi que sa masse volumique µ, sa capacité calorifique massique c= 4,18kJ.kg−1.K−1et sa conductivité
thermiqueλ.Onadopteralamêmevaleurµpourlamassevolumiquedel’eau.
Onsupposequel’airimposesatempératureTaàlasurfacedulac,c’estàdireT(z=0,t)=Ta.
1. Exprimerlefluxthermiqueφtraversantlacouchedeglacedanslesensdeszdécroissantsenfonction
deλ,e(t),S,TaetTf.
2. Enfaisantunbiland’énergieinternepourlapetitecouchedeglacedevolumedV quiseformeentret
ett+dt,montrerquee(t)estsolutionde:
ede
dt =λ(Tf−Ta) µlf
Endéduiree(t)poure(t=0)=e0(onpartd’unlacdéjàpartiellementgelé)et commenterlerésultat
obtenu.
3. Endéduire unedurée caractéristique τcdesvariations de e(t). Discuter la validité del’approximation
d’unrégimequasi-stationnaire.
4PSI, lycée de l’Essouriau, 2016/2017

Chapitre PT2: La diffusion thermique Exercices
Exercice 6 : Equation de la diffusion thermique - cas unidimensionnels
1. Retrouverl’équationdeladiffusionthermiquedanslescasunidimensionnelssuivants(iln’yaniproduc-
tionniconsommationd’énergiedanslemilieu).Onsupposeralesdiffusivitésthermiquesdesdifférents
matériauxconstants.
(a) Tuyaumétalliqueinfini,desectionSconstante,auxparoislatéralesparfaitementisoléesthermique-
ment,dontlediamètreestnégligeable devant la longueur (leproblèmeest donc unidimensionnel).
Oestunpointdel’axedetuyau,onnotexladistanceàOlelongdecetuyau.
(b) Diffusiondansl’air(gazsupposéparfait)autourdupointO.OnnoterarladistanceaupointO.
2. OnplaceenOun petitrésistor(taillenégligeabledevantl’échelled’étude),quidissipeunepuissance
thermiqueP=RI2(avecRetIconstants).Onattendquelerégimestationnairesoitétabli,leproblème
resteunidimensionneldanschaquecas.
Enconsidérantlesdeuxcaspossiblesvusàlaquestion1,calculerTentoutpointdel’espace,ennotant
T0latempératureenunpointsituéàladistanceddeO.
Exercice 7 : Onde thermique dans un four
Lafaceinterned’unfourconstituéd’unmurdeconductivitéthermiqueλ=6,92.10−4W.m−1.K−1etdedif-
fusivitéthermiqueDth =5,16.10−4m2.s−1etssoumisesàdesvariationspériodiquesdetempératuretelleque
celle-cipassedelavaleurminimale100◦Càlavaleurmaximale750◦Cpendantunepériode 2π
ω=3heures.
Onappelle(Ox)l’axeperpendiculaireaumurdufour.Onconsidèreleproblèmecommeétantunidimensionnel.
1. Justifierqu’ilestpertinentdechercherdessolutionssouslaforme:T(x,t)=Tmej(ωt−kx)+To.
2. Déterminerlarelationdedispersion.
3. Déterminerl’évolutionspatio-temporelledelatempératuredanslemurdufourT(x,t)enfonctiondeω,
To=325◦CetDth.OnintroduiraunelongueurcaractéristiqueàexprimerenfonctiondeωetDth.
4. Déterminer:
— L’épaisseurdepeauthermique.Réponse : l=1,33 m
— Lestempératuresmaximalesetminimalesenx=0,2m.Réponse : 605◦C et 454◦C
— Ledéphasageentrelafaceinterneetl’ondeàlaprofondeurx=0,2m.Réponse : 0,15 rad
— Latempératuresurlafaceinternelorsquelatempératureestmaximaleenx=0,2m.Réponse : 646◦C
Exercice 8 : diamètre d’un fusible
Onconsidèreunfusiblecylindriqueenplombderayona,delongueurL=3cm
(avec L >> a), de conductivité électrique σet de conductivité thermique λ. Le fil
estcontenudans une capsulecontenantde l’airà la températureTo =293K. Le
fusibleestparcouruparuncourantd’intensitéI.Onenvisageuneétudeenrégime
stationnaire,engéométriecylindrique.Onchercheàcalculerlerayonquedoitavoir
cefusiblesachantqu’ilfondpouruncourantI=10A.
Données : températuredefusionduplomb:TF=600K,σ=5,0.106S.m−1,λ=35W.m−1.K−1.
1. Etablirl’équationlocaledeconservationdel’énergieenfonctionduvecteurdensitédecourantthermique
~
jQ,σ,aetI.
2. Déterminerl’équationquevérifielatempératureT(r)danslefilconducteur.
3. On se place exactement dans la configuration où le fusible commence à fondre en son cœur. Le flux
thermiquesurfaciqueconducto-convectifàuneparoiàlatempératureTetencontactavecdel’airàla
températureToestdonnéparl’expression:φ=h(T−To).Donnerlesconditionsauxlimitesenr=0
etenr=a.
4. DéterminerlerayondufusibleadmettantuncourantmaximalI=10A.
5PSI, lycée de l’Essouriau, 2016/2017