1S2 : contrôle d’une heure (probabilités et comportement asymptotique)

1S2 : contrôle d’une heure
(probabilités et comportement asymptotique)
I Q.C.M. ( 2points)
A et B sont deux événements d’un univers fini Ω, associé à une expérience aléatoire.
Pour chaque question, une seule réponse est bonne. Cocher celle-ci. On ne demande aucune justification
Une bonne réponse rapporte 0,5 point, une mauvaise réponse retire 0,5 point; en cas de total négatif, la note est ramenée à 0.
Questions Réponses
1. Si p(A) =p(A), alors äA=Ω
äA=A
äp(A) = 0,5
2. p(A)=0,3 ; p(B)=0,5 et p(A∩B)=0,2. Que vaut p(A∪B) ? äOn ne peut pas savoir
äp(A∪B) = 0,8
äp(A∪B) = 0,6
3. Si p(A) = 0,4, p(B) = 0,5 et p(A∪B) = 0,35, combien vaut p(A∩B) ? äp(A∩B) =1
äp(A∩B) =0,25
äp(A∩B) =0,2
4. Si A et B sont incompatibles, alors äA∩B=Ω
äp(A)+p(B)=1
äp(A)+p(B)=p(A∪B)
II 4 points
Un représentant de commerce doit visiter successivement
quatre villes A, B, C et D.
1. À l’aide d’un arbre, déterminer tous les itinéraires permet-
tant de visiter les quatre villes. Combien y a-t-il d’itiné-
raires possibles ?
2. Le représentant choisit au hasard un de ces itinéraires.
(a) Calculer la probabilité que, sur cet itinéraire, les villes
C et D se suivent dans cet ordre.
(b) Calculer la probabilité que cet itinéraire commence
par la ville C et se termine par la ville D.
(c) Calculer la probabilité que, sur cet itinéraire, la ville
C soit située avant la ville D.
III (4 points)
Suite à une étude statistique, on peut affirmer que dans la
population étudiée, 40 % des individus aiment la musique, 60 %
aiment le cinéma et 15% aiment à la fois la musique et le cinéma.
On interroge au hasard un individu de la population étudiée. (On
assimilera fréquence et probabilité).
On note :
•M l’événement : « l’individu interrogé aime la musique »
•C l’événement « l’individu interrogé aime le cinéma ».
1. Que vaut p(M ∩C) ?
2. Quelle est la probabilité que l’individu interrogé au ha-
sard aime la musique, mais pas le cinéma ? (Remarque :
M=(M ∩C) ∪(M ∩C), réunion d’événements incompa-
tibles ; on rappelle que si A et B sont deux événements in-
compatibles, p(A∪B) = p(A) + p(B).
3. Quelle est la probabilité que l’individu interrogé au hasard
aime le cinéma, mais pas la musique ?
4. Quelle est la probabilité que l’individu interrogé au hasard
n’aime ni la musique, ni le cinéma ?
IV 5 points
Calculer les limites suivantes ;
a) lim
x→−∞ ¡2x3+5x+1¢
b) lim
x→+∞ µ3x2+5x+1
x2+x+1¶
c) lim
x→−∞ µ2x3−7x+5
x4+x2+1¶
d) lim
x→0µx2+3x
x2−x¶
e) lim
x→0µcosx−1
x¶
V (5 points)
Soit fla fonction définie par : f(x)=2x2+3x+1
x+2.
1. (a) Déterminer l’ensemble de définition Dfde f.
(b) Déterminer les limites de faux bornes de Df.
(c) En déduire que la courbe Cf, représentative de f, ad-
met une asymptote verticale dont on donnera une
équation.
2. (a) Montrer qu’il existe trois réels a,bet ctels que, pour
tout xde Df,f(x)=ax +b+c
x+2.
(b) En déduire que Cfadmet une asymptote oblique ∆,
dont on déterminera une équation.
(c) Étudier, selon les valeurs de x, la position relative de
Cfetd e ∆.
(d) Tracer ∆, l’asymptote verticale et Cfdans un repère
³O;−→
i;−→ j´.