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TD : Séries de fonctions
1 Convergences des séries de fonctions
∞
P
Exercice No 1 : Étudier la convergence simple, uniforme et normale des séries de fonctions
uk
k=0
lorsque :
ao ) uk :
R
x
o
c ) uk :
R
x
o
e ) uk : [0, ∞[
x
bo ) uk :
−→ R
7−→
−→
7−→
−→
7−→
uk (x) =
R
uk (x) =
R
uk (x) =
(−1)k
k+x2 +1
,
x
,
1+k2 x2
xk
,
1+kx2k
[0, ∞[ −→ R
x
o
d ) uk : [0, ∞[
x
o
f ) uk : [0, ∞[
x
7 →
−
−→
7−→
−→
7−→
uk (x) =
R
uk (x) =
R
uk (x) =
1
k+1 1[k,k+1[ (x),
kx
,
1+k3 x2
e−kx
.
1+k2
Exercice No 2 : Soit a un réel donné. Pour tout entier k non nul, on note l'application de R dans
R dénie par :
ka
x exp(−kx).
k2 + 1
P
1o ) Étudier le domaine de convergence simple X de uk .
k
P
2o ) Pour quelles valeurs de a, uk est-elle normalement convergente sur X ?
k
P
Établir que pour tout a, uk est normalement convergente sur tout intervalle fermé inclus dans R+∗ .
k P
3o ) Démontrer que si a ≥ 3, uk n'est pas uniformément convergente sur X .
∀x ∈ R, uk (x) =
k
4o )
Soit a ∈ [2, 3[. Pour tout entier n non nul et tout x de X , on note Rn (x) =
que Rn
1
n
− R2n
1
n
0.
−→
n→∞
∞
P
uk (x). Démontrer
k=n+1
Que peut-on en conclure ?
Exercice No 3 : Pour tout entier k non nul, on note uk l'application de R dans R dénie par
∀x ∈ R, uk (x) =
1o ) Démontrer que la série de fonctions
∞
P
k2
x
.
+ x2
uk converge simplement mais pas uniformément sur R. La
k=1
fonction somme est-elle continue sur R ?∞
P
2o ) Démontrer que la série de fonctions
(−1)k uk converge uniformément mais pas normalement sur
R.
k=1
Exercice No 4 : Soit α un réel donné, pour tout naturel k, on note uk l'application de R dans R
dénie par
√
α 2
∀x ∈ R, uk (x) = k x exp(−x k).
1
Étudier la série de fonctions
∞
P
uk .
k=0
Exercice No 5 : Pour tout naturel k, on note uk l'application de R dans R dénie par
∀x ∈ R, uk (x) = 3k sin3
1o ) Étudier la convergence simple de
x
.
3k
P
uk .
k
P
uk est uniformément convergente sur tout segment de R.
k
P
3o ) Calculer la somme de la série de fonctions uk
2o ) Démontrer que
k
0 où Rn désigne le reste d'ordre n de la série de terme général uk . Que
4o ) Démontrer que Rn (3n ) −→
n→∞
peut-on en conclure ?
2 Étude de fonctions dénies par des séries
Exercice No 6 : Soit a ∈] − 1, 1[. Démontrer que la fonction f dénie par
∀x ∈ R, f (x) =
∞
X
sin(ak x)
k=0
est de classe
C∞
sur R.
Exercice No 7 : Justier l'existence de f (x) = x1 +
f est 1-périodique et que l'on a f
x
2
+f
x+1
2
Exercice No 8 : Pour x ∈ [0, 1], soit ψ(x) =
k=1
1
x+k
1
+ x−k
pour tout x ∈ R \ Z. Montrer que
= 2f (x) pour tout x ∈ R \ Z.
∞ P
k=2
calculer sa valeur.
∞
P
1
k−x
−
1
k+x
Exercice No 9 : Pour x > 0, on pose
S(x) =
∞
X
k=1
1o )
2o )
3o )
4o )
1
.
k + k2 x
Montrer que S est bien dénie et continue sur R+∗ .
Étudier la monotonie de S .
Déterminer la limite ainsi qu'un équivalent de S en +∞.
Déterminer la limite ainsi qu'un équivalent de S en 0.
Exercice No 10 : Pour x ∈] − 1, ∞[, on pose
S(x) =
∞
X
1
1
−
.
k k+x
k=1
2
. Justier l'existence de
R1
0
ψ(x) dx et
1o )
2o )
3o )
4o )
Montrer que S est continue sur ] − 1, ∞[.
Étudier la monotonie de S .
Calculer S(x + 1) − S(x).
Déterminer un équivalent de S(x) en −1+ .
n
P
5o ) Établir que pour tout n ∈ N∗ , S(n) =
k=1
1
k.
6o ) Déterminer un équivalent de S(x) en +∞.
Exercice No 11 : Pour x > 0, on pose
S(x) =
∞
X
(−1)k
k=0
1o )
2o )
3o )
4o )
5o )
k+x
.
Justier que S est bien dénie et de classe C 1 sur R+∗ .
Préciser le sens de variation de S .
Établir que pour tout x > 0, S(x + 1) + S(x) = x1 .
Donner un équivalent de S en 0.
Donner un équivalent de S en +∞.
Exercice No 12 : Pour x > 0, on pose
S(x) =
∞
X
(−1)k
.
1 + kx
k=1
1o ) Justier que S est bien dénie et continue sur R+∗ .
2o ) Étudier la limite de S en +∞.
3o ) Établir que S est de classe C 1 sur R+∗ .
Exercice No 13 : Pour x > 0, on pose
∞
X
(−1)k
S(x) =
.
kx + 1
k=0
Déterminer la limite de S(x) quand x → 0+ .
Exercice No 14 : On xe α > 0 et on pose uk (x) = e−k
αx
puis f (x) =
∞
P
uk (x).
k=0
1o ) Donner le domaine de dénition de f .
2o ) Où f est-t-elle continue ?
3o ) Étudier lim f (x).
x→∞
Exercice No 15 : Soit f (x) =
∞
P
e−x
√
k.
k=1
1o ) Donner le domaine de dénition de f . Étudier la continuité de f sur celui-ci.
2o ) Démontrer que f est strictement décroissante.
3
3o ) Étudier la limite de f en +∞.
4o ) Donner un équivalent simple de f lorsque x → 0+ .
Exercice No 16 : Pour x ∈ R{−1} et k ∈ N∗ , on pose
uk (x) =
1o ) Justier que la fonction f :7→
∞
P
(−1)k−1 xk
.
k
1 + xk
uk (x) est dénie sur R{−1}.
k=1
2o ) Établir que pour tout x 6= 0 et x 6= −1, f (x) + f ( x1 ) =
∞
P
(−1)k−1
k=1
k
.
3o ) Établir que f est continue sur ] − 1, 1[ puis sur ] − ∞, −1[ et ]1, ∞[.
4o ) Établir la continuité de f en 1.
Exercice No 17 : Donner un équivalent au voisinage de 0 de la fonction f dénie sur R par
f (x) =
∞
X
1
arctan(kx).
k2
k=1
Exercice No 18 : Donner un équivalent au voisinage de 0 et de +∞ de la fonction f dénie sur R+
∗
par
f (x) =
∞
X
k=1
1
.
sinh(kx)
Exercice No 19 : Soit f la fonction dénie sur R+ par
∞
X
x
f (x) =
(−1)k−1 ln 1 +
.
k
k=1
1o ) Démontrer que f est de classe C 1 sur R+ .
2o ) Donner un équivalent de f en +∞.
Exercice No 20 : Soit f la fonction dénie sur R+ par
f (x) =
∞
X
exp −k 2 x2 .
k=0
1o ) Démontrer que f est de classe C 1 sur R+ .
2o ) Déterminer lim f (x).
x→∞
2o ) Donner un équivalent de f au voisinage de 0.
Exercice No 21 : On note u0 l'application de R dans R 1-périodique telle que
1 1
∀x∈ − ,
, u0 (x) = |x|,
2 2
4
et pour tout naturel k, uk l'application de R dans R dénie par
u0 (2k x)
.
2k
∀ x ∈ R, uk (x) =
Soit f la fonction dénie, pour x ∈ R, par
f (x) =
∞
X
uk (x).
k=0
L'objectif de cet exercice est de montrer que f est continue sur R mais dérivable en aucun point de
R.
1o ) Démontrer que f est continue sur R et est 1-périodique.
2o ) On cherche à montrer que f n'est dérivable en aucun point de R.
ao ) Montrer qu'il sut d'établir que f n'est dérivable en aucun point de [0, 1[.
bo ) On xe x0 dans [0, 1[. Notons x0 =
xn +
1
.
2n+1
∞
P
p=1
p
2p
son écriture dyadique et posons xn =
Montrer, que pour tout entier n non nul,
f (yn )−f (xn )
yn −xn
=1+
co ) Conclure.
3 Autour des théorèmes d'interversions
Exercice No 22 : Montrer que
Z
0
∞
∞
X1
t
dt
=
.
et − 1
k2
k=1
Exercice No 23 : 1o ) Établir que
1
Z
0
arctan t
dt = −
t
2o ) En déduire que
1
Z
0
1
Z
0
ln t
dt.
1 + t2
∞
X (−1)k
arctan t
dt =
.
t
(2k + 1)2
k=0
Exercice No 24 : 1o ) Établir que
1
Z
0
ln(1 + t)
dt = −
t
2o ) En déduire que
Z
0
1
Z
0
∞
1
ln(t)
dt.
1+t
X (−1)k−1
ln(1 + t)
dt =
.
t
k2
k=1
5
n−1
P
(−1)k+1
k=0
n
P
p=1
p
2p
et yn =
3o ) Calculer cette somme sachant que
∞
X
π2
1
=
.
2
k
6
k=1
Exercice No 25 : Pour tout α > 0, établir que
1
Z
0
∞
X (−1)k
xα−1
dx =
.
1+x
k+α
k=0
Exercice No 26 : 1o ) Pour a, b > 0, établir que
1
Z
0
2o ) Calculer
∞
X (−1)k
ta−1
dt
=
.
a + kb
1 + tb
k=0
∞
X
(−1)k
k=0
3k + 1
.
Exercice No 27 : Soit (λk )k∈N une suite croissante de réels strictement positifs tendant vers +∞.
1o ) Démontrer que la fonction f dénie par
∀ x ∈]0, ∞[, f (x) =
∞
X
(−1)k exp(−λk x)
k=0
est continue sur ]0, ∞[.
2o ) Démontrer que
Z
∞
f (x) dx =
0
∞
X
k=0
6
(−1)k
1
.
λk