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DEVOIR MAISON n˚3
Dates indiquées ci-dessous
AVERTISSEMENT
La présentation, la lisibilité, l’orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des
raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. En particulier, les
résultats non encadrés et non-justifiés ne seront pas pris en compte.
Pour Vendredi 9 Octobre 2015
PROBLÈME 1 : Extrait E3A
Le problème comporte deux parties qui peuvent être traitées de façon largement indépendante.
Notation : n est un entier supérieur ou égal à 2.
Rn rX s est l’espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à n coefficients réels.
R est l’ensemble des réels strictement positifs.
a est un paramètre réel.
Objectif : Étude d’une famille d’applications linéaires.
PARTIE I : Étude de l’application :
" R rX s Ñ
3
Aa :
ÞÑ
P
R3 rX s
X pX 1 qP 2 pX q
paX 1qP 1pX q
1. Montrer que Aa est un endomorphisme de R3 rX s.
2. Écrire la matrice Ma de Aa dans la base canonique de R3 rX s, (X k , 0 ¤ k ¤ 3).
3. Étude du cas particulier a 4.
0 1 0
0
0 4 0
0
est-elle diagonalisable ?
(a) La matrice M4 0 0 6 3
0 0
0 6
(b) Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de A4 .
4. (a) Déterminer en fonction du réel a les valeurs propres de Aa .
(b) Pour quelles valeurs du réel a l’endomorphisme Aa admet-il des valeurs propres doubles ?
(c) Existe-t-il une valeur du réel a pour laquelle Aa admet une valeur propres triple ?
5. Pour quelles valeurs de a, Aa est-il diagonalisable ?
6. Pour quelles valeurs du réel a le degré du polynôme Aa pP q est-il égal au degré de P , pour tout polynôme
P non constant de R3 rX s ?
7. On suppose dans cette question que a n’appartient pas à t2, 1, 0u.
(a) Déterminer KerpAa q par la donnée d’une de ses bases.
(b) Montrer que p1 aX, X 2 , X 3 q est une base de ImpAa q.
(c) Discuter selon p P N, 0 ¤ p ¤ 3, l’ensemble des polynômes de R3 rX s solutions de l’équation :
X pX
1qP 2 pX q
paX 1qP 1pX q X p
PARTIE II : QUELQUES PROPRIÉTÉS DE L’APPLICATION :
" R rX s Ñ
n
Apa,nq :
paX 1qP 1pX q
Justifier rapidement que Apa,nq est un endomorphisme de Rn rX s.
Écrire la matrice Ma de Apa,nq dans la base canonique de Rn rX s, (X k , 0 ¤ k ¤ n).
Soit λ P R. Montrer que λ est une valeur propre de Apa,nq si et seulement si il existe k P N, 0 ¤ k ¤ n
tel que λ k pa k 1q.
Montrer que si a P R , l’endomorphisme Apa,nq est diagonalisable.
Dans le cas particulier où a 0, Apa,nq est-elle diagonalisable ?
P
1.
2.
3.
4.
Rn rX s
X p X 1 qP 2 pX q
Lycée de l’Essouriau - Les Ulis
ÞÑ
1
PSI
DEVOIR MAISON n˚3
Dates indiquées ci-dessous
Pour Mardi 13 Octobre 2015
Exercices n˚114, 120 et 137 de la feuille d’exercice n˚3
Pour Mercredi 14 Octobre 2015 - à déposer sur le serveur NAS
Soit M P Mn pKq telle que χm soit scindé sur K.
On note λ1 , . . . , λn les valeurs propres de M sans tenir compte de leur multiplicité respective.
On a prouvé que : «
n
@k P N, ° λki trpM k q.
»
i 1
Écrire sur Python un programme permettant de déterminer la valeur propre de plus grand module à l’aide
des traces de deux puissances itérées consécutives.
(en supposant que les valeurs propres sont distinctes et que la trace n’est jamais nulle)
Pour pouvez répondre aux questions dans votre programme Python en laissant des commentaires.
1. On réfléchira à un test d’arrêt « satisfaisant » pour cette méthode.
0, 5172 0, 5473 1, 224 0, 8012
0, 5473 1, 388
1, 353
1, 112
2. Appliquer votre programme à la matrice A 1, 224 1, 353 0, 03642 2, 893
0, 8012 1, 112 2, 893 0, 05827
2
Que trouve-t-on comme valeur propre à 10 près ?
.
3. Toujours avec ce programme, déterminez une deuxième valeur propre de A (à 102 près).
4. Conclure en donnant le spectre de M (à 102 près). M est-elle diagonalisable ?
Lycée de l’Essouriau - Les Ulis
2
PSI