Le 24 mai 1941, le navire de guerre allemand Bismarck coula le

Le 24 mai 1941, le navire de guerre allemand Bismarck coula le navire
britannique H.M.S. Hood en l’atteignant avec un obus de 800 kg
directement dans une réserve de munition. Ce qui est remarquable, c’est que
le Bismarck était à ce moment à une distance de 14 km du Hood. Avec quel
angle l’obus du Bismarck est-il parti sachant que sa vitesse initiale était de
820 m/s ?
en.wikipedia.org/wiki/Battle_of_the_Denmark_Strait
Découvrez la réponse à cette question dans ce chapitre.

Luc Tremblay Collège Mérici, Québec
Version 2017 2 - La cinématique en deux ou trois dimensions 2
Nous allons ici déterminer comment traiter le mouvement en deux ou trois dimensions. La
démonstration de cette section n’est peut-être pas ce qu’il y a de plus palpitant, mais les
conclusions sont intéressantes. Nous allons faire des preuves pour un mouvement en deux
dimensions et on pourrait ensuite facilement généraliser pour des mouvements en trois
dimensions (ou même plus !).
Rappel
Pour le mouvement en plusieurs dimensions, on va utiliser des vecteurs. Pour ce rappel de
certaines règles concernant les vecteurs, on va prendre le vecteur vitesse comme exemple.
Un vecteur peut être séparé en composantes x, y et z. On peut noter ce vecteur à l’aide des
vecteurs unitaires et des composantes.
xyz
vvivjvk
Les composantes en deux dimensions
Les composantes du vecteur vitesse sont
cos
sin
x
y
vv
vv
On peut aussi trouver la grandeur d’un vecteur à partir des
composantes avec
22
xy
vvv
À partir des composantes du vecteur, on peut également trouver la direction du vecteur
avec
arctan
y
x
v
v
N’oubliez pas que dans cette formule, il faut ajouter 180° à la valeur donnée par la
calculatrice si la valeur de v
x
est négative.

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La vitesse et l’accélération
Pour commencer, nous allons utiliser le vecteur position. Sur le graphique suivant, vous
pouvez voir deux vecteurs position. Il s’agit de vecteurs allant de l’origine des coordonnées
jusqu’à la position de l’objet.
Chacun de ces vecteurs peut être décomposé en composantes. On obtient alors
11 1
22 2
rxiyj
rxiyj
En trois dimensions, ces vecteurs sont
11 1 1
22 2 2
rxiyjzk
rxiyjzk
1) Le déplacement
Le déplacement r
 , c’est-à-dire le changement de position, est
Il s’agit d’un vecteur allant de la position 1 à la position 2. Puisque l’addition suivante est
vraie.
12
rrr
on a

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Déplacement
21
rrr
2) La vitesse moyenne
On peut alors définir la vitesse moyenne comme étant le déplacement divisé par le temps
nécessaire pour effectuer ce déplacement.
Vitesse moyenne
r
vt
Puisqu’on peut séparer n’importe quel vecteur en composante, ce vecteur est
x
y
vvivj
Mais les composantes de ce vecteur sont aussi, en utilisant ce qu’on sait du déplacement,
21
22 11
21 21
r
vt
rr
t
x
iyj xiyj
t
xx yy
ij
tt
Comme les composantes doivent être égales, on obtient
21 21
xy
x
xyy
vv
tt
Si on généralise pour trois dimensions, on a
Composantes de la vitesse moyenne
21 21 21
xyz
x
xyyzz
vvv
ttt

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Ce sont les formules qui nous permettront de calculer les composantes de la vitesse
moyenne. On remarque que ces formules sont identiques à celle qu’on avait en une
dimension sauf que maintenant on en a trois, une pour x, une pour y et une pour z. On
remarque également que le mouvement en x n’a aucune influence sur les vitesses moyennes
en y et en z, que le mouvement en y n’a aucune influence sur les vitesses moyennes en x et
z et que le mouvement en z n’a aucune influence sur les vitesses moyennes en x et y. Nous
verrons que c’est le cas pour toutes les formules de la cinématique en deux ou trois
dimensions.
3) La vitesse instantanée
Le raisonnement pour arriver à la vitesse instantanée est identique à ce qui a été fait pour
la cinématique en une dimension : il faut calculer la vitesse en prenant le temps le plus
court possible de sorte que la vitesse n’ait pas le temps de changer. On arrive alors à
Vitesse instantanée
0
lim
t
rdr
vtdt
Comme tout vecteur, on peut le séparer en composantes. On a alors
x
y
vvivj
On peut également séparer en composantes à partir de ce qu’on sait de la position
dr
vdt
dxi yj
dt
dx dy
ij
dt dt
Comme ces composantes doivent être égales, on obtient
xy
dx dy
vv
dt dt
En trois dimensions, on a
Composantes de la vitesse instantanée
xyz
dx dy dz
vvv
dt dt dt