1ES-fonctionsgeneralites.pdf (79.35 KB)

Généralités sur les fonctions
I Ensemble de définition
On appelle fonction f un procédé, qui, à tout nombre x d’un ensemble, associe un nombre f (x).
Définition :
L’ensemble de définition d’une fonction est l’ensemble des nombres de R pour lesquels l’on peut calculer f (x).
Exemples
1
.
x −3
Une fraction ne peut avoir un dénominateur nul. x − 3 doit être différent de 0 ; or x − 3 = 0 ⇔ x = 3. Il faut
donc exclure 3.
D = R \ {3} .
p
2. Soit f : x 7→ x − 2.
Le nombre dont on calcule la racine carrée dit toujours être positif ou nul.
On doit donc avoir x − 2 Ê 0, c’est-à-dire x Ê 2.
L’ensemble de définition est : D =]2 ; +∞[.
r
x −2
3. Soit f : x 7→
.
x −3
Il faut d’abord que la fraction existe, donc que le dénominateur ne s’annule pas ; or x − 3 = 0 pour x = 3. Il
faut exclure 3.
x −2
Il faut que le nombre dont on calcule la racine carrée soit positif ; il faut donc que
Ê 0.
x −3
Pour étudier le signe de cette expression, on renseigne un tableau de signes.
x − 2 et x − 3 s’annulent respectivement en 2 et en 3
Signe de x − 2 : x − 2 > 0 ⇔ x > 2 donc (x − 2 < 0 ⇔ x < 2).
Signe de x − 3 : x − 3 < 0 ⇔ x < 3 donc x − 3 > 0 ⇔ x > 3
1. Soit f : x 7→
x
−∞ 2 3 +∞
Signe de x − 2
−0+ +
Signe de x − 3
− −0+
x −2
Signe du quotient
+0− +
x −3
x −2
Ê 0 pour x ∈] − ∞ ; 2]∪]3 ; +∞[ donc l’ensemble de définition de cette fonction est :
x −3
D =] − ∞ ; 2]∪]3 ; +∞[
II Fonctions associées
Soit f une fonction définie sur un intervalle I .
Rappel : On appelle courbe représentative de f sur I , noté C f , l’ensemble des points M de coordonnées (x ; f (x)), o
(x ; f (x))
f (x)
b
x
→
−
j
O
Page 1
→
−
i
Cf
1 Fonction x 7→ f(x) + a
Soit a un réel fixé ; on considère la fonction g définie sur I par : g (x) = f (x) + a.
Un point M(x M ; y M ) appartient à C f si, et seulement si, y M = f (x M ).
Prenons le point N de Cg , d’abscisse x (donc la même abscisse que M.
N (x N ; y N ) ∈ Cg ⇔ y N = g (x N ) ⇔ y N = g (x M ) ⇔ y N = f (x M ) + a.
→
−
−−→
−−→
−−→
On en déduit que les coordonnées du vecteur M N sont M N (0 ; a) ; par conséquent M N = a j .
→
−
La courbe Cg s’obtient à partir de la courbe C f par la translation de vecteur a j .
Exemple : Soient f la fonction carré : x 7→ x 2 et g la fonction définie par g (x) = f (x) + 2, 6.
f g
14
Cg
12
10
8
−4
−2
b
N
b
M
a
6
4
2
→
−
j
O
b
Cf
→
−
i
2
2 Fonction x 7→ f(x + a)
Soit a un réel fixé ; on considère la fonction g définie sur I par : g (x) = f (x + a).
Un point M(x M ; y M ) appartient à C f si, et seulement si, y M = f (x M ).
Prenons le point N de Cg , d’abscisse x M − a.
Alors : g (x N ) = g (x M − a) = f ((x M − a)+a) = f (x M ) = y M .
¢
¡
−−→
M et N ont donc la même ordonnée. Le vecteur M N a pour coordonnées x M − x N ; y M − y N , soit : (−a ; 0).
→
−
−−→
Par conséquent : M N = −a j .
→
−
La courbe Cg s’obtient à partir de la courbe C f par la translation de vecteur −a i .
Exemple :
Soient la fonction f : x 7→ (3x + 5)(x − 1) et la fonction g : x 7→ f (x + 6).
14
12
10
Cf
8
b
N
Cg
−6
6
b
M
4
−4
−2
2
→
−
j
O
−2
−4
Exercices page 194
Page 2
→
−
i
2
3 Fonction x 7→ kf(x)
¢ constante réelle. On considère la fonction g définie par g (x) = k f (x).
¡ Soit k une
M x M ; y M appartient à la courbe C f si, et seulement si, y M = f (x M ).
On considère le point N de la courbe Cg qui a la même abscisse que M.
x N = x M ; y N = g (x N ) = g (x M ) = k × f (x M ).
La courbe Cg est obtenue à partir de la courbe C f en multipliant toutes les ordonnées par le nombre k.
Exemple : Soit f la fonction définie par f (x) = 3 sin(x) (fonction vue en seconde) et soit g la fonction définie
par g (x) = 2 f (x) (on écrit : g = 2 f ).
6
4
−8
−6
−4
−2
2
→
−
j
O
→
−
i
2
4
6
−2
−4
−6
−8
4 Fonction x 7→ |f(x)|
Rappel : Pour tout x, |x| vaut x si x Ê 0 et −x si x É 0.
Ainsi, |x| est-il positif pour tout x.
Soit g la fonction définie par g (x) = | f (x)|.
Pour tout x tel que f (x) É 0, on a g (x) = − f (x) et g (x) = f (x) pour tout x tel que f (x) Ê 0.
La courbe Cg coïncide avec C f pour la partie positive de C f et est remplacée par sa symétrique par
rapport à l’axe des abscisses pour la partie négative.
Exemple : Soit f définie par f (x) = x 2 − 3 et soit g = | f |.
Représentons les deux courbes côte à côte.
Page 3
b
9
8
7
6
5
4
3
2
1
−3
−2
−1 −1
Cf
1
2
−3
−2
−3
−4
−2
La partie en trait épais remplace la partie en pointillés
9
8
7
6
5
4
3
2
→
−1
j
−1 −1O
−2
−3
−4
5 Somme de deux fonctions
Soient deux fonctions f et g définies sur le même intervalle I .
La somme f + g est définie par ( f + g )(x) = f (x) + g (x).
Représentation graphique : on représente les deux courbes C f et Cg sur le même graphique.
Pour chaque abscisse x, on ajoute les ordonnées f (x) et g (x).
Exemple :
p
Sur [0 ; 4], représenter la fonction h : x 7→ x + x.
p
On a h(x) = f (x) + g (x) en posant f (x) = x et g (x) = x.
11
10
9
Ch
8
7
6
h(x) = f (x) + g (x)
b
P
b
M
b
N
Cf
5
4
3
2
→
−1
j
−1 O
−1
f (x)
g (x)
Cg
H
→
−1
i
2
3
4
H N = MP
Page 4
5
6
7
8
Cg
→
−1
i
2
III Composée de deux fonctions
Définition :
Soient f et g deux fonctions. On appelle composée de f suivie de g , notée g ◦ f , la fonction définie par :
g ◦ f (x) = g ( f (x)).
f
g
→ g (y) = g ( f (x))
g◦f :x−
→ f (x)= y −
Exemples :
1. Soient f et g définies par f (x) = x 2 et f (x) = x + 3.
Pour tout x, g ◦ f (x) = g ( f (x)) = g (y) avec y = f (x) = x + 3 ; or g (y) = y 2 = (x + 3)2 .
Par conséquent : g ◦ f (x) = (x + 3)2
1
2. Soient f et g définies par f (x) = 2
et g (x) = 3x.
x +1
1
et g (y) = 3y.
Pour tout x, g ◦ f (x) = g ( f (x)) = g (y) avec y = f (x) = 2
x +1
1
3
Par conséquent : g ◦ f (x) = 3 × 2
= 2
x +1 x +1
3. Avec les deux mêmes fonctions, calculons f ◦ g (x).
1
1
1
Pour tout x, f ◦ g (x) = f (g (x)) = f (3x) = f (y) avec y = 3x ; or f (y) = 2
=
donc f (3x) =
y +1
(3x)2 + 1 9x 2 + 1
3
1
et g ◦ f (x) = 2
donc f ◦ g (x) 6= g ◦ f (x).
Remarque : f ◦ g (x) = 2
9x + 1
x +1
Par conséquent : f ◦ g 6= g ◦ f ; l’ordre de composition est important.
Exercices
IV Sens de variation d’une fonction
Soit f une fonction définie sur un intervalle I .
f est croissante si, pour tous nombres x1 et x2 de I avec x1 < x2 , f (x1 ) É f (x2 ).
f est décroissante si, pour tous nombres x1 et x2 de I avec x1 < x2 , f (x1 ) Ê f (x2 ).
Pour une fonction croissante, les images sont classées dans le même ordre que les antécédents.
Pour une fonction décroissante, les images sont classées dans l’ordre inverse de celui des antécédents.
Exemple : la fonction carré : x 7→ x 2 .
f est décroissante sur ] − ∞ ; 0] et croissante sur [0 ; +∞[.
Démonstration :
• Sur ] − ∞ ; 0] ; soient deux nombres x1 et x2 quelconques, avec x1 < x2 .
On veut comparer f (x1 ) et f (x2 ).
Pour cela, on étudie le signe de la différence.
f (x2 − f (x1 )) = x22 − x12 = (x2 + x1 )(x2 − x1 ).
x2 + x1 < 0 (somme de nombres négatifs)
x2 − x1 > 0 car x2 > x1 .
Par conséquent : f (x2 − f (x1 )) < 0 donc f (x2 ) < f (x1 ).
La fonction f est décroissante sur ] − ∞ ; 0].
• Sur ] − ∞ ; 0] ; soient deux nombres x1 et x2 quelconques, avec x1 < x2 .
On veut comparer f (x1 ) et f (x2 ).
f (x2 − f (x1 )) = (x2 + x1 )(x2 − x1 ).
x2 + x1 > 0 (somme de nombres positifs)
x2 − x1 > 0 car x2 > x1 .
Page 5
Par conséquent : f (x2 − f (x1 )) > 0 donc f (x2 ) > f (x1 ).
La fonction f est croissante sur ] − ∞ ; 0].
Somme de deux fonctions monotones de même sens
Théorème :
Si f et g sont deux fonctions croissantes sur un intervalle I , la somme f + g est croissante sur I .
Si f et g sont deux fonctions décroissantes sur un intervalle I , la somme f + g est décroissante sur I .
Démonstration : Soient deux nombres quelconques de I avec a < b.
Supposons f et g croissantes.
f est croissante donc f (a) É f (b).
g est croissante donc g (a) É g (b).
En, ajoutant membre à membre : ( f + g )(a) É ( f + g )(b) donc ces deux nombres sont classés dans le même ordre
que a et b ; f + g est croissante.
Même démarche pour montrer la décroissance.
Exemple :
Étudier les variation s de la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par : f (x) = x 2 + 2x + 3.
On peut voir f comme somme de deux fonctions : f = u + v en posant u(x) = x 2 et v (x) = 2x + 3.
u et v sont toute deux croissantes sur l’intervalle [0 ; +∞[ donc f est croissante sur [0 ; +∞[.
Théorème (admis)
Soit f une fonction dont la variable appartient à un intervalle I et dont les images appartiennent à un
intervalle J .
Soit g une fonction dont la variable appartient à un intervalle J .
Si f et g sont toutes deux croissantes ou toutes deux décroissantes, alors la composée g ◦ f est croissante.
Si l’une est croissante et l’autre décroissante, alors la composée g ◦ f est décroissante.
Exemples :
p
1. Soit f la fonction définie sur [0 ; +∞[ par f (x) = x 2 + 1.
p
On peut voir f comme f = g ◦ h avec h(x) = x 2 + 1 et g (x) = x.
Sur [0 ; +∞[, h est croissante (somme d’une fonction croissante et d’une fonction constante) et les images
h(x) sont des nombres positifs.
On peut appliquer alors la fonction g qui est croissante sur [0 ; +∞[.
f est alors la composée de deux fonctions croissantes : c’est une fonction croissante.
2. Considérons la même fonction f , définie cette fois sur ] − ∞ ; 0].
On a toujours f = g ◦ h.
Cette fois h est décroissante sur ]−∞ ; 0] (somme d’une fonction décroissante et d’une fonction constante).
Les images h(x) sont des nombres positifs. On compose alors avec la fonction g qui est croissante sur
[0 ; +∞[.
f est alors la composée d’une fonction croissante et d’une fonction décroissante : elle est donc décroissante
sur ] − ∞ ; 0].
On peut se convaincre en regardant la courbe C f ci-dessous.
Page 6
5
Cf
4
3
2
1
−5
−4
−3
−2
−1
0
−1
Page 7
1
2
3
4