Problème 1 : Balançoire (CCP PC 2013) m g M

Problème 1 : Balançoire (CCP PC 2013)
Un enfant faisant de la balançoire est modélisé par une masse ponctuelle
m
située en
M
et suspendue
en
O
par une tige rigide, de masse négligeable et de longueur
ℓ
. Le champ de pesanteur
g
, de norme
g
, est supposé uniforme. L’angle que fait la tige de suspension avec la verticale est noté
θ
(figure 3).
Les vecteurs unitaires
r
u
,
u
θ
et
z r
u u u
θ
= ∧
, tels que définis sur la figure 3, définissent un trièdre
orthonormé direct lié à la balançoire.
Les mouvements de la balançoire et de l’enfant sont étudiés dans le plan vertical de la figure 3.
1. Dans cette question, tout frottement de la tige sur son axe de rotation et tout
frottement dû à la résistance de l’air sont négligés.
1.1. Établir l’équation différentielle du mouvement vérifiée par
(
)
t
θ
en utilisant trois
méthodes :
1.1.1. en appliquant le principe fondamental de la dynamique ;
1.1.2. en appliquant le théorème de l’énergie cinétique ;
1.1.3. en appliquant le théorème du moment cinétique.
1.2. À quelle condition l’enfant assis sur la balançoire sera-t-il un oscillateur
harmonique ? Donner l’expression littérale de la pulsation propre
0
ω
correspondante.

Application numérique : l’enfant part d’un angle
0
30
θ
= °
sans vitesse initiale. Avec
les valeurs numériques
2,5 m
=
ℓ
,
2
10 m s
g
−
=
et
20 kg
m
=
, calculer la période
0
T
de l’oscillateur harmonique, ainsi que la vitesse maximale
max
v
de l’enfant.
2. L’approximation de l’oscillateur harmonique est ici examinée en considérant les effets non
linéaires. L’enfant part d’un angle
0
θ
positif sans vitesse initiale.
2.1. En partant du théorème de l’énergie cinétique, donner l’expression de
d
d
t
θ
en fonction de
θ
,
0
θ
et des paramètres caractéristiques du système.
2.2. En déduire l’expression de la période
(
)
0
T
θ
sous forme d’une intégrale en fonction de
θ
,
0
θ
et des paramètres caractéristiques du système. On précisera soigneusement les bornes d’intégration.
On ne demande pas de calculer cette intégrale.
2.3. Retrouver le résultat de la question 1.2. dans le cas des petites oscillations.
2.4. Une intégration numérique permet de dessiner la courbe représentative de la fonction
(
)
0
T
θ
ci-dessous (figure 4). Commenter cette courbe.
3. Au point
O
s’exercent des forces de frottement sur la tige. Le moment de ces forces
(par rapport à
O
) est égal à
d
d
z
C u
t
θ
− où
C
est une constante positive.
3.1. Quelle est la dimension de la constante
C
?
3.2. Établir l’équation différentielle à laquelle doit maintenant obéir
(
)
t
θ
.

3.3. En supposant que l’angle
θ
reste suffisamment petit, à quelle inégalité doit
satisfaire
C
pour que le mouvement de l’enfant puisse être considéré comme un
mouvement oscillatoire dont l’amplitude décroit avec le temps (mouvement
pseudopériodique) ?
Application numérique : considérant cette condition satisfaite, on approxime ici la
pseudopériode
1
T
à la période
0
T
de la question 1.2.. L’enfant part d’un angle
0
30
θ
= °
sans vitesse initiale. On observe que l’amplitude du mouvement est réduite
de moitié après
20
oscillations. Calculer la valeur de la constante
C
avec les valeurs
numériques données à la question 1.
Problème 2 : Impact d'un bolide (Centrale PSI 2012)
L’objet de ce problème, constitué de quatre parties indépendantes, est d’étudier l’impact d’un
bolide (astéroïde ou comète) avec la Terre et certaines conséquences qui en découlent. Dans
tout l’énoncé, on supposera que le bolide ne possède aucun mouvement de rotation propre
dans son référentiel barycentrique.
I Collision entre un bolide et la Terre
I. A - Vitesse orbitale de la Terre
On se place dans le référentiel de Kepler, supposé galiléen, dont l’origine est confondue avec
le centre du Soleil et dont les axes sont dirigés vers trois étoiles fixes très éloignées. La Terre
et le Soleil présentent une symétrie sphérique. La masse de la Terre est négligeable devant
celle du Soleil. La Terre décrit approximativement une orbite circulaire de rayon R
0
= 1,5 x
10
11
m autour du Soleil et on exclut toute influence des autres planètes ou objets célestes.
I. A.1) Qu’est-ce qu’un référentiel galiléen?

Figure 1 Trajectoire du bolide dans le champ gravitationnel de la Terre
I.
A.2) Quel est l’intérêt de considérer l’hypothèse de symétrie sphérique pour la Terre et
le Soleil ? Quelles simplifications découlent du fait que la masse de la Terre est négligeable
devant celle du Soleil lors de l’étude du système isolé constitué par ces deux corps ? Des
réponses succinctes sont attendues.
I. A.3) Montrer que le mouvement circulaire de la Terre est uniforme. Exprimer la
vitesse orbitale de la Terre, notée v
T
, en fonction de la constante gravitationnelle G, de la
masse du soleil M
S
et de R
0
. Faire l’application numérique.
I. B - Vitesse d’impact du bolide
Les astéroïdes qui peuvent approcher la Terre possèdent des vitesses, dans le référentiel de
Kepler, de l’ordre de 30 km.s
-1
. On qualifiera ces objets de bolides. La Terre est assimilée à
une sphère homogène de rayon RT = 6,4 x 10
6
m. On rappelle que le référentiel géocentrique
a pour origine le centre O de la Terre et que ses axes sont parallèles à ceux du référentiel de
Kepler.
I. B.1) On note v
b
la vitesse d’un bolide dans le référentiel de Kepler et v
r
sa vitesse
dans le référentiel géocentrique (vitesse relative par rapport à la Terre). Donner un
encadrement de la vitesse v
r
en fonction de v
b
et v
T
. Faire l’application numérique pour les
astéroïdes.
On travaille dans le référentiel géocentrique supposé galiléen. Le bolide, assimilé à un point
matériel pour le moment, possède une masse m
b
très négligeable devant celle de la Terre. Le

bolide, depuis une région très éloignée de la Terre, arrive avec une vitesse v
r
= v
r
e
x
et sa trajectoire est portée par une droite située à une distance b du centre de la Terre
(figure 1). Le système {Terre + bolide} est considéré comme isolé.
I. B.2) Rappeler l’expression de l’énergie mécanique E
m
du bolide en un point
quelconque de sa trajectoire en fonction de sa vitesse v, de sa distance r au centre de
la Terre, de sa masse m
b
, de la masse de la Terre M
T
et de la constante
gravitationnelle G. Préciser la nature de la trajectoire du bolide dans le champ
gravitationnel de la Terre.
I. B.3) On note A le point de la trajectoire le plus proche de la Terre. d
m i n
= OA
représente donc la distance minimale entre le centre de la Terre et le bolide.
Rappelons qu’en ce point, la vitesse du bolide, notée V
A, est perpendiculaire au
vecteur OA.
a ) Montrer que le moment cinétique du bolide est conservé au cours de son
mouvement. En déduire une relation simple entre v
r
, b, d
m i n
et V
A = ||v A
||.
b) Déterminer l’expression de d
min
en fonction de G, M
T
, v
r
et b.
c ) Pour que le bolide entre en collision avec la Terre, montrer que le paramètre
d’impact b doit être inférieur à une valeur maximale, notée b
max
, que l’on exprimera
en fonction de R
T
, G, M
T
et v
r
.
I. B.4) a) En cas de collision, montrer que l’expression de la vitesse au moment de
l’impact, notée V
i
, peut se mettre sous la forme
2 2
i l r
v v v
= + où l’on exprimera la
vitesse v
2
en fonction de G, M
T
et R
T
. Calculer la valeur numérique de la vitesse v
2
et
préciser sa signification physique.