Analyse : Calcul différentiel dans un Banach

Analyse : Calcul diff´erentiel dans un
Banach
Table des mati`eres
I D´efinition de la diff´erentiabilit´e 2
II Diff´erentiabilit´e en dimension finie 4
1 D´eriv´ees suivant un vecteur, d´eriv´ees partielles dans une base 4
2 Interpr´etation matricielle de la diff´erentiabilit´e 6
3 Fonctions de classe C1sur un ouvert 6
4 Op´erations sur les fonctions de classe C16
5 Application `a la caract´erisation des fonctions constantes 7
III D´eriv´ees d’ordre sup´erieur 7
IV Champs scalaires 8
6 G´en´eralit´es, notions de gradient 8
7 Etude des extremas : condition n´ecessaire 8
8 Etude des extremas : condition suffisante 9
V Quelques r´esultats 10
VI Deux cas : conditions suffisantes de diff´erentiabilit´e 11
1

Dans ce chapitre on prend E, F espace de Banach et Ω (ou U) un ouvert de E,u0∈Ω (Ω est alors
un voisinage de u0) et J: Ω →F.
Premi`ere partie
D´efinition de la diff´erentiabilit´e
Soit une fonction fd´efinie d’un ouvert Ud’un e.v.n Evers un e.v.n F .
L’objectif est de lin´eariser f au voisinage de a ∈Ω, c’est `a dire d’approcher au voisinage de a
la diff´erence f(a+h)−f(a) par une expression lin´eaire continue en la variable h.
D´efinition 1 On dit qu’une fonction f:U→Fest diff´erentiable en un point a∈Us’il existe une
application lin´eaire continue L:E→Ftelle que :
f(a+h) = f(a) + L(h) + ø(khk)
On dit alors que fest diff´erentiable sur Usi elle est diff´erentiable en tout point de U
Remarque 1 Comme une application lin´eaire est n´ec´essairement continue lorsque l’espace de d´epart
Eest de dimension finie, il sera inutile dans ce cas de sp´ecifier la continuit´e de L.
Proposition 1 (Unicit´e de la diff´erentielle en a)Si une fonction f:U→Fest diff´erentiable en
un point a∈U, alors il existe une et une seule application lin´eaire continue L:E→Ftelle que :
f(a+h) = f(a) + L(h) + ø(khk)
D´emonstration. L’existence de Lest assur´ee par l’hypoth`ese de diff´erentiabilit´ee. Supposon qu’il
existe deux appilcation lin´eaires continues L1et L2qui v´erifient l’´egalit´e voulue. Alors par diff´erence on
a :
(L1−L2)(h) = ◦(khk)
ce qui signifie que :
∀ > 0, α > 0,∀h∈E on ait :khk ≤ α⇒ k(L1−L2)(h)k ≤ khk
quitte a poser x=ρh avec khk ≤ αon obtient alors :
k(L1−L2)(x)k ≤ kxk
d’o`u par d´efinition de la norme subordonn´ee d’une application lin´eaire continue :
∀ > 0,|kL1−L2k| ≤ 
donc la norme subordonn´ee de la diff´erence L1−L2vaut 0 ce qui ´etablit l’unicit´e de L
D´efinition 2 Si f:U→Fest diff´erentiable en un point a∈U, on appelle application lin´eaire tangente
ou diff´erentielle de fen al’unique application lin´eaire continue dfa∈ Lc(E, F )telle que :
f(a+h) = f(a) + dfa(h) + ◦(khk)
Remarque 2 Lorsque E=R, on a par lin´earit´e pour tout r´eel h:dfa(h) = hdfa(1) et on en d´eduit :
f0(a) = lim
h→0
f(a+h)−f(a)
h= lim
h→0
hdfa(1) + ◦(h)
h=dfa(1)
Dans ce cas on a : dfa(h) = hdfa(1) = hf 0(a)et on retrouve la relation classique suivante :
f(a+h) = f(a) + hf0(h) + ◦(h)
Proposition 2 (Une application diff´erentiable est continue) Si f:U→Fest diff´erentiable en
un point a∈U, alors elle est continue en a(mais la r´eciproque est fausse).
2

D´emonstration. On a par d´efinition de la diff´erentiabilit´e en a:
f(a+h) = f(a) + dfa(h) + ◦(khk)
Comme l’application lin´eaire dfaest continue, il est clair que la limite de dfa(h) lorsque htend vers 0E
est 0F, ce qui implique la continuit´e de fen a:
lim
h→0E
f(a+h) = f(a)
Exemple 1 (Une fonction continue mais non diff´erentiable) Consid´erons une norme k.ksur un
e.v r´eel E.
On sait qu’elle est continue dur l’e.v.n E, k.kcar elle y est 1-lipschitzienne :
|ka+hk−kak ≤ khk|
En revanche, k.kn0estjamaisdiff ´erentiable`al0origine0E. Supposons qu’elle le soit alors il existe L:
E→Rlin´eaire continue telle que khk=L(h) + ø(khk). L’´egalit´e kthk=k−thkdonne alors pour tout
r´eel t, avec hfix´e :
L(th) + ø(kthk) = L(−th) + ø(kthk)
On en tire 2tL(h) = ø(kthk)d’o`u L(h) = 0 en divisant par tet en faisant tendre tvers 0. Comme hest
arbitraire, on a L= 0 et la relation khk= ø(khk). Contradiction.
Exemple 2 (Une application lin´eaire continue est diff´erentiable) Montrons qu’une application
lin´eaire continue L:E→Fest diff´erentiable. On a par lin´earit´e en tout point ade E:
∀a∈E, ∀h∈E, L(a+h) = L(a) + L(h)
Il en r´esulte que la diff´erentielle d’une application lin´eaire continue est elle mˆeme.
Exemple 3 (Une application bilin´eaire continue est diff´erentiable) Comme d’habitude, un pro-
duit E1×E2est norm´ee par k(x1, x2)k=max(kx1k,kx2k). Montrons qu’une application bilin´eaire
continue B:E1×E2→Fest diff´erentiable.
On a par bilin´earit´e en tout point a= (a1, a2)de E1×E2:
B(a1+h1, a2+h2) = B(a1, a2)+(B(h1, a2) + B(a1, h2)) + B(h1, h2)
L’application h→B(h1, a2) + B(a1, h2)est lin´eaire continue. Le dernier terme est en ◦(khk)puisque
kB(h1, h2)k ≤ kkh1k kh2k≤kh1k2, il en r´esulte que h→B(h1, a2) + B(a1, h2)est la diff´erentielle de
Ben a.
Exemple 4 (Diff´erentielle de φ:f∈GLc(E)→f−1∈GLc(E)) On montre maintenant que
la diff´erentielle de φ:f∈GLc(E)→f−1∈GLc(E)est l’application suivante :
h→ −f−1◦h◦f−1
Etablissons d’abord que l’application f→f−1est diff´erentiable en f=Id. On sait que Id +hest
inversible si |kh|k <1, et son inverse est la somme de la s´erie :
(Id +h)−1=
∞
X
k=0
(−h)k=Id −h+
∞
X
k=2
(−h)k
Cette derni`ere somme est n´egligeable devant |kh|k car :
∞
X
k=2
(−h)k ≤
∞
X
k=2 
(−h)k =
∞
X
k=2 
hk =|kh|k2
1− |kh|k =◦(|kh|k)
Ainsi on a comme annonc´e :(Id +h)−1=Id −h+◦(|kh|k)
Etablissons alors que l’application φ:f∈GLc(E)→f−1∈GLc(E)est diff´erentiable en
f∈GLc(E). A cet effet, on se ram`ene au cas pr´ec´edent en ´ecrivant f+h= (Id +h◦f−1)◦f. On sait
3

que Id +h◦f−1est inversible si 
h◦f−1 <1, ce qui est notemment r´ealis´e si |kh|k ≤ 1
|kf−1|k , et on
a alors :
(f+h)−1= ((Id +h◦f−1)◦f)−1=f−1◦(Id +h◦f−1)−1
On applique le r´esultat pr´ec´edent `a (Id +h◦f−1)−1, et on obtient :
(f+h)−1=f−1◦(Id −h◦f−1+◦(
h◦f−1 ))
une expression n´egligeable devant h◦f−1est `a fortiori n´egligeable devant hce qui donne le r´esultat
suivant :
(f+h)−1=f−1−f−1◦h◦f−1+◦(|kh|k)
Proposition 3 (Produit d’une fonction scalaire et d’une fonction diff´erentiables) Soient λ:
U→Ret f:U→Fdiff´erentiables en a∈U(resp. sur U). Alors λf est diff´erentiable en a(resp. sur
U) et on a :
d(λf)a=f(a)dλa+λ(a)dfa
Proposition 4 (Compos´ee d’une application lin´eaire et d’une fonction diff´erentiable) Soient
trois e.v.n. E, F, et G et un ouvert Ude E. Soit f:U→Fdiff´erentiable en a∈U(resp. sur U). Soit
L:F→Glin´eaire continue. Alors L◦fest diff´erentiable en a(resp. sur U) et sa diff´erentielle en a
est :
d(L◦f)a=L◦dfa
Proposition 5 (Application au cas o`u l’e.v.n Fd’arriv´e est de dimension finie) Soient un ou-
vert Ud’un espace de Banach Eet un espace Fde dimension finie. On suppose l’espace Frapport´e `a
une base BF= (v1, . . . , vn). Pour une fonction f=f1v1+. . . +fnvn:U→F,il y a ´equivalence entre :
– la fonction f:U→Fest diff´erentiable en a∈U(resp. sur U)
– les composantes f1, . . . , fn:U→Rsont diff´erentiables en a∈U(resp. sur U)
Proposition 6 (Composition des fonctions diff´erentiables) Soient trois e.v.n. E, F, G et Uun
ouvert de E,Vun ouvert de F. Soit une fonction f:U→Fdiff´erentiable en a∈U(resp. sur U). Soit
une fonction g:V→Gdiff´erentiable en f(a)(resp. sur V). Si f(U)⊂V, alors g◦fest diff´erentiable
en a(resp. sur U)etona:
d(g◦f)a=dgf(a)◦dfa
Application 1 (Diff´erentielle de 1/λ)Soit λ:U→Rdiff´erentiable en a. Si λne s’annule pas et
si λest diff´erentiable en a, alors 1/λ est diff´erentiable en aet :
∀h∈E, d(1
λa) = −1 λ2(a)dλa
En effet il suffit d’appliquer le r´esultat pr´ec´edent avec les deux application f, g d´efinie par f:x∈U→
λ(x)∈Ret
g:x∈R∗→1/x ∈R
Deuxi`eme partie
Diff´erentiabilit´e en dimension finie
1 D´eriv´ees suivant un vecteur, d´eriv´ees partielles dans une base
Soient un point ade l’ouvert U, un vecteur non nul hde E, et une fonction f:U→F. Comme Uest
ouvert, il existe r > 0 tel que B(a, r)⊂U, et comme fest d´efinie sur U, donc sur B(a, r),alors t∈R→
φ(t) = f(a+th)∈Fest d´efinie pourkthk< r,donc sur un voisinage de 0 contenant ] −r/ khk, r/ khk[,
ce qui l´egitime la d´efinition suivante.
D´efinition 3 Soient Uun ouvert d’un e.v.n. Eet un e.v.n. F. On dit qu’une fonction f:U→Fa une
d´eriv´ee en a∈Usuivant un vecteur h∈Esi la fonction de la variable r´eelle t:φ(t) = f(a+th)∈F
est d´erivable en 0. On appelle alors d”´eriv´ee de fen asuivant le vecteur hle vecteur Dhf(a) = φ0(0)
tel que :
Dhf(a) = lim
t→0
f(a+th)−f(a)
t
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Expression de la d´eriv´ee suivant un vecteur dans une base F(Fde dimension finie)
Supposons l’espace vectoriel Fde dimension finie net rapport´e `a une base (v1, ..., vn).
Dans ce cas, si f=f1v1+... +fnvn, il y a ´equivalence entre :
– la fonction fadmet une d´eriv´ee en anU suivant un vecteur h
– les fonctions f1, ..., fnadmettent une d´eriv´ee en a∈Usuivant un vecteur het la d´eriv´ee de fen
asuivant ce vecteur hest ´egale `a :
Dhf(a) = Dhf1(a)v1+... +Dhfn(a)vn
En effet dans l’etude de la d´erivabilit´e des fonctions vectorielles d’un iintervalle Idans F, on a
montr´e qu’une telle fonction est d´erivable si et seulement si ses composantes le sont et on a ´etablit que
les composantes de sa d´eriv´ee sont les d´eriv´es des composantes. D’o`u le r´esultat par application en t= 0
`a la fonction d’une variable r´eelle t7→ f(a+th).
Proposition 7 (Une propri´et´e des fonctions diff´erentiables) Soient un ouvert Ud’un e.v.n. E
et un e.v.n. F.
Si une fonction f:U→Fest diff´erentiable en a∈U, alors elle admet une d´eriv´ee au point a
suivant tout vecteur h, et celle-ci est ´egale `a :
Dhf(a) = dfa(h)
On suppose d´esormais Ede dimension finie prapport´e `a une base BE= (e1, ..., ep). On introduit les
d´eriv´ees partielles de fdans cette base par la d´efinition suivante.
D´efinition 4 Soient un ouvert Ude E. On appelle j`eme d´eriv´ee partielle en a∈Ud’une fonction
f:U→Fla d´eriv´ee de fau point asuivant le vecteur ej, sous r´eserve d’existence de celle-ci, et on la
note :
Djf(a)ou ∂f
∂xj
(a) = lim
t→0
f(a+tej)−f(a)
t
Si f:U→Fa une j`eme d´eriv´ee partielle en tout point de U, on peut alors consid´er´e la fonction j`eme
d´eriv´ee partielle Djf:U→F.
Proposition 8 (Expression de la diff´erentielle `a l’aide des d´eriv´ees partielles) Soient un ou-
vert Ud’un e.v.n. Ede dimension pet un e.v.n. Fde dimension n.
Si f:U→Fest diff´erentiable en a∈U, elle a des d´eriv´ees partielles en adans toutes base
BE= (e1, . . . , ep)de E, qui sont ´egales `a Djf(a) = dfaejet on a :
∀h∈E, dfa(h) = h1D1f(a) + . . . +hpDpf(a)
On a une autre formule avec l´egalit´e : Dhf(a) = dfa(h)
D´emonstration. Si fest diff´erentiable en a∈U, elle a des d´eriv´ees partielles suivant tout vecteur
comme l’indique la proposition ”une propri´et´e des fonctions diff´erentiables”. On prend donc les vecteurs
de la base de Eet on obtient par lin´earit´e de dfa(h) avec h=h1e1+... +hpep:
dfa(h) =
p
X
j=1
hjDjf(a)
Remarque 3 – Une fonction peut avoir des d´eriv´ees partielles sans ˆetre diff´erentiable, par exemple
la fonction f(x, y) = xy
x2+y2
– Notation diff´erentielle : Pour une application f:U→Fdiff´erentiable en un point a∈U, on a
´etabli que :
∀h∈E, dfa(h) = h1D1f(a) + . . . +hpDpf(a)
Si on d´esigne par (dx1, ..., dxp)la base dual de BE= (e1, ..., ep)qui est constitu´ee des applications
associant au vecteur hses composantes dans la base BEalors :
∀h∈E, dfa(h) = D1f(a)dx1(h) + . . . +Dpf(a)dxp(h)
on en d´eduit donc avec l’´egalit´e pour tout les hde E:
∀h∈E, dfa=D1f(a)dx1+. . . +Dpf(a)dxp
Soit encore une autre notation :
dfa=∂f
∂x1
(a)dx1+... +∂f
∂xp
(a)dxp
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