Corrig´
e du devoir maison : Centrale 2015 - PSI 1
1 Etude d’une suite r´ecurrente
I.A
1. f0´etant positive, fcroit sur [0,1]. Montrons alors par r´ecurrence que
∀n∈N,06un6un+1 61
- Initialisation : c’est vrai au rang 0 car u0= 0 et u1=f(0) ∈[0,1].
- H´er´edit´e : soit n>0 tel que le r´esultat soit vrai jusqu’au rang n. On a alors 0 6un6
un+1 61 et par croissance de fsur [0,1],
un+2 −un+1 =f(un+1)−f(un)>0
En outre, comme [0,1] est stable par f,un, un+1 ∈[0,1] entraˆıne un+1 =f(un), un+2 =
f(un+1)∈[0,1]. On a ainsi prouv´e le r´esultat au rang n+ 1.
On a montr´e que (un)n∈Nest croissante et qu’elle reste dans [0,1]. Par th´eor`eme de limite
monotone, la suite converge et de plus (passage `a la limite dans une in´egalit´e large)
= lim
n→+∞un∈[0,1]
2. Comme f(1) = 1, l’ensemble A={x∈[0,1]/ f(x) = x}est non vide. Comme il est minor´e,
il admet une borne inf´erieure xf. Enfin, A= (f−Id)−1({0}) est ferm´e (image r´eciproque
par une application continue d’un ferm´e) et donc xf∈Ace qui montre que xfest un
minimum. Il y a donc bien une plus petite solution `a l’´equation f(x) = x.
3. Comme fcroˆıt sur [0,1], on a f([0, xf]) = [f(0), f(xf)] = [0, xf]. u0∈[0, xf] et [0, xf] est
stable par f, donc (r´ecurrence simple sur le mod`ele de la pr´ec´edente)
∀n∈N, un∈[0, xf].
Par passage `a la limite, ∈[0, xf]. f´etant continue sur [0,1], un passage `a la limite dans
un+1 =f(un) donne de plus f() = . Enfin, par minimalit´e, xfest le seul point fixe de f
dans [0, xf]. On a donc
xf=
I.B Posons g(x) = f(x)−x. La fonction gest de classe C1sur [0,1] et g0(x) = f0(x)−1. Si
m > 1 alors g0(1) >0 et gest localement strictement croissante au voisinage de 1. Comme
g(1) = f(1) −1 = 0, il existe donc a∈[0,1[ tel que g(a)<0. Enfin, g(0) = f(0) >0 et par
th´eor`eme des valeurs interm´ediaires, gs’annule sur [0, a]⊂[0,1[. On en d´eduit que xf∈[0, a]
et donc que
xf∈[0,1[.
I.C Notons toujours g(x) = f(x)−x. On a g∈C2([0,1]) et g0(x) = f0(x)−1, g00(x) = f00 (x)>0 ;
comme g00(1) = f00(1) >0, g00 (qui est continue) est mˆeme strictement positive sur un intervalle
[a, 1], avec 0 < a < 1. La fonction g0est donc croissante sur [0,1] et strictement croissante
sur [a, 1]. Comme g0(1) = m−160, par stricte croissance de g0sur [a, 1], la fonction g0
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