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Généralités sur les fonctions
I Ensemble de définition
On appelle fonction fun procédé, qui, à tout nombre xd’un ensemble, associe un nombre f(x).
Définition :
L’ensemble de définition d’une fonction est l’ensemble des nombres de Rpour lesquels l’on peut calculer f(x).
Exemples
1. Soit f:x7→ 1
x−3.
Une fraction ne peut avoir un dénominateur nul. x−3 doit être différent de 0 ; or x−3=0⇔x=3. Il faut
donc exclure 3.
D=R\{3} .
2. Soit f:x7→px−2.
Le nombre dont on calcule la racine carrée dit toujours être positif ou nul.
On doit donc avoir x−2Ê0, c’est-à-dire xÊ2.
L’ensemble de définition est : D=]2 ; +∞[.
3. Soit f:x7→rx−2
x−3.
Il faut d’abord que la fraction existe, donc que le dénominateur ne s’annule pas ; or x−3=0 pour x=3. Il
faut exclure 3.
Il faut que le nombre dont on calcule la racine carrée soit positif ; il faut donc que x−2
x−3Ê0.
Pour étudier le signe de cette expression, on renseigne un tableau de signes.
x−2 et x−3 s’annulent respectivement en 2 et en 3
Signe de x−2 : x−2>0⇔x>2 donc (x−2<0⇔x<2).
Signe de x−3 : x−3<0⇔x<3 donc x−3>0⇔x>3
x−∞ 2 3 +∞
Signe de x−2−0+ +
Signe de x−3− − 0+
Signe du quotient x−2
x−3+0− +
x−2
x−3Ê0 pour x∈]−∞ ; 2]∪]3 ; +∞[ donc l’ensemble de définition de cette fonction est :
D=]−∞ ; 2]∪]3 ; +∞[
II Fonctions associées
Soit fune fonction définie sur un intervalle I.
Rappel : On appelle courbe représentative de fsur I, noté Cf, l’ensemble des points Mde coordonnées (x;f(x)), où
O−→
i
−→
j
Cf
(x;f(x))
x
f(x)
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1 Fonction x 7→f(x)+a
Soit aun réel fixé ; on considère la fonction gdéfinie sur Ipar : g(x)=f(x)+a.
Un point M(xM;yM) appartient à Cfsi, et seulement si, yM=f(xM).
Prenons le point Nde Cg, d’abscisse x(donc la même abscisse que M.
N(xN;yN)∈Cg⇔yN=g(xN)⇔yN=g(xM)⇔yN=f(xM)+a.
On en déduit que les coordonnées du vecteur −−→ MN sont −−→ MN (0 ; a); par conséquent −−→ MN =a−→ j.
La courbe Cgs’obtient à partir de la courbe Cfpar la translation de vecteur a−→ j.
Exemple : Soient fla fonction carré : x7→ x2et gla fonction définie par g(x)=f(x)+2,6.
2
4
6
8
10
12
14
2−2−4
a
fg
M
N
Cf
Cg
O−→
i
−→
j
2 Fonction x 7→f(x+a)
Soit aun réel fixé ; on considère la fonction gdéfinie sur Ipar : g(x)=f(x+a).
Un point M(xM;yM) appartient à Cfsi, et seulement si, yM=f(xM).
Prenons le point Nde Cg, d’abscisse xM−a.
Alors : g(xN)=g(xM−a)=f((xM−a)+a)=f(xM)=yM.
Met Nont donc la même ordonnée. Le vecteur −−→ MN a pour coordonnées ¡xM−xN;yM−yN¢, soit : (−a; 0).
Par conséquent : −−→ MN =−a−→ j.
La courbe Cgs’obtient à partir de la courbe Cfpar la translation de vecteur −a−→ i.
Exemple :
Soient la fonction f:x7→(3x+5)(x−1) et la fonction g:x7→ f(x+6).
2
4
6
8
10
12
14
−2
−4
2−2−4−6
MN
Cf
Cg
O−→
i
−→
j
Exercices page 194
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3 Fonction x 7→kf(x)
Soit kune constante réelle. On considère la fonction gdéfinie par g(x)=k f (x).
M¡xM;yM¢appartient à la courbe Cfsi, et seulement si, yM=f(xM).
On considère le point Nde la courbe Cgqui a la même abscisse que M.
xN=xM;yN=g(xN)=g(xM)=k×f(xM).
La courbe Cgest obtenue à partir de la courbe Cfen multipliant toutes les ordonnées par le nombre k.
Exemple : Soit fla fonction définie par f(x)=3sin(x) (fonction vue en seconde) et soit gla fonction définie
par g(x)=2f(x) (on écrit : g=2f).
2
4
6
−2
−4
−6
−8
2 4 6−2−4−6−8O−→
i
−→
j
4 Fonction x 7→|f(x)|
Rappel : Pour tout x,|x|vaut xsi xÊ0 et −xsi xÉ0.
Ainsi, |x|est-il positif pour tout x.
Soit gla fonction définie par g(x)=|f(x)|.
Pour tout xtel que f(x)É0, on a g(x)=−f(x) et g(x)=f(x) pour tout xtel que f(x)Ê0.
La courbe Cgcoïncide avec Cfpour la partie positive de Cfet est remplacée par sa symétrique par
rapport à l’axe des abscisses pour la partie négative.
Exemple : Soit fdéfinie par f(x)=x2−3 et soit g=|f|.
Représentons les deux courbes côte à côte.
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1
2
3
4
5
6
7
8
9
−1
−2
−3
−4
1 2−1−2−3
Cf
1
2
3
4
5
6
7
8
9
−1
−2
−3
−4
1 2−1−2−3
Cg
O−→
i
−→
j
La partie en trait épais remplace la partie en pointillés
5 Somme de deux fonctions
Soient deux fonctions fet gdéfinies sur le même intervalle I.
La somme f+gest définie par (f+g)(x)=f(x)+g(x).
Représentation graphique : on représente les deux courbes Cfet Cgsur le même graphique.
Pour chaque abscisse x, on ajoute les ordonnées f(x) et g(x).
Exemple :
Sur [0 ; 4], représenter la fonction h:x7→ x+px.
On a h(x)=f(x)+g(x) en posant f(x)=xet g(x)=px.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
−112345678−1
M
N
P
f(x)
g(x)
h(x)=f(x)+g(x)Cf
Cg
Ch
H
O−→
i
−→
j
HN =MP
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III Composée de deux fonctions
Définition :
Soient fet gdeux fonctions. On appelle composée de fsuivie de g, notée g◦f, la fonction définie par :
g◦f(x)=g(f(x)).
g◦f:xf −→ f(x)=yg −→ g(y)=g(f(x))
Exemples :
1. Soient fet gdéfinies par f(x)=x2et f(x)=x+3.
Pour tout x,g◦f(x)=g(f(x)) =g(y) avec y=f(x)=x+3; or g(y)=y2=(x+3)2.
Par conséquent : g◦f(x)=(x+3)2
2. Soient fet gdéfinies par f(x)=1
x2+1et g(x)=3x.
Pour tout x,g◦f(x)=g(f(x))=g(y) avec y=f(x)=1
x2+1et g(y)=3y.
Par conséquent : g◦f(x)=3×1
x2+1=3 x2+1
3. Avec les deux mêmes fonctions, calculons f◦g(x).
Pour tout x,f◦g(x)=f(g(x)) =f(3x)=f(y) avec y=3x; or f(y)=1
y2+1donc f(3x)=1 (3x)2+1=1 9x2+1
Remarque : f◦g(x)=1
9x2+1et g◦f(x)=3 x2+1donc f◦g(x)6= g◦f(x).
Par conséquent : f◦g6= g◦f; l’ordre de composition est important.
Exercices
IV Sens de variation d’une fonction
Soit fune fonction définie sur un intervalle I.
fest croissante si, pour tous nombres x1et x2de Iavec x1<x2,f(x1)Éf(x2).
fest décroissante si, pour tous nombres x1et x2de Iavec x1<x2,f(x1)Êf(x2).
Pour une fonction croissante, les images sont classées dans le même ordre que les antécédents.
Pour une fonction décroissante, les images sont classées dans l’ordre inverse de celui des antécédents.
Exemple : la fonction carré : x7→ x2.
fest décroissante sur ] −∞ ; 0] et croissante sur [0 ; +∞[.
Démonstration :
•Sur ]−∞ ; 0] ; soient deux nombres x1et x2quelconques, avec x1<x2.
On veut comparer f(x1) et f(x2).
Pour cela, on étudie le signe de la différence.
f(x2−f(x1)) =x2
2−x2 1=(x2+x1)(x2−x1).
x2+x1<0 (somme de nombres négatifs)
x2−x1>0 car x2>x1.
Par conséquent : f(x2−f(x1)) <0 donc f(x2)<f(x1).
La fonction fest décroissante sur ] −∞ ; 0].
•Sur ]−∞ ; 0] ; soient deux nombres x1et x2quelconques, avec x1<x2.
On veut comparer f(x1) et f(x2).
f(x2−f(x1)) =(x2+x1)(x2−x1).
x2+x1>0 (somme de nombres positifs)
x2−x1>0 car x2>x1.
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