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Electricité – Deuxième partie
TD E4 : Circuits linéaires en régime sinusoïdal forcé
But du chapitre
Etudier le comportement d’un circuit RLC lorsqu’il est soumis à une tension sinusoidale.
Plan prévisionnel du chapitre
E4 : Circuits linéaires en régime sinusoïdal forcé
I - Signaux électriques sinusoïdaux
1°) Paramètres permettant de décrire une grandeur sinusoïdale
2°) Valeur efficace d’une grandeur sinusoïdale
3°) Déphasage d’une grandeur sinusoïdale par rapport à une autre
II - La notation complexe en électrocinétique
1°) En électrocinétique c’est comme en mécanique
2°) Décrire le comportement des dipôles en régime sinusoidal forcé
3°) Etudier un circuit électrique en régime sinusoidal forcé
III - La construction de Fresnel
1°) Une autre représentation des grandeurs sinusoidales
2°) Représentation de dipôles usuels
3°) Association de dipôles
IV - Circuit RLC série en régime sinusoidal forcé
1°) Le circuit
2°) Amplitudes complexes
3°) Résonance en tension
4°) Résonance en intensité
Savoirs et savoir-faire
Ce qu’il faut savoir :
 Donner les caractéristiques d'un signal sinusoïdal : représentation graphique, expression
mathématique, amplitude, phase, phase à l'origine, période, fréquence, pulsation.
 Donner les expressions des impédances complexes pour une résistance, une bobine idéale et
un condensateur idéal et en déduire le comportement asymptotique de ces dipôles.
 Lois des circuits en régime sinusoïdal forcé : loi d'Ohm, lois d'associations (série, dérivation,
pont diviseur de tension, pont diviseur de courant).
 Lois des circuits en régime sinusoïdal forcé : lois de Kirchhoff (loi des noeuds, loi des
mailles), modèles de Thévenin et Norton.
 Lois des circuits en régime sinusoïdal forcé : loi des noeuds en termes de potentiels,
théorème de Millman.
Ce qu’il faut savoir faire :
 Déterminer le lien entre déphasage entre deux signaux et décalage temporel.
 Établir sous forme canonique l'équation différentielle vérifiée par uC dans un circuit RLC
série, et définir le facteur de qualité Q et la pulsation propre.
 À partir de l'équation différentielle vérifiée par uC dans un circuit RLC série, déterminer par
la méthode complexe l'expression de l'amplitude de la tension Um aux bornes du
condensateur en fonction de la pulsation propre.
 Retrouver les expressions des impédances complexes pour une résistance, une bobine idéale
et un condensateur idéal.
 Dans un circuit RLC série, déterminer à l'aide des lois des circuits en régime sinusoïdal
forcé l'expression de l'amplitude du courant Im en fonction de la pulsation propre.
Electricité – Deuxième partie
Erreurs à éviter/ conseils :






Lorsque le nombre complexe j passe du numérateur au dénominateur et inversement, il ne
faut pas oublier de changer le signe.
Lors de l'écriture de l'argument d'un nombre complexe avec la fonction arctangente, il ne
faut pas oublier que si la partie réelle du nombre complexe est négative, il est nécessaire
d'ajouter (ou d'enlever) π.
Ne pas mélanger les réels et les complexes ! Dans une équation complexe, il ne doit plus y
avoir de cosinus, il est transformé en exponentielle complexe.
Avant tout calcul, il faut regarder s'il est plus simple de travailler avec les impédances Z ou
avec les admittances Y. Sinon les équations peuvent devenir énormes...
Dans les calculs, il faut éliminer les fractions le plus tôt possible, notamment en faisant des
produits en croix.
Il est inutile de multiplier un dénominateur par la quantité complexe conjuguée si on cherche
ensuite le module et l'argument de la fraction. On ne le fera que si on doit séparer les parties
réelle et imaginaire de la fraction (ce qui est assez rare).
Attention : calcul de l’argument à partir des parties réelle et imaginaire
Applications du cours
Savez-vous votre cours ?
Lorsque vous avez étudié votre cours, vous devez pouvoir répondre rapidement aux questions
suivantes :
 Rappeler les définitions d'un signal variable périodique, de sa valeur moyenne. Qu'appelle-ton composante continue, composante alternative de ce signal ?
 Définir la valeur efficace d'un signal périodique. Calculer la valeur efficace d'un signal
alternatif sinusoïdal. Quelle est la relation entre valeur efficace, valeur moyenne et valeur
efficace de la composante alternative ?
 Rappeler les expressions des impédances complexes, notées Z, des dipôles linéaires en
régime variable de type R, L ou C. Préciser dans chaque cas la relation entre u et i. Que
représente arg (Z) ? Quelle est sa valeur dans chacun des cas précédents ?
Electricité – Deuxième partie
Applications
Application 1 : Etude d’une tension sinusoidale
2
Soit la tension u (t )  220 2 sin(628,3  t 
).
5
1. Préciser sa pulsation, sa fréquence, sa période (en ms), sa valeur moyenne, son amplitude, sa
valeur efficace et sa phase initiale (en radians puis en degrés).
2. Construire son chronogramme (courbe u en fonction de t) 1 carreau pour 100 V et 1 carreau
pour 2 ms (placer les passages par 0, les maximums et les minimums).
3. Donner l’expression complexe U de u(t).
Application 2 : Etude d’une tension sinusoidale
Donner la période, la fréquence,
l’amplitude et la valeur efficace de ce

signal sinusoïdal.
La référence de tension (0 V) est à mihauteur de l’écran.
Calibre:
0.2 V/Div.
Base de temps:
50µs/Div.
Application 3 : Association
Associer les phrases suivantes aux six courbes proposées
Phrases :
 la grandeur représentée en pointillés est en avance ;
 la grandeur représentée en pointillés est en retard ;
 les grandeurs mesurées sur les deux voies sont en phase ;
 les grandeurs mesurées sur les deux voies sont en opposition de phase ;
 les grandeurs mesurées sur les deux voies sont en quadrature.
Courbes :
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Application 4 : Mesure d’un déphasage
On relève à l’oscilloscope sur la voie 1 la tension
u(t) aux bornes d’un circuit et sur la voie 2 la
tension uR(t) aux bornes d’une résistance du circuit.
Mesurer le déphasage  de i par rapport à u.
Application 5 : Mesure d’un déphasage
Mesurer le déphasage entre u(t) et i(t) (visualisé à un coefficient multiplicateur près) sur
l’oscillogramme représenté ci-dessous.
Application 6 : Qui est qui ?
Pour un conducteur ohmique, un condensateur et une bobine, on a mesuré simultanément la tension
u aux bornes du dipôle et l’intensité i du courant qui le traverse. On a ensuite tracer u et i en
fonction de t/T. Attribuer chaque graphe au dipôle qui lui correspond.
Application 7 : Lois en régime sinusoidal forcé
Il s’agit d’adapter les lois vues dans le chapitre E2 aux circuits électriques fonctionnant en régime
sinusoidal forcé.
Electricité – Deuxième partie
1°) Pont diviseur de tension
Exprimer u2 (t ) en fonction de u (t ) .
Exprimer U 2 en fonction de U .
2°) Pont diviseur de courant
Exprimer i2 (t ) en fonction de i (t ) .
Exprimer I 2 en fonction de I .
3°) Loi de Pouillet
Exprimer i (t ) en fonction de
e1 (t ), e2 (t ), e3 (t ).
4°) Loi des nœuds en terme de potentiels
Exprimer
VA en
fonction
de
VM 1 ,VM 2 ,VM 3 .
5°) Equivalence Thévenin – Norton
En régime permanent sinusoïdal forcé, on peut représenter ce générateur par une source de tension
sinusoïdale complexe en série avec une impédance complexe (représentation de Thévenin) :
Electricité – Deuxième partie
Exprimer u(t) en fonction de eTh(t) et
i(t).
En régime permanent sinusoïdal forcé, on peut aussi représenter ce générateur par une source de
courant sinusoïdale complexe en parallèle avec une impédance complexe (représentation de Norton)
:
Exprimer i(t) en fonction de iNo(t) et
u(t).
Exprimer les conditions pour lesquelles ces deux modèles sont équivalents.
Application 8 : Association R, C en série
On considère la portion de circuit ci-dessous pour laquelle nous savons que i(t) = Imcos(ωt) et nous
cherchons la tension à ses bornes u(t) = Um.cos(ωt+φ). Exprimer Um et φ en fonction de Im, R, C et
ω en utilisant la notation complexe.
Application 9 : Association R, L en parallèle
On considère la portion de circuit ci-dessous pour laquelle nous savons que u(t) = Umcos(ωt) et
nous cherchons l’intensité du courant traversant l’ensemble i(t) = Im.cos(ωt+φ). Exprimer Im et φ en
fonction de Um, R, L et ω en utilisant la notation complexe.
Application 10 : Association R, C en série – Utilisation de la représentation de
Fresnel
On considère la portion de circuit ci-dessous pour laquelle nous savons que i(t) = Imcos(ωt) et nous
cherchons la tension à ses bornes u(t) = Um.cos(ωt+φ). Exprimer Um et φ en fonction de Im, R, C et
ω en utilisant la représentation de Fresnel.
Application 11 : Association R, L en parallèle
On considère la portion de circuit ci-dessous pour laquelle nous savons que u(t) = Umcos(ωt) et
nous cherchons l’intensité du courant traversant l’ensemble i(t) = Im.cos(ωt+φ). Exprimer Im et φ en
fonction de Um, R, L et ω en utilisant la représentation de Fresnel.
Electricité – Deuxième partie
Application 12 : Utilisation de l’analogie électromécanique
Dans le chapitre M4, on a réalisé une analogie électromécanique entre l’étude du circuit RLC série
en régime libre et l’étude de d’un oscillateur élastique horizontal amorti.
1°) Compléter le tableau suivant (du TD M4) :
Electricité
Mécanique
R
1

k
u u
u0
x x x 0
Equation différentielle
L
LC
m
m
Variable étudiée
u
x
Dérivée de la variable
x
étudiée
R
α
Paramètres de l’oscillateur
L
C
1
0 
Pulsation propre
LC
Période propre
T0  2. .
m
k
Facteur de qualité
Energie de l’oscillateur
2°) On souhaite maintenant étudier le circuit RLC série en régime sinusoidal forcé suivant en
procédant par analogie.
La tension aux bornes du générateur est sinusoidal et a pour expression e(t) = Em.cos(ωt). On
cherche i(t) = Im.cos(ωt+φ1) et uC(t) = UCm.cos(ωt+φ2).
En raisonnant par analogie, donner l’expression de l’amplitude complexe UCm de uC(t) en

fonction de Q, Em et de la pulsation réduite x = ω/ω0 puis en fonction de L, C, R, ω et Em.
 En raisonnant par analogie, donner l’expression de UCm en fonction de x, Q et Em
 En raisonnant par analogie, préciser la valeur de x pour laquelle on peut observer une
résonance en tension. Cette résonance peut-elle avoir lieu pour toutes les valeurs de Q.
 En raisonnant par analogie, proposer courbe représentant l’évolution de UCm et φ2 en
fonction de x.
Exercices
Exercice 1 : Détermination des modèles de Thévenin et Norton
Déterminer le modèle de Thévenin et le modèle de Norton du dipôle représenté entre A et B, la
tension e(t) étant sinusoïdale.
Electricité – Deuxième partie
Exercice 2 : Equivalence entre deux dipôles
On se place en régime sinusoïdal forcé de pulsation ω et on considère les deux dipôles ci-contre.


Quelles doivent être les expressions de L' et R' (en fonction de L, R et co) pour que les deux
dipôles soient équivalents ?
L L'
Pour quelle pulsation a-t-on 
?
R R'
Exercice 3 : Dipôle inconnu
Dans le montage suivant, le GBF délivre une tension e(t) sinusoïdale de pulsation ω0, R est une
résistance et D un dipôle inconnu. On note u(t) = Umcos(ωt)et v(t) = Vmcos(ωt+φ) les tensions aux
bornes respectivement de R et D.
On visualise à l'oscilloscope v(t), u(t) et on obtient le graphe suivant.
L'unité de l'axe des temps est 10-2 s et celle de l'axe des tensions est 1 V. On utilise ces résultats
graphiques pour déterminer les caractéristiques de D, sachant que R= 100 Ω.
1. Déterminer Vm, Um ainsi que la pulsation ω des signaux utilisés.
2. La tension v est-elle en avance ou en retard sur la tension u ? En déduire le signe de φ.
Déterminer la valeur de φ à partir du graphe.
3. On note Z = X + jY l'impédance du dipôle D. Déterminer à partir des résultats précédents les
valeurs de X et Y. Par quel dipôle (condensateur, bobine... ) peut-on modéliser D ? Donner
ses caractéristiques.
Exercice 4 : Quartz piézoélectrique
Un quartz piézoélectrique, destiné à servir d'étalon de fréquence dans une horloge, est modélisé par
un dipôle AB composé de deux branches en parallèle : dans l'une se trouve une bobine d'inductance
Electricité – Deuxième partie
L, en série avec un condensateur de capacité C ; dans l'autre, un condensateur de capacité C 0. On
posera C/C0 = a, et on gardera les variables L, C0, ω et a.
1. Le dipôle AB étant alimenté par une tension sinusoïdale de pulsation ω, calculer son
impédance complexe ZAB = Z.
2. Calculer son module |Z| = Z.
3. Déterminer son argument φ (sans chercher à déterminer son signe).
4. On étudie maintenant en fonction de la pulsation l'impédance Z ; pour cela, on appellera ω1
et ω2, les valeurs finies non nulles de la pulsation pour lesquelles Z est respectivement nulle
et infinie. Donner Z = f(C0, ω, ω1, ω2).
5. Donner l'allure du graphe Z(ω). On précisera tout particulièrement les limites de Z quand ω
tend vers zéro ou l'infini.
6. Quel est le comportement électrique simple de AB pour ω = ω1 et ω = ω2 ?
Exercice 5 : Loi des nœuds en terme de potentiels
Dans le circuit ci-contre, on suppose que tous les générateurs sont sinusoïdaux et de même
pulsation. Déterminer l'expression de l'amplitude complexe du courant I en fonction des données du
schéma et des amplitudes complexes des générateurs.
Exercice 6 : Circuit à deux sources
On souhaite déterminer par plusieurs méthodes la réponse en régime sinusoïdal forcé du circuit
ci-contre.
Les sources sont de la forme e1(t) = Em.cos(ωt) et e2(t) = Em.sin(ωt)
Les solutions temporelles réelles seront données exclusivement sous forme de cosinus.
1. Écrire les tensions complexes associées aux sources, ainsi que leurs amplitudes complexes.
2. Déterminer l'expression de l'amplitude complexe U, en utilisant :
a)
la loi des noeuds en terme de potentiels ;
b)
le théorème de Millman ;
c)
la simplification de schéma.
3.
En déduire l'expression de la tension u(t).
Exercice 7 : Equation différentielle et régime sinusoidal forcé
On considère le circuit ci-contre dans lequel le générateur impose la tension e(t) = Em cos(ωt).
1. Déterminer directement l'équation différentielle vérifiée par iR en utilisant loi des mailles et
loi des nœuds.
2. Déterminer la solution de cette équation en régime permanent, en utilisant la méthode
complexe. Préciser les expressions de l'amplitude IRm et de la phase φ de iR .
3. Pour quelle valeur de la pulsation iR est-elle indépendante de R ? Que valent alors IRm et φ ?
4. Retrouver ce même résultat en utilisant les équivalences Thévenin-Norton en complexes.