Examen d`analyse 1 - Ceremade - Université Paris

Universit´e Paris-Dauphine, DEMI2E
Analyse 1 (2015-2016)
Examen d’analyse 1 - Mercredi 20 Janvier 2016.
Dur´ee : 2h00.
Les documents, calculatrices, t´el´ephones et ordinateurs portables sont interdits.
La qualit´e de la r´edaction sera prise en compte dans la notation.
Le bar`eme est donn´e `a titre indicatif.
Exercice 1. (3pts)
(Question de cours) ´ Enoncer et prouver le th´eor`eme de Rolle.
Exercice 2. (8pts)
Soit (un)n1une suite positive v´erifiant
un+mun+um,8(n, m)2(N\{0})2.
On fixe N1.
Les 3 premi`eres questions sont ind´ependantes.
1. Montrer que (un)n1est croissante.
2. Montrer que pour tout k1, ukN kuN.
3. On note Ela fonction partie enti`ere.
(a) Montrer que pour tout n0, nE(n
N)N.
(b) Montrer que la suite N
nE(n N)n1tend vers 1.
4. D´eduire des questions pr´ec´edentes qu’`a partir d’un certain rang un
nuN 2N.
On suppose d´esormais que l’ensemble {un
n,n1}n’est pas major´e.
5. Prouver que (un
n)n1tend vers +1.Indication : on pourra s’appuyer directement
sur la d´efinition de la limite.
Exercice 3. (9pts)
Soit fune fonction de classe C1sur ]0,+1[. On suppose que fadmet une limite l2Ren
0+et que f0admet une limite l02Ren 0+.
1. Exemple : montrer que la fonction ud´efinie par
8x2]0,+1[,u(x)=x2sin(ln(x))
v´erifie les mˆemes hypoth`ese que f: elle est de classe C1sur ]0,+1[et,uet u0
admettent des limites r´eelles en 0+(que l’on d´eterminera).
2. (Question de cours) Rappeler la d´efinition du prolongement par continuit´e de fen
0. On le notera ˜ fpar la suite.
3. Montrer que ˜ fest en fait un prolongement C1de fsur [0,+1[. Indication : on
pourra utiliser le th´eor`eme des accroissements finis pour ´etudier la d´erivabilit´e en
0+.
Soit gune fonction de classe C1sur ]0,+1[. On suppose seulement que g0admet pour
limite l0en 0+(on ne suppose rien sur la convergence de gen 0).

4. Il est possible de continuer l’exercice en admettant le r´esultat de cette question.
Montrer qu’il existe ⌘>0 tel que pour tout x2]0,⌘[,
g(⌘)g(x)
⌘xl0
1.
En d´eduire que l’ensemble {g(x),x2]0,⌘[}est born´e.
5. Soit N2Ntel que 1/N < ⌘. Montrer que (g(1
n))nNadmet une sous-suite conver-
gente.
Par la suite, on notera l’extraction correspondante et lla limite de (g(1
(n)))nN.
6. (a) Soit (xn)n1une suite `a valeurs dans ]0,+1[ convergeant vers 0. Montrer que
(|g(xn)g(1
(n))|)n1converge vers 0.
(b) En d´eduire que gconverge vers len 0.
7. Montrer que gadmet un prolongement C1sur [0,+1[.

Universit´e Paris-Dauphine, DEMI2E
Analyse 1 (2015-2016)
Corrig´e de l’examen d’analyse 1 - Mercredi 20 Janvier 2016.
Exercice 2.
1. Soit n1. On a un+1 un+u1.Oru10 donc un+1 un. On en d´eduit que la
suite uest croissante.
2. Nous allons prouver par r´ecurrence que pour tout k1, ukN kuN.
Pour k= 1, l’hypoth`ese de r´ecurrence est vraie.
Soit k1. On suppose que ukN kuN.Onau(k+1)NukN +uN. De plus,
d’apr`es l’hypoth`ese au rang k,ukN kuN.Onend´eduitu(k+1)NkuN+uNet
donc u(k+1)N(k+ 1)uN
3. (a) Soit n0. D’apr`es la d´efinition de la partie enti`ere E(n
N)n Net donc
nE(n
N)N.
(b) Soit n0. D’apr`es la d´efinition de la partie enti`ere n
N1<E(n N) et donc
1N
n<N nE(n N). En utilisant la question pr´ec´edente, on obtient 1 N n<
N
nE(n N)1. D’apr`es le th´eor`eme d’encadrement, on en d´eduit que N nE(n N)n1
tend vers 1.
4. On pose ✏=1/2. D’apr`es la d´efinition de la convergence, il existe un rang Mtel
que pour tout nM,|N
nE(n N)1|<1/2. En particulier, pour tout nM,
N
nE(n N)>1/2.
Soit nM. D’apr`es la question 3, nE(n
N)Net donc d’apr`es la question 1,
unuE(n
N)N. D’apr`es la question 2, uE(n N)NE(n
N)uN. On obtient finalement
un
nN nE(n N)uN N1 2
uN
N,
o`u la derni`ere in´egalit´e vient de la d´efinition de Met du fait que nM.
5. Soit A>0. Comme {un
n,n1}n’est pas major´e, il existe Ntel que uN N2A.
D’apr`es la question 4, il existe un rang Mtel que pour tout nM,un
nuN 2NA.
On en d´eduit que (un
n)n1tend vers +1.
Exercice 3.
1. La fonction ln est C1sur ]0,+1[. La fonction sin et la fonction carr´e sont C1sur
R. On en d´eduit par composition et produit de fonctions que uest C1(et mˆeme
C1) sur son domaine ]0,+1[.
Pour tout x2R,|sin(x)|1. On en d´eduit que pour tout x2]0,+1[, |u(x)|x2
et donc limx!0+u(x) = 0.
Pour tout x2]0,+1[, u0(x)=2xsin(ln(x)) + xcos(ln(x)). En utilisant que sin et
cos sont born´es par 1, on obtient que pour tout x2]0,+1[, |u0(x)|3x.Onen
d´eduit que limx!0+u0(x) = 0.
2. On d´efinit le prolongement par continuit´e ˜ fde fpar
˜
f:R+!R
x7! (f(x)six>0
lsi x=0

3. La fonction ˜ fest C1sur ]0,+1[(ded´eriv´eef0) et continue sur [0,+1[. Il reste
donc uniquement `a montrer que ˜ fest d´erivable en 0+et que ˜ f0converge vers ˜ f0(0)
en 0+(i.e. ˜ f0est continue en 0).
Soit x>0. La fonction ˜ fest continue sur [0,x] et d´erivable sur ]0,x[ded´eriv´eef0;
on en d´eduit, d’apr`es le th´eor`eme des accroissements finis qu’il existe cx2]0,x[tel
que ˜
f(x)˜ f(0)
x0=˜
f0(cx). Comme f0admet pour limite l0en 0+,etquelim
x!0+cx= 0,
on en d´eduit, par composition de limites, que limx!0+
˜
f(x)˜ f(0)
x0=l0. La fonction ˜
f
est donc d´erivable en 0+et ˜ f0(0) = l0=lim
x!0+˜
f0(x).
4. On pose ✏= 1. D’apr`es la d´efinition de la limite, il existe ⌘>0telque
8y2]0,⌘[,|g0(y)l0|<1.
Soit 0 <x<⌘. La fonction gest C1sur [x, ⌘] donc d’apr`es le th´eor`eme des
accroissements finis, il existe cx2]x, ⌘[ tel que g(⌘)g(x)
⌘x=g0(cx). On en d´eduit que
g(⌘)g(x)
⌘xl01.
Soit x2]0,⌘[. On a donc g(⌘)+(1+l0)(⌘x)g(x)g(⌘)+(1+l0)(⌘x). On en
d´eduit que |g(x)|est inf´erieur au maximum entre |g(⌘)|+|1+l0|⌘et |g(⌘)|+|1+l0|⌘.
Cette borne ´etant ind´ependante de x, l’ensemble {g(x),x 2]0,⌘[}est born´e.
5. Soit N2Ntel que 1/N < ⌘. D’apr`es la question pr´ec´edente la suite (g(1
n))nNest
born´ee. D’apr`es le th´eor`eme de Bolzano Weierstrass, elle admet donc une sous-suite
convergente. Par la suite, on notera l’extraction correspondante et lla limite de
(g(1
(n)))nN.
6. (a) Comme g0est continue sur le segment [0,⌘] elle est, d’apr`es le th´eor`eme de
bornes, born´ee sur [0,⌘]. On note Kune de ses bornes. D’apr`es l’in´egalit´e des
accroissements finis, pour tout (u, v)2]0,⌘[2,|g(u)g(v)|K|uv|.
Soit (xn)n1une suite `a valeurs dans ]0,+1[ convergeant vers 0. D’apr`es la
d´efinition de la convergence (xn)n1est `a valeur dans ]0,⌘[ `a partir d’un certain
rang. On a donc `a partir de ce rang
|g(xn)g(1
(n))|K|xn1 (n)|.
Comme (|xn1
(n)|)n1converge vers 0, on en d´eduit que (|g(xn)g(1 (n))|)n1
converge vers 0.
(b) Comme(g(1
(n)))n1converge vers let (|g(xn)g(1 (n))|)n1converge vers 0, la
suite (g(xn))n1converge vers l. On en d´eduit que pour toute suite (xn)n1`a
valeur dans ]0,+1[ et convergeant vers 0, la suite (g(xn))n1converge vers l.
Par caract´erisation s´equentielle, on obtient que que gconverge vers len 0.
7. La fonction gv´erifie donc les mˆemes hypoth`eses que la fonction f´etudi´ee au d´ebut
de l’exercice en question 2 et 3 : elle est C1sur ]0,+1[et,get g0admettent une li-
mite r´eelle en 0+. On en d´eduit, d’apr`es la question 3, que gadmet un prolongement
C1`a [ 0 ,+1[.