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∞
P
k=0
uk
a)uk:R−→ Rb)uk: [0,∞[−→ R
x7−→ uk(x) = (−1)k
k+x2+1 , x 7−→ uk(x) = 1
k+1 1[k,k+1[(x),
c)uk:R−→ Rd)uk: [0,∞[−→ R
x7−→ uk(x) = x
1+k2x2, x 7−→ uk(x) = kx 1+k3x2,
e)uk: [0,∞[−→ Rf)uk: [0,∞[−→ R
x7−→ uk(x) = xk
1+kx2k, x 7−→ uk(x) = e−kx
1+k2.
a k R
R
∀x∈R, uk(x) = ka
k2+ 1xexp(−kx).
XP
k
uk
aP
k
ukX
aP
k
ukR+∗
a≥3P
k
ukX
a∈[2,3[ n x X Rn(x) = ∞
P
k=n+1
uk(x)
Rn1
n−R2n1 n
−→
n→∞
0
k ukR R
∀x∈R, uk(x) = x
k2+x2.
∞
P
k=1
ukR
R
∞
P
k=1
(−1)kuk
R
α k ukR R
∀x∈R, uk(x) = kαx2exp(−x√k).

∞
P
k=0
uk
k ukR R
∀x∈R, uk(x)=3ksin3x
3k.
P
k
uk
P
k
ukR
P
k
uk
Rn(3n) −→
n→∞
0Rnn uk
a∈]−1,1[ f
∀x∈R, f(x) = ∞
X
k=0
sin(akx)
C∞R
f(x) = 1
x+∞
P
k=1
1
x+k+1 x−kx∈R\Z
f f x
2+fx+1 2= 2f(x)x∈R\Z
x∈[0,1] ψ(x) = ∞
P
k=2 1
k−x−1 k+xR1
0ψ(x)dx
x > 0
S(x) = ∞
X
k=1
1
k+k2x.
SR+∗
S
S+∞
S0
x∈]−1,∞[
S(x) = ∞
X
k=1
1
k−1 k+x.

S]−1,∞[
S
S(x+ 1) −S(x)
S(x)−1+
n∈N∗S(n) =
n
P
k=1
1
k
S(x) +∞
x > 0
S(x) = ∞
X
k=0
(−1)k
k+x.
S C1R+∗
S
x > 0S(x+ 1) + S(x) = 1
x
S0
S+∞
x > 0
S(x) = ∞
X
k=1
(−1)k
1 + kx.
SR+∗
S+∞
S C1R+∗
x > 0
S(x) = ∞
X
k=0
(−1)k
kx + 1.
S(x)x→0+
α > 0uk(x) = e−kαxf(x) = ∞
P
k=0
uk(x)
f
f
lim
x→∞f(x)
f(x) = ∞
P
k=1
e−x√k
f f
f

f+∞f x →0+
x∈R{−1}k∈N∗
uk(x) = (−1)k−1
k
xk
1 + xk.
f:7→ ∞
P
k=1
uk(x)R{−1}
x6= 0 x6=−1f(x) + f(1
x) = ∞
P
k=1
(−1)k−1
k
f]−1,1[ ] − ∞,−1[ ]1,∞[
f1
fR
f(x) = ∞
X
k=1
1
k2arctan(kx).
+∞fR+
∗
f(x) = ∞
X
k=1
1
sinh(kx).
fR+
f(x) = ∞
X
k=1
(−1)k−1ln 1 + x
k.
f C1R+
f+∞
fR+
f(x) = ∞
X
k=0
exp −k2x2.
f C1R+
lim
x→∞f(x)
f0
u0R R
∀x∈−1
2,1 2, u0(x) = |x|,

k ukR R
∀x∈R, uk(x) = u0(2kx)
2k.
f x ∈R
f(x) = ∞
X
k=0
uk(x).
fR
R
fR
fR
f[0,1[
x0[0,1[ x0=∞
P
p=1
p
2pxn=
n
P
p=1
p
2pyn=
xn+1
2n+1 nf(yn)−f(xn)
yn−xn= 1 +
n−1
P
k=0
(−1)k+1
Z∞
0
t
et−1dt =∞
X
k=1
1
k2.
Z1
0
arctan t
tdt =−Z1
0
ln t
1 + t2dt.
Z1
0
arctan t
tdt =∞
X
k=0
(−1)k
(2k+ 1)2.
Z1
0
ln(1 + t)
tdt =−Z1
0
ln(t)
1 + tdt.
Z1
0
ln(1 + t)
tdt =∞
X
k=1
(−1)k−1
k2.