Chapitre 15 Probabilités 1. Dénombrements (rappels de M.P.S.I.) Espaces probabilisés

Chapitre 15
Probabilités
1. Dénombrements (rappels de M.P.S.I.)
1.1. Cardinaux
1.2. Applications
1.3. Injections
1.4. Permutations de E
1.5. Parties d’un ensemble
1.6. Compléments
 Formules de Pascal, de Pascal généralisée, de Vandermonde.
2. Espaces probabilisés
2.1. Tribus
a) Rappel du vocabulaire de M.P.S.I.
b) Tribu sur un ensemble 
 Définitions : tribu, espace probabilisé, système complet d’événements
 Exemples.
Propriétés : Soit une tribu sur un ensemble .
contient l’événement certain et l’événement impossible .
autrement dit : et
est stable par réunion finie.
est stable par intersection finie ou dénombrable.
est stable par soustraction ensembliste.
 Démonstration de la stabilité par intersection
2.2. Probabilité
a) Rappel du vocabulaire de M.P.S.I.
b) Définition : probabilité, espace probabilisé
c) Détermination d’une probabilité lorsque  est fini (rappels M.P.S.I.)
d) Détermination d’une probabilité lorsque  est dénombrable

2.3. Propriétés élémentaires (revisite de celles vues en M.P.S.I.)
2.4. Propriétés des suites d’événements
Propriété de la continuité croissante
Soit
nn
A
une suite d’événements croissante pour l’inclusion
autrement dit :
n
1nn
AA
,
alors la suite
nn
PA
converge et
0
lim nn
nn
P A P A
.
 Démonstration
Propriété de la continuité décroissante
Soit
nn
A
une suite d’événements décroissante pour l’inclusion
autrement dit :
n
1nn
AA
,
alors la suite
nn
PA
converge et
0
lim nn
nn
P A P A
.
 Démonstration
Inégalité de Boole (sous-additivité)
Soit
nn
A
une suite d’événements, alors
00
nn
nn
P A P A
.
 Démonstration
2.5. Evénements négligeables, événements presque sûrs.
Propriété : Toute réunion finie ou dénombrable d’événements négligeables
est négligeable.
 Démonstration
3. Probabilités conditionnelles
3.1. Définition
 L’application
: 0,1
B
P
définit une probabilité sur
,
Démo
3.2. Inversion des conditionnements
Proposition Soient A et B deux événements non négligeables.
Alors
( ) ( )
() A
B
P A P B
PA PB
 Démonstration
3.3. Formule des probabilités composées
Théorème : formule des probabilités composées
Soit
1,
n
iin
A
telle que
1
1
0
n
i
i
PA
. Alors
1 1 2 1 2 1
1 2 3 ...
1
... n
n
i A A A A A A n
i
P A P A P A P A P A
.
 Démonstration

3.4. Formule des probabilités totales
Théorème : formule des probabilités totales
Soit
nn
A
un système complet d’événements non négligeables.
Soit
B
. Alors la série
n
P B A
converge et
00
() n
n n A
nn
P B P B A P A P B
 Démonstration .
3.5. Formule de Bayes
Théorème : formule de Bayes
Soit
nn
A
système complet d’événements non négligeables. Soit
B
.
Alors la série
n
P B A
converge et
0
() j
n
jA
Bj
nA
n
P A P B
PA
P A P B
 Démonstration
4. Evénements indépendants
4.1. Couple d’événements indépendants
a) Définition
b) Propriétés
Propriété 1 Si
0PA
,
et sont indépendants A A B P B P B
.
Propriété 2 Si
et sont indépendantsAB
, alors
et sont indépendantsAB
.
 Démonstration
4.2. Famille d’événements indépendants
a) Définition : famille dévénements deux à deux (resp. mutuelement) indépendants
b) Propriétés
Propriété 1 L’indépendance mutuelle entraîne l’indépendance deux à deux.
Propriété 2 Si
nn
A
est une suite d’événements mutuellement
indépendants, alors :
0 0 0
lim
n
n k n
n
n k n
P A P A P A
.
 Démonstration
Propriété 3 Si
iiI
A
est une famille d’événements mutuellement
indépendants, alors la famille
iiI
B
l’est aussi, où
iI
:
ou
i i i
B A A
.
4.3. Schéma de Bernoulli, épreuves répétées
 Epreuve de Bernoulli, schéma de Bernoulli, formule
k n k
n
pq
k
.