Analyse : Calcul différentiel dans un Banach

Analyse : Calcul différentiel dans un
Banach
Table des matières
I
Définition de la différentiabilité
II
2
Différentiabilité en dimension finie
4
1
Dérivées suivant un vecteur, dérivées partielles dans une base
4
2
Interprétation matricielle de la différentiabilité
6
3
Fonctions de classe C
1
sur un ouvert
6
1
4
Opérations sur les fonctions de classe C
6
5
Application à la caractérisation des fonctions constantes
7
III
Dérivées d’ordre supérieur
7
IV
Champs scalaires
8
6
Généralités, notions de gradient
8
7
Etude des extremas : condition nécessaire
8
8
Etude des extremas : condition suffisante
9
V
VI
Quelques résultats
10
Deux cas : conditions suffisantes de différentiabilité
1
11
Dans ce chapitre on prend E, F espace de Banach et Ω (ou U ) un ouvert de E, u0 ∈ Ω (Ω est alors
un voisinage de u0 ) et J : Ω → F .
Première partie
Définition de la différentiabilité
Soit une fonction f définie d’un ouvert U d’un e.v.n E vers un e.v.n F .
L’objectif est de linéariser f au voisinage de a ∈ Ω, c’est à dire d’approcher au voisinage de a
la différence f (a + h) − f (a) par une expression linéaire continue en la variable h.
Définition 1 On dit qu’une fonction f : U → F est différentiable en un point a ∈ U s’il existe une
application linéaire continue L : E → F telle que :
f (a + h) = f (a) + L(h) + ø(khk)
On dit alors que f est différentiable sur U si elle est différentiable en tout point de U
Remarque 1 Comme une application linéaire est nécéssairement continue lorsque l’espace de départ
E est de dimension finie, il sera inutile dans ce cas de spécifier la continuité de L.
Proposition 1 (Unicité de la différentielle en a) Si une fonction f : U → F est différentiable en
un point a ∈ U , alors il existe une et une seule application linéaire continue L : E → F telle que :
f (a + h) = f (a) + L(h) + ø(khk)
Démonstration. L’existence de L est assurée par l’hypothèse de différentiabilitée. Supposon qu’il
existe deux appilcation linéaires continues L1 et L2 qui vérifient l’égalité voulue. Alors par différence on
a:
(L1 − L2 )(h) = ◦(khk)
ce qui signifie que :
∀ > 0, α > 0, ∀h ∈ E on ait : khk ≤ α ⇒ k(L1 − L2 )(h)k ≤ khk
quitte a poser x = ρh avec khk ≤ α on obtient alors :
k(L1 − L2 )(x)k ≤ kxk
d’où par définition de la norme subordonnée d’une application linéaire continue :
∀ > 0, |kL1 − L2 k| ≤ donc la norme subordonnée de la différence L1 − L2 vaut 0 ce qui établit l’unicité de L
Définition 2 Si f : U → F est différentiable en un point a ∈ U , on appelle application linéaire tangente
ou différentielle de f en a l’unique application linéaire continue dfa ∈ Lc (E, F ) telle que :
f (a + h) = f (a) + dfa (h) + ◦(khk)
Remarque 2 Lorsque E = R, on a par linéarité pour tout réel h : dfa (h) = hdfa (1) et on en déduit :
f 0 (a) = lim
h→0
f (a + h) − f (a)
hdfa (1) + ◦(h)
= lim
= dfa (1)
h→0
h
h
Dans ce cas on a : dfa (h) = hdfa (1) = hf 0 (a) et on retrouve la relation classique suivante :
f (a + h) = f (a) + hf 0 (h) + ◦(h)
Proposition 2 (Une application différentiable est continue) Si f : U → F est différentiable en
un point a ∈ U , alors elle est continue en a (mais la réciproque est fausse).
2
Démonstration. On a par définition de la différentiabilité en a :
f (a + h) = f (a) + dfa (h) + ◦(khk)
Comme l’application linéaire dfa est continue, il est clair que la limite de dfa (h) lorsque h tend vers 0E
est 0F , ce qui implique la continuité de f en a :
lim f (a + h) = f (a)
h→0E
Exemple 1 (Une fonction continue mais non différentiable) Considérons une norme k.k sur un
e.v réel E.
On sait qu’elle est continue dur l’e.v.n E, k.k car elle y est 1-lipschitzienne :
|ka + hk − kak ≤ khk|
En revanche, k.k n0 estjamaisdif f érentiableàl0 origine0E . Supposons qu’elle le soit alors il existe L :
E → R linéaire continue telle que khk = L(h) + ø(khk). L’égalité kthk = k−thk donne alors pour tout
réel t, avec h fixé :
L(th) + ø(kthk) = L(−th) + ø(kthk)
On en tire 2tL(h) = ø(kthk) d’où L(h) = 0 en divisant par t et en faisant tendre t vers 0. Comme h est
arbitraire, on a L = 0 et la relation khk = ø(khk). Contradiction.
Exemple 2 (Une application linéaire continue est différentiable) Montrons qu’une application
linéaire continue L : E → F est différentiable. On a par linéarité en tout point a de E :
∀a ∈ E, ∀h ∈ E, L(a + h) = L(a) + L(h)
Il en résulte que la différentielle d’une application linéaire continue est elle même.
Exemple 3 (Une application bilinéaire continue est différentiable) Comme d’habitude, un produit E1 × E2 est normée par k(x1 , x2 )k = max(kx1 k , kx2 k). Montrons qu’une application bilinéaire
continue B : E1 × E2 → F est différentiable.
On a par bilinéarité en tout point a = (a1 , a2 ) de E1 × E2 :
B(a1 + h1 , a2 + h2 ) = B(a1 , a2 ) + (B(h1 , a2 ) + B(a1 , h2 )) + B(h1 , h2 )
L’application h → B(h1 , a2 ) + B(a1 , h2 ) est linéaire continue. Le dernier terme est en ◦(khk) puisque
2
kB(h1 , h2 )k ≤ k kh1 k kh2 k ≤ kh1 k , il en résulte que h → B(h1 , a2 ) + B(a1 , h2 ) est la différentielle de
B en a.
Exemple 4 (Différentielle de φ : f ∈ GLc (E) → f −1 ∈ GLc (E)) On montre maintenant que
la différentielle de φ : f ∈ GLc (E) → f −1 ∈ GLc (E) est l’application suivante :
h → −f −1 ◦ h ◦ f −1
Etablissons d’abord que l’application f → f −1 est différentiable en f = Id. On sait que Id + h est
inversible si |kh|k < 1, et son inverse est la somme de la série :
(Id + h)−1 =
∞
X
(−h)k = Id − h +
k=0
∞
X
(−h)k
k=2
Cette dernière somme est négligeable devant |kh|k car :
∞
∞
∞
2
X
X
X
k k (−h)k =
h = |kh|k = ◦(|kh|k)
(−h) ≤
1 − |kh|k
k=2
k=2
k=2
Ainsi on a comme annoncé :(Id + h)−1 = Id − h + ◦(|kh|k)
Etablissons alors que l’application φ
:
f ∈ GLc (E) → f −1 ∈ GLc (E) est différentiable en
f ∈ GLc (E). A cet effet, on se ramène au cas précédent en écrivant f + h = (Id + h ◦ f −1 ) ◦ f . On sait
3
que Id + h ◦ f −1 est inversible si h ◦ f −1 < 1, ce qui est notemment réalisé si |kh|k ≤
a alors :
(f + h)−1 = ((Id + h ◦ f −1 ) ◦ f )−1 = f −1 ◦ (Id + h ◦ f −1 )−1
1
|kf −1 |k ,
et on
On applique le résultat précédent à (Id + h ◦ f −1 )−1 , et on obtient :
(f + h)−1 = f −1 ◦ (Id − h ◦ f −1 + ◦(h ◦ f −1 ))
une expression négligeable devant h ◦ f −1 est à fortiori négligeable devant h ce qui donne le résultat
suivant :
(f + h)−1 = f −1 − f −1 ◦ h ◦ f −1 + ◦(|kh|k)
Proposition 3 (Produit d’une fonction scalaire et d’une fonction différentiables) Soient λ :
U → R et f : U → F différentiables en a ∈ U (resp. sur U ). Alors λf est différentiable en a (resp. sur
U ) et on a :
d(λf )a = f (a)dλa + λ(a)dfa
Proposition 4 (Composée d’une application linéaire et d’une fonction différentiable) Soient
trois e.v.n. E, F, et G et un ouvert U de E. Soit f : U → F différentiable en a ∈ U (resp. sur U ). Soit
L : F → G linéaire continue. Alors L ◦ f est différentiable en a (resp. sur U ) et sa différentielle en a
est :
d(L ◦ f )a = L ◦ dfa
Proposition 5 (Application au cas où l’e.v.n F d’arrivé est de dimension finie) Soient un ouvert U d’un espace de Banach E et un espace F de dimension finie. On suppose l’espace F rapporté à
une base BF = (v1 , . . . , vn ). Pour une fonction f = f1 v1 + . . . + fn vn : U → F ,il y a équivalence entre :
– la fonction f : U → F est différentiable en a ∈ U (resp. sur U )
– les composantes f1 , . . . , fn : U → R sont différentiables en a ∈ U (resp. sur U )
Proposition 6 (Composition des fonctions différentiables) Soient trois e.v.n. E, F, G et U un
ouvert de E,V un ouvert de F . Soit une fonction f : U → F différentiable en a ∈ U (resp. sur U ). Soit
une fonction g : V → G différentiable en f (a) (resp. sur V ). Si f (U ) ⊂ V , alors g ◦ f est différentiable
en a (resp. sur U ) et on a :
d(g ◦ f )a = dgf (a) ◦ dfa
Application 1 (Différentielle de 1/λ) Soit λ : U → R différentiable en a. Si λ ne s’annule pas et
si λ est différentiable en a, alors 1/λ est différentiable en a et :
∀h ∈ E, d(
1
1
) = − 2 dλa
λa
λ (a)
En effet il suffit d’appliquer le résultat précédent avec les deux application f, g définie par f : x ∈ U →
λ(x) ∈ R et
g : x ∈ R∗ → 1/x ∈ R
Deuxième partie
Différentiabilité en dimension finie
1
Dérivées suivant un vecteur, dérivées partielles dans une base
Soient un point a de l’ouvert U , un vecteur non nul h de E, et une fonction f : U → F . Comme U est
ouvert, il existe r > 0 tel que B(a, r) ⊂ U , et comme f est définie sur U , donc sur B(a, r),alors t ∈ R →
φ(t) = f (a + th) ∈ F est définie p ourkthk < r,donc sur un voisinage de 0 contenant ] − r/ khk , r/ khk [,
ce qui légitime la définition suivante.
Définition 3 Soient U un ouvert d’un e.v.n. E et un e.v.n. F . On dit qu’une fonction f : U → F a une
dérivée en a ∈ U suivant un vecteur h ∈ E si la fonction de la variable réelle t : φ(t) = f (a + th) ∈ F
est dérivable en 0. On appelle alors d”érivée de f en a suivant le vecteur h le vecteur Dh f (a) = φ0 (0)
tel que :
f (a + th) − f (a)
Dh f (a) = lim
t→0
t
4
Expression de la dérivée suivant un vecteur dans une base F (F de dimension finie)
Supposons l’espace vectoriel F de dimension finie n et rapporté à une base (v1 , ..., vn ).
Dans ce cas, si f = f1 v1 + ... + fn vn , il y a équivalence entre :
– la fonction f admet une dérivée en anU suivant un vecteur h
– les fonctions f1 , ..., fn admettent une dérivée en a ∈ U suivant un vecteur h et la dérivée de f en
a suivant ce vecteur h est égale à :
Dh f (a) = Dh f1 (a)v1 + ... + Dh fn (a)vn
En effet dans l’etude de la dérivabilité des fonctions vectorielles d’un iintervalle I dans F , on a
montré qu’une telle fonction est dérivable si et seulement si ses composantes le sont et on a établit que
les composantes de sa dérivée sont les dérivés des composantes. D’où le résultat par application en t = 0
à la fonction d’une variable réelle t 7→ f (a + th).
Proposition 7 (Une propriété des fonctions différentiables) Soient un ouvert U d’un e.v.n. E
et un e.v.n. F .
Si une fonction f : U → F est différentiable en a ∈ U , alors elle admet une dérivée au point a
suivant tout vecteur h, et celle-ci est égale à :
Dh f (a) = dfa (h)
On suppose désormais E de dimension finie p rapporté à une base BE = (e1 , ..., ep ). On introduit les
dérivées partielles de f dans cette base par la définition suivante.
Définition 4 Soient un ouvert U de E. On appelle j ème dérivée partielle en a ∈ U d’une fonction
f : U → F la dérivée de f au point a suivant le vecteur ej , sous réserve d’existence de celle-ci, et on la
note :
∂f
f (a + tej ) − f (a)
Dj f (a) ou
(a) = lim
t→0
∂xj
t
Si f : U → F a une j ème dérivée partielle en tout point de U , on peut alors considéré la fonction j ème
dérivée partielle Dj f : U → F .
Proposition 8 (Expression de la différentielle à l’aide des dérivées partielles) Soient un ouvert U d’un e.v.n. E de dimension p et un e.v.n. F de dimension n.
Si f : U → F est différentiable en a ∈ U , elle a des dérivées partielles en a dans toutes base
BE = (e1 , . . . , ep ) de E, qui sont égales à Dj f (a) = dfa ej et on a :
∀h ∈ E, dfa (h) = h1 D1 f (a) + . . . + hp Dp f (a)
On a une autre formule avec légalité : Dh f (a) = dfa (h)
Démonstration. Si f est différentiable en a ∈ U , elle a des dérivées partielles suivant tout vecteur
comme l’indique la proposition ”une propriété des fonctions différentiables”. On prend donc les vecteurs
de la base de E et on obtient par linéarité de dfa (h) avec h = h1 e1 + ... + hp ep :
dfa (h) =
p
X
hj Dj f (a)
j=1
Remarque 3
– Une fonction peut avoir des dérivées partielles sans être différentiable, par exemple
la fonction f (x, y) = x2xy
+y 2
– Notation différentielle : Pour une application f : U → F différentiable en un point a ∈ U , on a
établi que :
∀h ∈ E, dfa (h) = h1 D1 f (a) + . . . + hp Dp f (a)
Si on désigne par (dx1 , ..., dxp ) la base dual de BE = (e1 , ..., ep ) qui est constituée des applications
associant au vecteur h ses composantes dans la base BE alors :
∀h ∈ E, dfa (h) = D1 f (a)dx1 (h) + . . . + Dp f (a)dxp (h)
on en déduit donc avec l’égalité pour tout les h de E :
∀h ∈ E, dfa = D1 f (a)dx1 + . . . + Dp f (a)dxp
Soit encore une autre notation :
dfa =
∂f
∂f
(a)dx1 + ... +
(a)dxp
∂x1
∂xp
5
2
Interprétation matricielle de la différentiabilité
On suppose les dimensions finies dans ce paragraphe E de dimension p et F de dimension n tous
deux rapportés à leur bases respectives.
Définition 5 Soit une fonction f : U → F différentiable en x ∈ U . On appelle matrice jacobienne (ou
jacobienne) de f en x la matrice Jfx de dfx relativement aux bases prises pour E et F . La j ème colonne
de cette matrice est alors l’image par dfx du j ème vecteur de base ej , et c’est donc la j ème dérivée
partielle dfx (ej ) = Dj f (x) exprimée dans la base BF de F .
On a alors :


D1 f1 (x) D2 f1 (x) . . . Dp f1 (x)
 D1 f2 (x) D2 f2 (x) . . . Dp f2 (x) 


Jfx = 

..
..
..


.
.
.
D1 fn (x) D2 fn (x) . . .
3
Dp fn (x)
Fonctions de classe C 1 sur un ouvert
Proposition 9 (Théorème fondamental) Soient un ouvert U d’un espace E de dimension p et un
espace F de dimension n. Si une fonction f : U → F admet des dérivées partielles continues sur l’ouvert
U dans une base de E, alors elle est différentiable, et donc continue, sur U .
Proposition 10 (Définition éqiuvalente des fonctions de classe C 1 ) Soient un ouvert U d’un
espace E de dimension p et un espace F de dimension n. Pour une fonction f : U → F , il y a
équivalence entre :
– l’application x 7−→ Dh f (x) est continue sur U pour tout vecteur h ∈ E
– les dérivées partielles de f sont continues sur U dans une base (toute base) de E
Une telle proposition justifie la définition suivante des fonctions de classe C 1 :
Définition 6 Soient un ouvert U d’un espace E de dimension p et un espace F de dimension n. On
dit qu’une fonction f : U → F est de classe C 1 sur l’ouvert U si elle vérifie l’une des deux conditions
équivalentes suivantes :
– f admet des dérivées partielles continues sur U dans une base (toute base) de E
– f admet une dérivée continue sur U suivant tout vecteur h de E
Et une telle fonction est nécessairement différentiable, donc continue, sur l’ouvert U .
De plus f est de classe C 1 sur U ⇔ f est différentiable sur U et l’application x ∈ U 7−→ dfx ∈
Lc (E, F ) continue.
4
Opérations sur les fonctions de classe C 1
– Cas d’une combinaison linéaire de fonctions
Soient un ouvert U d’un espace E de dimension p et un espace F de dimension n. Soient deux
réels λ, µ et deux fonctions f, g : U → F . Si f, g sont différentiables en x ∈ U , alors λf + µg est
différentiable en x et on a :
∀j = 1...p, d(λf + µg)x (ej ) = λdfx (ej ) + µdgx (ej )
comme dhx (ej ) = Dj h(x) on a pour j = 1...p :
Dj (λf + µg)(x) = λDj f (x) + µDj g(x)
Ainsi la continuité des dérivée partielles des fonctions f et g sur l’ouvert U implique celle des
dérivées partielles de λf + µg, et on en déduit le résultat suivant :
Une combinaison linéaire de fonction de classe C 1 sur U est de classe C 1 sur U .
L’ensemble C 1 (U, F ) des fonctions C 1 de U dans F forme un espace vectoriel.
6
– Un produit de fonctions réelles et vectorielle de classe C 1 sur U est de classe C 1 sur
U
– Une composée d’une application linéaire (nécessairement continue dans ce cas) et
d’une fonction f : U → F de classe C 1 sur U est de classe C 1 sur U
– Une composée de fonctions f : U → F et g : V → G de classe C 1 sur U et V est de
classe C 1 sur U lorsqu’on peut la définir, i.e. lorsque f (U ) ⊂ V
on a :
q
X
Dj (g ◦ f )(x) =
(Dj fk (x)(Dk g)(f (x))
k=1
5
Application à la caractérisation des fonctions constantes
On exploite ici les dérivées partielles des fonction pour donner une condition simple pour qu’une
fonction soit constante. Puisqu’une fonction définie sur un intervalle I est condstante si et seulement si
elle est de classe C 1 est de dérivée nulle sur I, on étend ce résultat en remplaçant l’intervalle I par un
ouvert convexe U , puis par un ouvert connexe par arcs U .
Proposition 11 (Caractérisation des fonctions constantes sur les convexes) Soient un ouvert
U d’un espace E de dimension p et un espace F de dimension n. Si U est convexe, il y a équivalence
pour une fonction f : U → F :
– f est constante
– f est de classe C 1 et de différentielle nulle
– f est de classe C 1 et de dérivées partielles nulles dans une base (toute base) de E
Lemme 1 Un ouvert U d’un e.v.n. E est connexe par arcs si et seulement si, pour tout couple (x, y)
de points de U , l’une des conditions suivantes est vérifiée :
1. il existe φ : [0, 1] → U continue telle que φ(0) = x et φ(1) = y
2. il existe φ : [0, 1] → U continue affine par morceaux avec φ(0) = x et φ(1) = y
Proposition 12 (Caractérisation des fonctions constantes sur les connexes par arcs) Soient
un ouvert U d’un espace E de dimension p et un espace F de dimension n. Si U est connexe par arcs,
il y a équivalence pour une fonction f : U → F :
– f est constante
– f est de classe C 1 et de différentielle nulle
– f est de classe C 1 et de dérivées partielles nulles dans une base (toute base) de E
Troisième partie
Dérivées d’ordre supérieur
Proposition 13 (Définition équivalente des fonctions de classe C 2 ) Soient un ouvert U d’un
espace E de dimension p et un espace F de dimension n. Pour une fonction f : U → F de classe
C 1 ,il y a équivalence entre :
– pour tout vecteur h ∈ E, la fonction Dh f : U → F est de classe C 1
– les dérivées partielle de f dans une base (toute base) de E sont de classe C 1
f est alors de classe C 2 .
Définition 7 Soient un ouvert U d’un espace E de dimension p et un espace F de dimension n. On
dit que f : U → F est de classe C m+1 sur l’ouvert U si elle vérifie l’une des conditions équivalentes
suivantes :
– pour tout vecteur h ∈ E, la fonction Dh f : U → F est de classe C m+1
– les dérivées partielle de f dans une base (toute base) de E sont de classe C m+1
On dit que f est de classe C ∞ si elle est de classe C m pour tout entier naturel m.
Proposition 14 (Théorème de Schwartz (1843-1921)) Soient un ouvert U d’un espace E de dimension p et un espace F de dimension n. On suppose l’espace E rapporté à une base (e1 , ..., ep ). Pour
toute fonction f : U → F de classe C 2 , on a pour 1 ≤ i, j ≤ p :
Di Dj f = Dj Di f ou
7
∂2f
∂2f
=
∂xi ∂xj
∂xj ∂xi
Quatrième partie
Champs scalaires
6
Généralités, notions de gradient
On pose ici F = R et E de dimension p. Si f : U → R est différentiable en a ∈ U , on observe que la
différentielle de f en a est une application linéaire de E dans R, i.e. une forme linéaire sur E. Si E est
euclidien, on sait que pour toute forme linéaire φ il existe un unique vecteur v appartenant à E tel que :
∀h ∈ E, φ(h) = (v, h)
ce qui justifie la définition suivante :
Définition 8 Soient un espace euclidien E muni d’un produit scalaire noté (., .) et un ouvert U de E.
Etant donné une application f : U → R différentiable en a ∈ U , on appelle gradient de f en a l’unique
vecteur de E noté ∇f (a) =gradf (a) tel que :
∀h ∈ E, dfa (h) = (∇f (a).h)
Un point a est alor dit régulier si ∇f (a) 6= 0E et singulier ou critique si ∇f (a) = 0
La différentielle de f en a est ainsi déterminée par la donnée du gradient de f en a et la différentiabilité
de f en a s’écrit maintenant :
f (a + h) = f (a) + (∇f (a).h) + ◦(khk)
Proposition 15 (Expression du gradient en base orthonormale) Soient un espace euclidien E
muni d’un produit scalaire noté (., .) et un ouvert U de E. Pour tout fonction f : U → R différentiable
en a ∈ U on a :
– la dérivée de f en a pour tout vecteur h est Dh f (a) = (∇f (a).h)
– le vecteur gradient ∇f (a) s’écrit dans toutes base orthonormale (e1 , ..., ep ) :
∇f (a) = D1 f (a)e1 + ... + Dp f (a)ep
Remarque 4 (Interprétation géométrique du gradient de f en a) Considérons une fonction f :
U → R différentiable en un point régulier a ∈ U . Pour étudier les variations locales de f dans les
différentes directions autour du point a, introduisons un vecteur unitaire quelconque u ; on a établi à la
proposition précédente :
Du f (a) = (∇f (a).u)
On note que la dérivée de f en a suivant le vecteur unitaire u est la projection orthogonale de ∇f (a)
sur la droite dirigée par u. D’après C.S. on a : (u étant unitaire)
− k∇f (a)k ≤ (∇f (a), u) ≤ k∇f (a)k
Il en résulte que la dérivée de f en a suivant le vecteur u, qui indique la limite du taux de variation de
f en a dans la direction u est :
– maximale lorsque u est colinéaire et de même sens que ∇f (a)
La fonction f croit le plus vite en a dans la direction de ∇f (a)
– minimale lorsque u est de sens opposé à ∇f (a)
La fonction f décroit le plus vite en a dans la direction opposée de ∇f (a)
– nulle lorsque u est orthogonale à ∇f (a)
L’accroissement de f est négligeable dans les directions orthogonales à ∇f (a)
7
Etude des extremas : condition nécessaire
Définition 9 On considère un ouvert U d’un espace de Banach E et une fonction f : U → R. On dit
que f admet un maximum (minimum) local en un point a ∈ U s’il existe une boule de centre a et de
rayon r tel que :
∀x ∈ B(a, r) : f (x) ≤ f (a)(ou f (x) ≥ f (a))
8
Proposition 16 (Condition nécessaire d’extremum sur un ouvert) Soit un point a ∈ U U ouvert d’un espace E de dimension finie. Si f : U → R est différentiable en a, si f a un minimum
(maximum) local en a, alors ses dérivées partielles, donc sa différentielle, sont nulles en a.
Remarque 5 (Recherche d’extrema des fonctions différentiables)
– Soit une fonction différentiable
(donc continue )f : U → R. Alors f a un maximum et un minimum sur tout compacte K ⊂ U et :
– s’ils sont atteints dans l’interieur de K on les obtient en annulant dfa
– s’ils sont atteints sur la frontière de K on les obtients par d’autres méthodes
– Soit une fonction différentiable (donc continue) f : U → R avec E de dimension finie. Si
limkxk→∞ f (x) = ∞ alors la fonction f a un minimum sue E
8
Etude des extremas : condition suffisante
Proposition 17 (Formule de Taylor-Young) Soient un ouvert U d’un espace E de dimension p et
un espace F de dimension n. On suppose l’espace E rapporté à une base (e1 , ..., ep ). Pour toute fonction
f : U → F de classe C 2 on a au voisinage de a ∈ U :
f (a + h) = f (a) +
p
X
j=1
p
hj Dj f (a) +
p
1 XX
2
hi hj Di Dj f (a) + ◦(khk )
2 i=1 j=1
Interprétation matricielle :
Introduisons les matrices suivantes :
– Jfa = (D1 f (a), ..., Dp f (a)), matrice jacobienne de f en a
– Hfa = (Di Dj f (a)) matrice hessienne de f en a (matrice symetrique réelle)
– h qu’on identifie à la matrice colonne de ses composantes
La formule s’écrit comme suit :
f (a + h) = f (a) + Jfa ∗ h +
1t
2
h ∗ Hfa ∗ h + ◦(khk )
2
Lemme 2 Soit une matrice symétrique réelle M ∈ Mp (R). Si ses valeurs propres (nécesserement
réelles) sont λ1 ≤ ... ≤ λp on a :
t
min
X6=0
t
X ∗M ∗X
X ∗M ∗X
=
λ
;
max
= λp
1
tX ∗ X
tX ∗ X
X6=0
Démonstration. En effet : comme cette matrice est symétrique réelle, elle diagonalise en base orthonormale et on sait qu’il existe une matrice orthogonale P telle que D = t P ∗ M ∗ P , où D désigne donc
la matrice dont les éléments diagonaux sont les valeurs propres λ1 , ..., λp . Quitte à poser Y = t P ∗ X on
obtient alors :
t
t
t
λ1 py12 + ... + λp yp2
X ∗M ∗X
X ∗ P ∗ D ∗ tP ∗ X
Y ∗D∗Y
=
=
=
tX ∗ X
tX ∗ X
tY ∗ Y
y12 + ... + yp2
comme λ1 ≤ ... ≤ λp le lemme résulte aussitôt des remarques suivantes :
– le rapport précédent est compris entre λ1 et λp
– la valeur λ1 est atteinte lorsque y1 = 1 et y2 = ... = yp = 0
– la valeur λp est atteinte lorsque yp = 1 et y1 = ... = yp−1 = 0
Ainsi la connaissance de la plus grande et de la plus petite des valeurs propres de la matrice M
permet de connaotre le signe de t X ∗ M ∗ X lorsque X décrit Rp
Proposition 18 (Condition suffisante d’extremum sur un ouvert avec dim(E) = 2) Soit une
fonction f : U → R de classe C 2 sur un ouvert U de E et E de dimension 2. On suppose E rapporté à
une base (e1 , e2 ). Si les dérivées partielles d’ordre 1 s’annule en un point a de U , on pose :
r=
∂2f
∂2f
∂2f
(a) ; s =
(a) ; t =
(a)
2
∂x
∂x∂y
∂y 2
– Si rt − s2 > 0, il y a un extremum local eb a (maximum si r < 0, minimum sinon)
– Si rt − s2 < 0, il n’y a pas d’extremum en a (on dit qu’on a un col en a)
– Si rt − s2 = 0, on ne peut conclure directement
9
Cinquième partie
Quelques résultats
Définition 10 Continuité : les assertions suivantes sont équivalentes :
1. J continue en u0
2. J(u0 + h) − J(u0 ) → 0 lorsque khk → 0 tel que khk ρ, où ρ est le rayon d’une boule centrée en
u0 contenue dans Ω
Différentiabilité : les assertions suivantes sont équivalentes :
1. J est différentiable en u0
2. ∃ une application linéaire continue notée du0 J : E → F tel que si kuk ≤ ρ on ait
kJ(u0 + h) − J(u0 ) − du0 J(h)k = khk (h) avec (h) → 0 lorsque h → 0
Exemple 5 On prend E = F = R et J continuement dérivable en u0 ∈ R alors J est différentiable en
u0 et du0 J(h) = (J 0 (u0 )), matrice 1x1 ou bien du0 J(h) = hJ 0 (u0 ). En effet J est dérivable en u0 alors :
J(u0 + h) − J(u0 ) = hJ 0 (u0 ) + h(|h|)
donc :
|J(u0 + h) − J(u0 ) − hJ 0 (u0 )| = |h| (|h|)
où hJ 0 (u0 ) = du0 J(h) = (J 0 (u0 ))
Exemple 6 Prenons J application linéaire continue de E dans F . Alors J est différentiable de différentielle
J
Exemple 7 Prenons E = H, F = R et A application linéaire continue de H Hilbert dans h, autoadjointe. Puis posons J : u → 12 (Au, u) (J est appelé fonctionnelle quadratique)
Alors : J est différentiable de différentielle du0 J(h) = (Au0 , h) (linéaire continue).
En effet : J(u0 + h) − J(u0 ) = 21 (A(u0 + h), (u0 + h)) − 21 (Au0 , u0 )
= 12 (Au0 , h) + 21 (Ah, u0 ) + 12 (Ah, h)
= (Au0 , h) + 21 (Ah, h)
1
2
avec : 2 (Ah, h) ≤ |kAk|khk
2
Donc |J(u0 + h) − J(u0 ) − (Au0 , h)| → 0, h → 0
d’où du0 J(h) = (Au0 , h), continue de H → R et forme linéaire. Si J : H → C alors du0 J(h) =
Re((Au0 , h)). Si A non autoadjoint en plus on a : du0 J(h) = 21 (Au0 , h) + 21 (A∗ u0 , h)
R1
Exemple 8 Prenons E = H = L2 (]0, 1[) et F = R. Soit JL2 →R u 7−→ 0 u2 (x)dx. Soit u0 (x) ∈ L2 .
Alors J est différentiable en u0 de différentielle du0 (h) = 2(u0 , h) (linéaire continue).
R1
Exemple 9 On prend E = L2 (]0, 1[) et F = R. Soit J : u(x) → 0 sin u(x)dx et soit u0 ∈ L2 alors J
R1
est différentiable en u0 de différentielle du0 J(h) = 0 h(x) cos u0 (x)dx
En effet :
J(u + h) − J(u0 ) =
R1
R1 0
sin(u0 (x))(cos(h(x)) − 1)dx + 0 (sin(h(x)) − h(x))cos(u0 (x))dx + 0 h(x)cos(u0 (x))dx
0
R1
On regarde φ : h → 0 h(x)cos(u0 (x))dx linéaire.
On a :
R
R1
1
|J(u0 + h) − J(u0 ) − φ(h)| = 0 sin(u0 (x))(cos(h(x)) − 1)dx + 0 (sin(h(x)) − h(x))dx
R1
Avec Taylor on a :
2
cos(s) = 1 − s2 cos(c(s)) + . . .
2
donc :|cos(s) − 1| ≤ s2
R
R 2
1
1
donc : 0 sin(u0 (x))(cos(h(x)) − 1)dx ≤ 0 sin(u0 (x)) h2 dx ≤
khk
on prend (h) = 2L2
2
de même avec sin(s) = s − s2 sin(c(s)).
10
khk2L2
2
Une autre méthode aurait été d’écrire :
sin(s + k) − sin(s) = kcos(s) −
k2
2 sin(c(s))
Sixième partie
Deux cas : conditions suffisantes de différentiabilité
Théorème 1
Si on prend H = L2 (Ω), Ω ouvert de Rd . On suppose gR→R s 7−→ g(s) est C 2 (R). Si on a :
|g(s)| ≤ C1 s2
|g 0 (s)| ≤ C2 s
|g 00 (s)| ≤ C3
Alors l’application J : L2 (Ω) → R définie par :
R
J(u) = Ω g(u(x))dx
est différentiable en u0 ∈ L2 (Ω) et on a :
Ω
g 0 (u0 (x))h(x)dx
Ω
|g(u0 + h(x)) − g(u0 ) − g 0 (u0 )h(x)| dx.
du0 J(h) =
R
|J(u0 + h) − J(u0 ) − du0 J(h)| ≤
R
Preuve 1 On a :
On sait que :
∀a, b ∈ R, ∃c ∈]a, b[ tel que g(b) − g(a) = g 0 (a)(b − a) +
(b−a)2 00
g (c)
2
En utilisant ce résultat et en posant a = u0 (x), b = u0 + h(x) on a :
R 2
2
|J(u0 + h) − J(u0 ) − du0 J(h)| ≤ Ω h 2(x) g 00 (c) dx ≤ C khkL2 = (h) khk
Donc la différentielle est bien celle du théorème.
Voyons si J est bine définie. Soit u ∈ L2 on a :
R
R
R
2
g(u(x))dx ≤
|g(u(x))| dx ≤ C Ω |u(x)| dx < ∞
Ω
Ω
Voyons si la différentielle est bien linéaire continue :
Elle est linéaire.
Et :
R
R
|du0 J(h)| ≤ Ω |g 0 (u0 (x))h(x)| dx ≤ C Ω |u0 (x)| |h(x)| dx ≤C.S C ku0 kL2 khkL2
Exemple 10 Montrons que l’application J suivante est différentiable et calculons sa différentielle :
J(u) =
u2 (x)
−1
2
R
Ω
cos(u(x))+
u(x)
dx.
2
Pour ce faire montrons que g : s 7−→
cos(s)+ s2 −1
s
vérifie les conditions du théorème.
cos(s)+ s2 ) −1 2
est bornée. Sa limite en
1. Montrons que |g(s)| ≤ C1 s2 ce qui reviens a montrer que s3
l’infini est 0. Le problème
de continuité se trouve en 0. Montrons la continuité en 0.
cos(s)+ s2 ) −1 s
2
= cos(γ(s)) ≤ s donc tend vers 0.
On a : s3
4
4
2. Montrons que |g 0 (s)| ≤ C2 s. En l’infini cela tend vers 0. Le problème de continuité se trouve en 0.
Montrons la continuité en 0. En utilisant la même astuce, i.e. utiliser le théorème de Taylor on
a:
s
s
|g 0 (s)| = 4!
cos(γ(s)) + 3!
(−sin(ς(s))) tend vers 0 en 0.
11
3. On montre de même en dérivant deux fois et en utilisant Taylor que : |g 00 (s)| ≤ C3
Théorème 2
Si on prend H = C([a, b]) (ou C(K) avec K compacte). On suppose gR→R s 7−→ g(s) est C 2 (R).
Alors l’application J : L2 (K) → R définie par :
R
J(u) = K g(u(x))dx
est différentiable en u0 ∈ C(K) et on a :
du0 J(h) =
R
K
g 0 (u0 (x))h(x)dx
Preuve 2 J est bien définie car g ◦ u est continue sur K donc intégrable sur un compacte K.
La
est linéaire voyons la continuité :
R
différentielle
0
du J(h) ≤
|g
(u0 (x))| |h(x)| dx ≤ supK |g 0 (u0 (x))| supK |h(x)| vold (K)
0
K
Vérifions que c’est bien la bonne différentielle :
2 Z 2
h (x)
h (x) 00 |J(u0 + h) − J(u0 ) − du0 J(h)| ≤
sup |g 00 (c)| vold (K)
2 g (c) dx ≤ sup
2
K
K
K
Or :
sup |g 00 (c)| ≤ sup |g 00 (z)| ≤
K
Z∈γ(K)
sup
|g 00 (z)|
[−A−B,A+B]
car γ(x) bornée. u0 (x) + h(x) ∈ (u0 + h)(K) ⊂ [−B, B] et u0 (x) ∈ u0 (K) ⊂ [−A, A] donc γ(x) ∈
]u0 (x), u0 (x) + h(x)[⊂] − A − B, A + B[⊂ [−A − B, A + B] ,
12