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DEVOIR MAISON n˚2 Pour le 29/09/15
AVERTISSEMENT
La pr´esentation, la lisibilit´e, l’orthographe, la qualit´e de la r´edaction,la clart´e et la pr´ecision des
raisonnements entreront pour une part importante dans l’appr´eciation des copies. En particulier, les
r´esultats non encadr´es et non-justifi´es ne seront pas pris en compte.
PROBL` EME : ´ ETUDE D’UN PRODUIT INFINI
D’apr`es sujet E3A
Soit nest un entier naturel non nul. Dans tout l’exercice, anest une suite d’´el´ements non nuls de R.
On lui associe la suite pnd´efinie par : pn
n
k1
ak. Lorsque pnconverge, on note psa limite.
Lorsque pndiverge vers (resp. vers ), on dit que pnadmet (resp. ) pour limite.
Partie I - ´ ETUDE D’EXEMPLES
1. On suppose que la suite anest d´efinie par nN, anα.
Donner une condition n´ecessaire et suffisante sur αpour que pnconverge.
2. On suppose que la suite anest d´efinie par nN, an11
n.
´
Etudier la nature de la suite pn.
3. On suppose que la suite anest d´efinie par nN, ane1
n.
(a) Pour n1, on pose : un
n
k1
1
kln n. D´eterminer un ´equivalent de un1un.
(b) D´eterminer la nature de la s´erie un1un.
(c) En conclure qu’il existe γRtel que
n
k1
1
kln n γ o 1 .
(d) En d´eduire la nature de la suite pn.
Partie II - ´ ETUDE DU CAS G´ EN´ ERAL
4. Donner un exemple de suite antelle que pnconverge vers 0.
5. Prouver que, si pnconverge vers pdiff´erent de 0, alors anconverge vers 1.
6. On suppose dans cette question qu’il existe un entier naturel n0tel que : an0 pour n n0.
On pose, pour n n0,qn
n
k n01
ak.
(a) Pour nsup´erieur `a n0, exprimer qnen fonction de pnet de pn0.
(b) Montrer que, si la s´erie ln anconverge, alors la suite pnconverge et que pest non nul.
(c) On suppose que la suite des sommes partielles de la s´erie ln andiverge vers ou .
Pr´eciser dans chacun des deux cas la limite de la suite pn.
Dans ce qui suit, on d´efinit unpar an1un.
7. On suppose dans cette question que, pour tout n, on a : un0.
D´emontrer que la suite pnconverge vers p0 si et seulement si la s´erie unconverge.
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DEVOIR MAISON n˚2 Pour le 29/09/15
8. On suppose dans cette question que la s´erie unconverge (unn’est plus n´ecessairement positif !)
(a) Montrer que, si la s´erie u2
nconverge, alors la suite pnconverge et pest non nul.
(b) Montrer que, si la s´erie u2
ndiverge, alors la suite pnconverge et p0.
9. Montrer que, si la s´erie unest absolument convergente, alors la suite pnconverge et pest non nul.
Partie III
Les deux questions qui suivent sont ind´ependantes l’une de l’autre. On pourra les traiter en utilisant les
r´esultats ´etablis `a la partie II, `a condition de s’y r´ef´erer de mani`ere tr`es pr´ecise.
10. Soit unune suite de nombres r´eels v´erifiant 1 un0 pour n1. On pose :
pn
n
k1
aket vn
un
pn
(a) Pour n1, exprimer vnen fonction de 1
pn
et de 1
pn1
.
(b) On suppose dans cette question que la s´erie u2
nconverge.
´
Etablir que la convergence de la s´erie unimplique celle de la s´erie vn.
Que dire de la r´eciproque ? Justifier.
11. Soit αun r´eel strictement positif, et αn1 sin c
nαo`u cest un nombre r´eel tel que pour tout
nN,ansoit on nul.
(a) D´eterminer une condition n´ecessaire et suffisante sur αet cpour que pnconverge vers 0.
(b) On suppose que α1. ´ Etudier la convergence de la s´erie pn.
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