1S2 : contrôle d’une heure (probabilités et comportement asymptotique) I Q.C.M. ( 2points) A et B sont deux événements d’un univers fini Ω, associé à une expérience aléatoire. Pour chaque question, une seule réponse est bonne. Cocher celle-ci. On ne demande aucune justification Une bonne réponse rapporte 0,5 point, une mauvaise réponse retire 0,5 point ; en cas de total négatif, la note est ramenée à 0. Questions Réponses ä A=Ω 1. Si p(A) = p(A), alors ä A=A ä p(A) = 0,5 2. p(A)=0,3 ; p(B)=0,5 et p(A∩ B)=0,2. Que vaut p(A∪ B) ? ä On ne peut pas savoir ä p(A∪ B) = 0,8 ä p(A∪ B) = 0,6 ä p(A ∩ B) = 1 3. Si p(A) = 0,4, p(B) = 0,5 et p(A ∪ B) = 0,35, combien vaut p(A ∩ B) ? ä p(A ∩ B) = 0, 25 ä p(A ∩ B) = 0, 2 4. Si A et B sont incompatibles, alors ä A∩ B = Ω ä p(A)+p(B)=1 ä p(A)+p(B)=p(A∪ B) II 4 points IV 5 points Un représentant de commerce doit visiter successivement quatre villes A, B, C et D. Calculer les limites suivantes ; ¡ ¢ a) lim 2x 3 + 5x + 1 1. À l’aide d’un arbre, déterminer tous les itinéraires permettant de visiter les quatre villes. Combien y a-t-il d’itinéraires possibles ? b) 2. Le représentant choisit au hasard un de ces itinéraires. (a) Calculer la probabilité que, sur cet itinéraire, les villes C et D se suivent dans cet ordre. (b) Calculer la probabilité que cet itinéraire commence par la ville C et se termine par la ville D. (c) Calculer la probabilité que, sur cet itinéraire, la ville C soit située avant la ville D. 3x 2 + 5x + 1 x2 + x + 1 ¶ 2x 3 − 7x + 5 x→−∞ x 4 + x 2 + 1 µ 2 ¶ x + 3x d) lim x→0 x 2 − x ¶ µ cos x − 1 e) lim x→0 x ¶ III (4 points) Suite à une étude statistique, on peut affirmer que dans la population étudiée, 40 % des individus aiment la musique, 60 % aiment le cinéma et 15% aiment à la fois la musique et le cinéma. On interroge au hasard un individu de la population étudiée. (On assimilera fréquence et probabilité). On note : x→−∞ c) lim x→+∞ lim 2. Quelle est la probabilité que l’individu interrogé au hasard aime la musique, mais pas le cinéma ? (Remarque : M = (M ∩ C) ∪ (M ∩ C), réunion d’événements incompatibles ; on rappelle que si A et B sont deux événements incompatibles, p(A∪B) = p(A) + p(B). 3. Quelle est la probabilité que l’individu interrogé au hasard aime le cinéma, mais pas la musique ? 4. Quelle est la probabilité que l’individu interrogé au hasard n’aime ni la musique, ni le cinéma ? µ V (5 points) Soit f la fonction définie par : f (x) = 1. 2x 2 + 3x + 1 . x +2 (a) Déterminer l’ensemble de définition D f de f . (b) Déterminer les limites de f aux bornes de D f . (c) En déduire que la courbe C f , représentative de f , admet une asymptote verticale dont on donnera une équation. • M l’événement : « l’individu interrogé aime la musique » • C l’événement « l’individu interrogé aime le cinéma ». 1. Que vaut p(M ∩ C) ? µ 2. (a) Montrer qu’il existe trois réels a, b et c tels que, pour c . tout x de D f , f (x) = ax + b + x +2 (b) En déduire que C f admet une asymptote oblique ∆, dont on déterminera une équation. (c) Étudier, selon les valeurs de x, la position relative de C f etd e ∆. (d) Tracer ∆, l’asymptote verticale et C f dans un repère ³ → − → −´ O; i ; j .