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DEVOIR MAISON n˚2
Pour le 29/09/15
AVERTISSEMENT
La présentation, la lisibilité, l’orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des
raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. En particulier, les
résultats non encadrés et non-justifiés ne seront pas pris en compte.
PROBLÈME : ÉTUDE D’UN PRODUIT INFINI
D’après sujet E3A
Soit n est un entier naturel non nul. Dans tout l’exercice, pan q est une suite d’éléments non nuls de R.
n
¹
On lui associe la suite ppn q définie par : pn
Lorsque ppn q diverge vers
ak . Lorsque ppnq converge, on note p sa limite.
k 1
8 (resp. vers 8), on dit que ppnq admet 8 (resp. 8) pour limite.
Partie I - ÉTUDE D’EXEMPLES
1. On suppose que la suite pan q est définie par @n P N , an α.
Donner une condition nécessaire et suffisante sur α pour que ppn q converge.
1
2. On suppose que la suite pan q est définie par @n P N , an 1
.
n
Étudier la nature de la suite ppn q.
3. On suppose que la suite pan q est définie par @n P N , an e n .
n 1
°
(a) Pour n ¥ 1, on pose : un lnpnq. Déterminer un équivalent de un
k1 k
1
(b) Déterminer la nature de la série
°
un
un.
ln n
k 8
P R tel que
k 1
En déduire la nature de la suite ppn q.
(c) En conclure qu’il existe γ
(d)
1
n 1
°
γ
1
un.
o p1 q.
Partie II - ÉTUDE DU CAS GÉNÉRAL
4. Donner un exemple de suite pan q telle que ppn q converge vers 0.
5. Prouver que, si ppn q converge vers p différent de 0, alors pan q converge vers 1.
6. On suppose dans cette question qu’il existe un entier naturel n0 tel que : an
On pose, pour n ¡ n0 , qn
n
¹
¡0
pour n ¡ n0 .
ak .
k n0 1
(a) Pour n supérieur à n0 , exprimer qn en fonction de pn et de pn0 .
(b) Montrer que, si la série
°
lnpan q converge, alors la suite ppn q converge et que p est non nul.
(c) On suppose que la suite des sommes partielles de la série
Préciser dans chacun des deux cas la limite de la suite ppn q.
Dans ce qui suit, on définit un par an
1
°
lnpan q diverge vers
8 ou 8.
un .
7. On suppose dans cette question que, pour tout n, on a : un ¥ 0.
°
Démontrer que la suite ppn q converge vers p ¡ 0 si et seulement si la série un converge.
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1
PSI
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8. On suppose dans cette question que la série
(a) Montrer que, si la série
(b) Montrer que, si la série
9. Montrer que, si la série
°
°
u2n
° 2
un
°
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un converge (un n’est plus nécessairement positif !)
converge, alors la suite ppn q converge et p est non nul.
diverge, alors la suite ppn q converge et p 0.
un est absolument convergente, alors la suite ppn q converge et p est non nul.
Partie III
Les deux questions qui suivent sont indépendantes l’une de l’autre. On pourra les traiter en utilisant les
résultats établis à la partie II, à condition de s’y référer de manière très précise.
10. Soit pun q une suite de nombres réels vérifiant 1
pn
n
¹
un
ak
0 pour n ¥ 1. On pose :
et
vn
upn
n
k 1
(a) Pour n ¡ 1, exprimer vn en fonction de
1
1
et de
.
pn
pn1
°
(b) On suppose dans cette question que la°série u2n converge.
°
Établir que la convergence de la série un implique celle de la série vn .
Que dire de la réciproque ? Justifier.
11. Soit α un réel strictement positif, et αn
n P N , an soit on nul.
1
sin
c
nα
où c est un nombre réel tel que pour tout
(a) Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur α et c pour que ppn q converge vers 0.
(b) On suppose que α 1. Étudier la convergence de la série
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2
°
pn .
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