1 Eléments de probabilité

CHU Amiens IFTLM 2ème année, UPJV IUP Santé 2012-2013
Statistique Cours 3
Eléments de probabilités, variables aléatoires
Exemple introductif
On choisit au hasard un individu dans une population de 250 malades, dont 25 sont vaccinés.
Considérant Ωla population de malades et Pl’équiprobabilité (chaque personne a la même probabilité
d’être choisie), la probabilité de l’événement A"le malade est vacciné" est P(A) = 25
250. La réponse
est la même si l’on ne connaît pas l’effectif N= #Ω de la population mais si l’on sait que 10% des
malades sont vaccinés, alors
P(A) =
10
100 N
N= 0,1.
Supposons maintenant que l’on choisisse 10 individus au hasard parmi les 250 malades. Quel est le
nombre Xde malades vaccinés obtenu ? Il est clair que ce nombre est aléatoire : on ne peut pas
prévoir à l’avance sa valeur. Par contre, on peut connaître l’ensemble de ses valeurs possibles ΩX=
{0,1,2,...,10}. On peut alors se demander quelle est la probabilité que X= 3 ? Et plus généralement,
quelle est la probabilité que X=k, k ∈ΩX? La notion de variable aléatoire va nous aider à formaliser
cette situation.
1 Eléments de probabilité
1.1 Correspondance probabilités-ensembles
Notations Théorie des ensembles Théorie des probabilités
∅ensemble vide évènement impossible
Ωensemble plein évènement certain
ωélément de Ωévènement élémentaire
Asous ensemble de Ωévènement
A⊂B A est inclus dans B A implique B
A∪Bréunion de Aet B A ou B(ou inclusif)
A∩Bintersection de Aet B A et B
¯
Acomplémentaire de Adans Ωévènement contraire de A
A∩B=∅Aet Bsont disjoints Aet Bsont incompatibles
Remarque 1 Le contraire de l’évènement A∪Best l’évènement ¯ A∩¯ B(le contraire de "Aou Best
réalisé" est "ni Ani Bne sont réalisés). De même, le contraire de l’évènement A∩Best l’évènement
¯
A∪¯ B(le contraire de "Aet Bsont réalisés" est "An’est pas réalisé ou Bn’est pas réalisé).
1.2 Axiomes des probabilités
Une probabilité sur Eest une application Pde l’ensemble des parties de Eà valeurs dans [0,1],
qui à chaque évènement Ade Eassocie un nombre P(A)∈[0,1] et telle que
–P(E) = 1.
– Si Aet Bsont incompatibles, P(A∪B) = P(A) + P(B).
Formule des probabilités totales
P(A∪B) = P(A) + P(B)−P(A∩B).
Autre formule utile :
P(A) = P(A∩B) + P(A∩¯ B).

1.3 Probabilités conditionnelles et indépendance
Si on sait que l’évènement As’est réalisé, on calcule une probabilité conditionnelle, la probabilité
que Bsoit réalisé, sachant que Aest réalisé, notée P(B/A)ou PA(B).
P(B/A) = P(A∩B)
P(A)
On a la propriété suivante : P(A∩B) = P(B/A)P(A) = P(A/B)P(B).
Evènements indépendants
Deux évènements Aet Bsont indépendants si le fait de savoir que As’est réalisé n’influe pas sur
la probabilité que Bse réalise (même chose en échangeant Aet B). Aet Bsont indépendants s’ils
vérifient l’une des trois conditions suivantes (ils vérifient alors les deux autres).
P(A/B) = P(A)P(B/A) = P(B)
P(A∩B) = P(A)P(B)
Attention à ne pas confondre évènements indépendants et évènements incompatibles.
1.4 Formule de Bayes
Soient deux èvènements Cet Dformant une partition de E, c’est-à-dire tels que C∩D=∅et
C∪D=E. Alors, pour tout évènement S:
P(C/S) = P(S/C)P(C)
P(S/C)P(C) + P(S/D)P(D)
2 Variable aléatoire
Considérons une population Ωsur laquelle on définit un caractère quantitatif X.Xest une ap-
plication de Ωdans Rqui, à tout individu ωassocie un réel x=X(ω)∈X(Ω) = ΩXensemble des
valeurs du caractère. Cette application modélise le caractère de façon déterministe en ce sens que, si on
connaît l’individu ω, on connaît aussitôt la valeur x. Son étude relève de la statistique descriptive qui
conduit, par exemple, au tableau des couples (xi, fi)où xiest une valeur observée et fisa fréquence.
Supposons maintenant que l’on tire au hasard un individu ωdans cette population Ωpour consigner la
valeur xdu caractère. Ne pouvant pas prévoir quel individu précis sera tiré, on ne peut pas prévoir non
plus la valeur précise de xqui sera consignée. On aimerait donc disposer d’un moyen d’attribuer une
probabilité aux éléments de ΩX. De même qu’un caractère quantitatif peut être discret ou continu, on
parlera de variable aléatoire discrète ou continue (dans le deuxième cas, on parlera de variable aléatoire
à densité).
Exemple 1 Un joueur lance un dé équilibré à 6 faces numérotées de 1 à 6, et on observe le numéro
obtenu. Si le joueur obtient 1, 3 ou 5, il gagne 1 euro ; s’il obtient 2 ou 4, il gagne 5 euros ; s’il obtient
6, il perd 10 euros. Prenons Ω = {1,2,3,4,5,6}et Pl’équiprobabilité sur Ω. Soit Xl’application
de Ωdans Rqui à tout ω∈Ωassocie le gain correspondant. On a X(1) = X(3) = X(5) = 1,
X(2) = X(4) = 5 et X(6) = −10. Ainsi ΩX={1,5,−10}. On peut s’intéresser à la probabilité de
gagner 1 euro, c’est-à-dire d’avoir X(ω) = 1, ce qui se réalise si et seulement si ω∈ {1,3,5}. La
probabilité cherchée est donc égale à P({1,3,5}) = 3
6=1 2. On pourra donc considérer l’événement :
(X= 1) = {ω∈Ω, X(ω)=1}={1,3,5}. On aura de même P(X= 5) = 1
3et P(X=−10) = 1 6.

3 Cas d’un nombre fini de valeurs
3.1 Définitions, notations.
On considère une expérience aléatoire et (Ω,P)un espace de probabilité fini. On appelle variable
aléatoire réelle (v.a.r.) toute application Xde Ωdans R. L’ensemble ΩX=X(Ω) des valeurs prises
par X est appelé univers-image. ΩXest alors fini.
3.2 Loi de probabilité
Si Xest une v.a.r. dont l’univers-image fini est ΩX={x1, . . . , xn}, alors Xest appelée v.a.r.
discrète finie et on appelle loi de probabilité de X la donnée des couples (xi, pi), avec pi=P(X=xi).
On pourra toujours s’assurer que l’on a bien pi≥0et
n
X
i=1
pi=p1+p2+. . . +pn= 1.
Exemple 2 Reprenons l’exemple introductif. La loi de probabilité de Xest donnée par
xi−10 1 5 X
pi
1
6
1
2
1
31
3.3 Espérance mathématique, variance, écart-type
Soit Xune variable discrète dont l’univers image fini est ΩX={x1, . . . , xn}. On appelle espérance
mathématique de Xle nombre réel
E(X) =
n
X
i=1
pixi.
Ce nombre est aussi la valeur moyenne de X. On appelle variance de Xle nombre
var(X) =
n
X
i=1
pi(Xi−E(X)) =
n
X
i=1
pix2
i−(E(X))2=E(X2)−(E(X))2.
et l’écart-type de Xest σ(X) = pvar(X). Ce nombre mesure l’écart à la moyenne des valeurs prises
par X.
Exemple 3 Reprenons l’exemple introductif. On a
E(X) = 1
6×(−10) + 1 2×1 + 1 3×5 = 3 6=1 2,
E(X2) = 1
6×(−102) + 1 2×12+1 3×55=153 6=51 2,
var(X) = E(X2)−(E(X))2=51
2−1 22
=101
4,
σ(X) = √101
2= 5,025.
Comparer ces formules avec les formules de statistiques descriptives.

3.4 Lois classiques : binomiale et hypergéométrique
Répétition d’expériences
On répète nfois dans les mêmes conditions une même expérience aléatoire (les répétitions étant
indépendantes entre elles) au cours de laquelle un événement Aa une probabilité pd’être réalisé. La
variable aléatoire X, égale au nombre de fois où l’événement Aest réalisé, suit la loi Binomiale B(n, p)
ce qui signifie que :
1. ΩX={0,1, . . . , n}
2. ∀k∈ {0,1, . . . , n},P(X=k) = n
kpk(1 −p)k
On a de plus E(X) = np et var(X) = np(1 −p).
Tirages dans une population à 2 catégories
On considère une population de Nindividus à deux catégories, avec N1individus de catégorie 1 et
N2individus de catégorie 2 (on a N1+N2=N). On effectue ntirages d’un individu dans la population
et on désigne par Xla variable aléatoire égale au nombre d’individus de catégorie 1 obtenus. Si on
effectue les tirages avec remise, alors Xsuit la loi Binomiale Bn, N1
N.Si on effectue les tirages
sans remise ou simultanés (dans ce cas, on doit avoir n6N), alors Xsuit la loi Hypergéométrique
Hn, N, N1
N, ce qui signifie que :
1. ΩX={0,...,min(N1, n)},
2. ∀k∈ {0,...,min(N1, n)},P(X=k) = N1
kN−N1 n−k
N
n.
On a de plus E(X) = np et var(X) = np(1 −p)N−n
N−1en posant p=N1 N.
Exemple 4 Chez une espèce animale, un gène comprend deux allèles notés A (dominant) et a (réces-
sif). On croise des hétérozygotes (mâles et femelles, tous les deux de génotype aA), et on considère les
portées de 10 descendants. Soit X la variable aléatoire égale au nombre d’individus de phénotype A dans
une portée. On rappelle qu’un phénotype A est donné par un génotype AA ou aA, et qu’un phénotype
a est donné par un génotype aa.
Alors Xsuit la loi binomiale B10,3
4, c’est-à-dire que Xest à valeurs dans ΩX={0,1,...,10}
et pour tout k∈ {0,1,...,10},
P(X=k) = 10
k3 4k1 410−k
.
En effet, on peut considérer que l’on répète n= 10 fois l’expérience aléatoire "choisir au hasard un
descendant" au cours de laquelle l’événement A "le descendant est de phénotype A" a la probabilité p=
3
4d’être réalisé. On peut aussi considérer que l’on effectue 10 tirages d’un individu dans la population
des Ndescendants, avec N1descendants de phénotype A et N2descendants de phénotype a (on a
N1+N2=N). On ne connaît ni N1ni N, donc on ne peut pas supposer les tirages sans remise qui
conduiraient à la loi Hypergéométrique. On doit donc supposer les tirages avec remise et N1
N=3 4. Ceci
est justifé par le résultat suivant.
Propriété
Lorsque Nest très grand devant n(en pratique N > 10n), on peut approcher la loi Hypergéo-
métrique HN, n, N1
Npar la loi Binomiale Bn, N1 N, et donc confondre les tirages avec et sans
remise.

4 Cas d’un nombre infini dénombrable de valeurs
Définitions On appelle variable aléatoire réelle discrète infinie toute v.a.r. dont l’univers-image ΩX
(ensemble des valeurs prises par X) est infini dénombrable. Dans ce cours, on se limitera à ΩX=N
ou Ω = N∗. On appelle loi de probabilité de Xla donnée des couples (k, pk)avec pk=P(X=k)
pour k∈ΩX. On pourra toujours s’assurer que l’on a bien pk≥0et X
k∈ΩX
pk= 1. Attention ! Cette
dernière somme contient une infinité de termes ! Il s’agit de la somme d’une série numérique, qui peut
être infinie ou ne pas exister. Nous n’aborderons pas pour le moment les problèmes liés à cette notion.
Espérance, variance, écart-type
–E(X) = X
k∈ΩX
kpk,
– var(X) = X
k∈ΩX
(k−E(X))2pk=X
k∈ΩX
k2pk−(E(X))2.
–σ(X) = pvar(X)
Loi classique : loi de Poisson
Une variable aléatoire Xsuit une loi de Poisson de paramètre λ > 0, notée P(λ)si
–Xest à valeurs dans ΩX=N,
–∀k∈N,P(X=k) = e−λλk
k!.
On a de plus E(X) = λet var(X) = λ.
5 Cas d’un nombre infini non dénombrable de valeurs
Lorsque ΩXest infini non dénombrable (par exemple ΩX= [a, b]ou R, la théorie montre que pour
tout x∈ΩX,P(X=x) = 0. On est alors amené à donner la loi de probabilité de Xpar sa fonction
de répartition FXdéfinie par FX(x) = P(X6x).
Définition
On appelle densité de probabilité sur Rtoute fonction fde Rdans Rvérifiant :
–fest positive,
–fest continue sur Rsauf éventuellement en un nombre fini ou dénombrable de points,
–Z+∞
−∞
f(x)dx = 1.
Définition
Une variable aléatoire est dite continue s’il existe une densité fXtelle que pour tout x∈R,
FX(x) = Zx
−∞
fX(t)dt
fXest alors appelée densité de X.
Propriétés
Soit Xune variable aléatoire continue de densité fXet soit FXsa fonction de répartition. Pour
tous réels x,aet btels que a<b,ona:
P(X=x) = 0,P(X6x) = P(X < x),P(a6X6b) = FX(b)−FX(a) = Za
b
fX(t)dt
.
Espérance, variance, écart-type
–E(X) = Z+∞
−∞
xfX(x)dx.
– var(X) = Z+∞
−∞
(x−E(X))2fX(x)dx =Z+∞
−∞
x2fX(x)dx −(E(X))2.