Ap - Recreatii Matematice

Matrices `a coefficients dans un corps fini
Adrien REISNER1
Abstract. It is considered the set Apof matrices of order 2 with their entries in Zp,defined by
Ap={a=λM +µI;λ, µ ∈Zp}, and some properties of this set are presented (Theorems 1,3,6,7,9).
Keywords: unitary ring, the order of an element, the field Zp, isomorphism.
MSC 2000: 15A33.
A´etant un anneau unitaire d′´el´ements neutre eon appelle ordre d′un ´el´ement
inversible ade Ale plus petit entier positif ndel que an=e; dans ce cas l′ensemble
Ga={e, a, a2, . . . , an−1}forme un sous-groupe du groupe Gdes ´el´ements inversibles
de l′anneau A: l′ordre nde l′´el´ement a∈Gest le cardinal du ce sous-groupe Ga.
Pour toute matrice carr´ee M`a coefficients dans un corps on d´esigne par Tet ∆
respectivement les deux applications suivantes: T:M→T(M)=trace de la matrice M,
∆ : M→∆(M)=d´eterminant de la matrice M.
pd´esignant un nombre premier strictement sup´erieur `a 3, on consid`ere le corps
fini Zpdes classes r´esiduelles modulo p.Met I´etant les deux matrices suivantes `a
coefficients dans Zp:
M=4 1
−1 0 , I =1 0 0 1 ,
on consid`ere l′ensemble Apdes matrices d′ordre 2 `a coefficinets dans Zpd´efini par:
Ap={a=λM +µI;λ, µ ∈Zp}.
Th´eor`eme 1. L′ensemble Apest un anneau commutatif unitaire pour les op´erations
usuelles. De plus: Card Ap=p2.
D´emonstration. On a imm´ediatement M2= 4M−I; on en d´eduit compte tenu
de la structure de l′ensemble M2(Zp) que Apest un alg`ebre associative et unitaire.
Enfin, la commutativit´e se v´erifie directement. D′autre part, (I, M) ´etant une base
de l′alg`ebre Ap, on a Ap≃Z2
pet par suite: Card Ap= (Card Zp)2=p2.
La proposition suivante se v´erifie imm´ediatement par le calcul.
Proposition 2. Pour toute matrice A=λM +µI ∈Ap, on a:
a)T(A) = 2(2λ+µ),∆(A) = λ2+µ2+ 4λµ;
b)T(A2) = T2(A)−2∆(A).
En particulier, T(A2) = 2(7λ2+µ2+ 4λµ).
Th´eor`eme 3. Pour A∈Ap, deux quelconques des conditions suivantes impliquent
la troisi`eme: a)T(A) = 0,b) ∆(A) = 1,c)Aest une matrice d′ordre 4.
1Centre de Calcul E.N.S.T., Paris; e-mail: adrien.r[email protected]
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D´emonstration. a) + b)⇒c) Le th´eor`eme de Cayley-Hamilton appliqu´ee `a la
matrice Adonne:
A2−T(A)A+ ∆(A)I=O.
Il vient alors avec les hypoth`eses a) et b): A2=−Iet A4=I. L′ordre de la matrice
Adevise donc 4 et comme A2̸=I(p´etant impair), 2 n′est pas multiple de cet ordre.
Finalement, Aest d′ordre 4.
a) + c)⇒b) Supposant les conditions a) et c) v´erifi´ees, on a:
A2=−∆(A)Iet I=A4= ∆2(A)I.
On en d´eduit: ∆2(A) = 1,∆(A)̸=−1 soit ∆(A) = 1.
b) + c)⇒a) Compte tenu de b) et c), A2=T(A)A−Id′o`u
I=A4=T2(A)A2−2T(A)A+I=T(A)[T2(A)−2]A+ [1 −T2(A)]I.
On peut distinguer deux cas: I Aet Isout li´es, i.e. A=µI. Dans ce cas, A2=µ2I,
A4=µ4I, d′o´u, A´etant d′ordre 4: µ2̸= 1, µ4= 1, µ2=−1 et A2=−I,T(A)A= 0.
Si T(A)̸= 0, alors A=Od′o`u T(A) = 0, impossible. Par suite T(A) = 0. II {A, I}
est une famille libre. Dans ce cas l′´egalit´e I=T(A)[T2(A)−2]A+ [1 −T2(A)]I
implique: 1 = 1 −T2(A) d′o´u T(A) = 0. Le th´eor`eme est ainsi d´emontr´e.
On consid`ere la suite des entiers {Yk}k≥0d´efinie par Y0= 2 et Yk+1 = 2Y2
k−1,
k≥0, dont les premiers terms sont: Y0= 2, Y1= 7, Y2= 97, Y3= 18817, . . .
Th´eor`eme 4. Pour tout k≥0, on a 2Yk∈T(M2k).
D´emonstration. Par r´ecurrence sur k. Pour k= 0 la propri´et´e se v´erifie trivi-
alment puisque 2Y0= 4 ∈4 = T(M). Supposant la propri´et´e v´erifi´ee `a l′ordre k,
d´emontrons-l`a pour k+ 1. On a imm´ediatment d′une part: 2Yk+1 = 4Y2
k−2 =
(2Yk)2−2 et d′autre part T(M2k+1 ) = T[(M2k)2] = T2(M2k)−2, compte tenu
de l′assertion b) de la Proposition 2 et puisque ∆(M) = 1. Donc, compte tenu de
l′hypoth`ese de r´ecurrence: 2Yk+1 = (2Yk)2−2∈T(M2k+1 ).
Th´eor`eme 5. La matrice Mest d′ordre 2ksi et seulement si p|Yk−2.
D´emonstration. Supposons la matrice Md′ordre 2k, i.e. M2k=I. On a:
M2=15 4
−4−1et par suite l′ordre de Mne divise pas 2 soit k≥2.En posant
alors A=M2k−2on a, M´etant d′ordre 2k:A2=M2k−1̸=I,A4=M2k=I.
A∈Apest donc une matrice d′ordre 4 v´erifiant aussi ∆(A) = 1.Compte tenu du
th´eor`eme 3, b) + c)⇒a), il vient alors: T(A) = 0 soit d′apr`es le th´eor`eme pr´ec´edent:
2Yk−2∈T(A) = 0, i.e. pdivise 2Yk−2et finalement p´etant impair p|Yk−2.
R´eciproquement, avec les mˆemes notations si p|Yk−2i.e. Yk−2≡0 (mod p), alors
T(A) = 0. Mais, comme ∆(A) = 1, le th´eor`eme 3, a)+b)⇒c),montre que la matrice
Aest d′ordre 4 soit M2k=Iet M2k−1=A2̸=I. L′ordre de Mdivisant 2kmais non
2k−1est donc ´egal `a 2k.
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Th´eor`eme 6. Les deux assertions suivantes sont ´equivalentes:
a) 3 n′est pas le carr´e d′un ´el´ement de Zp;
b)Apest un corps.
D´emonstration. a)⇒b) Si 3 n′est pas le carr´e d′un ´el´ement de Zp, alors pour
A∈Ap:
∆(A) = 0 ⇒A=O.
En effet, supposons ∆(A) = 0. Pour A∈Apon a: ∆(A)=0=(λ+ 2µ)2−3µ2.
µ̸= 0 impliquerait 3 = (λµ−1+ 2)2ce qui est exclut par hypoth`ese. Donc µ= 0 et
∆(A) = 0 = λ2soit: λ= 0 et finalement: A=O. Donc l′ensemble Apest form´e de
la matrice nulle et de matrices inversibles dans M2(Zp).
A̸=O´etant une matrice de Ap, l′application Ap→Apd´efinie par X→AX est
lin´eaire et injective, donc surjective (dim Ap= 2). Pour A̸=Oil existe B∈Aptelle
que: AB = 1 soit A−1=B∈Ap: les inverse des matrices non nulles de Apsont dans
Ap.
b)⇒a) Nous allons montrer que, non a)⇒non b).Supposons qu′il existe a∈Zp
tel que a2= 3. Dans ce cas: ∆(A) = [λ+ (2 −a)µ][λ+ (2 + a)µ]. Pour la matrice
A= (a−2)M+I(a̸= 2 puisque 22−3 = 1) on a ∆(A) = 0 et (Cayley-Hamilton)
A(A−T(A)I) = Oavec A̸=Oet A̸=T(A)I. On en d´eduit que Apn′est pas int`egre
et par suite que Apn′est pas un corps.
Th´eor`eme 7. En supposant que 3est un carr´e dans Zp:
a)Mest semblable `a une matrice diagonale;
b)Apest isomorphe `a l′anneau produit Zp×Zp;
c)dans Apil y a p−1´el´ements de d´eterminant 1et (p−1)2´el´ements inversibles.
D´emonstration. a) L′´equation caract´eristique de la matrice Ms′´ecrit X2−4X+
1 = (x−2)2−a2= 0 o`u aest tel que a2= 3. Mayant deux valeurs propre distinctes
λ1= 2 + aet λ2= 2 −a, on en d´eduit que la matrice Mest diagonalisable i.e. il
existe P∈GL2(Zp) telle que M=2 + a0
0 2 −aP−1.
b) L′application R→P−1RP qui est un automorphisme pour la structure d′anneau,
transforme toute matrice A=λM +µI de Apen une matrice diagonale. Or l′ensemble
Dpdes matrices diagonales de M2(Zp) ayant comme cardinal p2(je rappelle que Card
Ap=p2), l′application Ap→ Dp, A →P−1AP est donc un isomorphisme.
D′autre part, l′application Zp×Zp→ Dp, (α, β)→α0
0β, ´etant de fa¸con
imm´ediate un isomorphism, on en d´eduit que: Ap≃Zp×Zp(cet isomorphisme est
mˆeme un isomorphisme d′alg`ebre).
c) Compte tenu de l′isomorphisme pr´ec´edent, comme ∆(A) = ∆(P−1AP ), le
nombre de matrices A∈Aptelles que ∆(A) = 1 est ´egal aux nombre de couple (α, β)
v´erifiant αβ = 1. Il y en a p−1 (choisir d′abord α).
La d´emonstration de l′implication a)⇒b) du Th´eoreme 6 a montr´e que ∆(A)̸=
0⇒A−1∈Ap. On en d´eduit que le nombre de matrices Ainversibles de Ap(i.e. le
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nombre des matrices A∈Aptelles que ∆(A)̸= 0) est ´egal aux nombre des couples
(α, β)∈Zp×Zpv´erifiant αβ = 0 soit (p−1)2.
Corollaire 8. Dans le cas o`u 3est un carr´e dans Zp:
a)l′ordre de la matrice Mdivise p−1;
b)si p|Yk−2, alors 2k|p−1.
D´emonstration. a) L′ensemble des matrices de Apde d´eterminant 1 forment un
sous-groupe multiplicatif de A∗
p, groupe des matrices inversibles de Ap(si A∈Apet
∆(A)̸= 0, alors A−1∈Ap–voir a)⇒b) du th´eor`eme 6). Compte tenu de l′assertion
c) du th´eor`eme pr´ec´edent ce sous-groupe est fini de cardinal p−1. Or la matrice
Mappartient `a ce sous-groupe. L′ordre de Mdivise par suite p−1 (ordre de ce
sous-groupe).
b) Si pdivise Yk−2, alors la matrice Mest d′ordre 2kd′apr´es le Th´eor`eme 5.
L′assertion a) de ce corollaire permet alors de conclure.
Th´eor`eme 9. En supposant que 3n′est pas un carr´e dans Zp:
a) ∆ est un homomorphisme du groupe multiplicatif des ´el´ements non nuls de Ap
dans celui des ´el´ements non nuls de Zp;
b)il existe ktel que p−1 = Card (Im ∆) et Card Ker∆ = k(p + 1);
c)il existent p+ 1 ´el´ements de d´eterminant 1dans Ap.
D´emonstration. a) Ap´etant un corps d′apr`es le Th´eor`eme 6, l′assertion a) est
´evidente.
b) On en d´eduit l′isomorphisme Im ∆ ≃A∗
p/Ker∆ et par suite: Card A∗ p=p2−1 =
(Card Im ∆)(Card Ker ∆). De plus, Im ∆ est un sous-groupe de Z∗
p: il existe ktel
que p−1 = kCard (Im ∆),d′o`u Card Ker ∆ = k(p+ 1). Notons que 1 ≤k≤p−1.
c) Les matrices Ade Ker ∆ v´erifient ∆(A) = 1. Il s′agit de montrer que Card
Ker ∆ = p+ 1. L′´egalit´e ∆(A) = 1 entraˆıne, compte tenu de l′assertion a) de la
Proposition 2: λ2+µ2+ 4λµ −1 = 0 (1). λ∈Zp´etant donn´e, il existe donc 0,1 ou
2 ´el´ements µ∈Zptels que ∆(A) = 1 (Zp´etant un corps), donc il existe au plus 2p
couples (λ, µ) v´erifiant l′´equation (1). D′autre part, le nombre de tels couples est ´egal
`a-voir b)-k(p+ 1) = Card Ker ∆.On en d´eduit finalement que k= 1 et par suite
Card Ker ∆ = p+ 1.
Corollaire 10. Dans le cas o`u 3n′est pas un carr´e dans Zp:
a)l′ordre de la matrice Mdivise p+ 1;
b)si p|Yk−2, alors 2k|p+ 1.
D´emonstration. a) La matrice Mde d´eterminant 1 appartient au sous-groupe
Ker ∆.L′ordre de Mdivise par suite l′ordre p+ 1 de ce sous-groupe Ker ∆ -voir
l′assertion c) du Th´eor`eme 9.
b) De mˆeme qu′au Corollaire 8, si pdivise Yk−2,alors la matrice Mest d′ordre
2kd′apr´es le Th´eor`eme 5. L′assertion a) de ce corollaire permet alors de conclure.
Remarque. Dans le cas o`u 3 n′est pas un carr´e dans Zp, l′ordre de toute matrice
Ade Apv´erifiant ∆(A) = 1 divise p+ 1 - ordre de sous-groupe Ker ∆.Par suite
∀A∈Ap:Ap+1 =I.
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