TS - Fonctions trigonométriques Cours FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES 1 Fonction cosinus Définition 1.1 : La fonction cosinus, notée cos, est la fonction : ( R −→ R x 7−→ cos x Propriété 1.1 : Périodicité Pour tout x ∈ R, on a cos (x + 2π) = cos x . On dit alors que la fonction cosinus est périodique, de période 2π. → − → − Conséquence graphique : La courbe représentative de la fonction cosinus, dans un repère O, i , j , − → est invariante par translation de vecteur 2π i . Propriété 1.2 : Parité Pour tout x ∈ R, on a cos (−x) = cos x . On dit alors que la fonction cosinus est paire. Conséquence graphique : La courbe représentative de la fonction cosinus, dans un repère orthogonal → − − → O, i , j , est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. Propriété 1.3 : Dérivée La fonction cosinus est dérivable sur R et cos′ (x) = − sin(x) . Propriété 1.4 : Sens de variation sur [−π ; π] et représentation graphique x −π 0 1 π 1 cos −1 −1 1 −6 −5 −4 −3 −2 −1 2 3 4 5 6 7 8 9 −1 2 Fonction sinus Définition 2.1 : La fonction sinus, notée sin, est la fonction : ( R −→ R x 7−→ sin x Propriété 2.1 : Périodicité Pour tout x ∈ R, on a sin (x + 2π) = sin x . On dit alors que la fonction sinus est périodique, de période 2π. → − → − Conséquence graphique : La courbe représentative de la fonction sinus, dans un repère O, i , j , − → est invariante par translation de vecteur 2π i . Propriété 2.2 : Parité Pour tout x ∈ R, on a sin (−x) = − sin x . On dit alors que la fonction sinus est impaire. Conséquence graphique : La courbe représentative de la fonction sinus, dans un repère orthogonal → − − → O, i , j , est symétrique par rapport à O l’origine du repère. 1 TS - Fonctions trigonométriques Cours Propriété 2.3 : Dérivée La fonction sinus est dérivable sur R et sin′ (x) = cos(x) . Propriété 2.4 : Sens de variation sur [−π ; π] et représentation graphique x sin − −π π 2 0 π 2 1 −1 1 π 0 1 −6 −5 −4 −3 −2 −1 2 3 4 5 6 7 8 9 −1 sin x =1. x→0 x Propriété 2.5 : lim Preuve : La fonction sinus est dérivable sur R donc en 0. f (x0 + h) − f (x0 ) = f ′ (x0 ). h→0 h On sait que si une fonction f est dérivable en un nombre x0 ∈ R, alors lim sin(0 + h) − sin(0) sin h = lim = sin′ (0) = cos(0) = 1. h→0 h→0 h h Donc lim 3 Équations trigonométriques Propriété 3.1 : Soient (x, a) ∈ R2 . x = a + 2kπ , k ∈ Z cos x = cos a ⇔ ou x = −a + 2kπ , k ∈ Z x = a + 2kπ , k ∈ Z sin x = sin a ⇔ ou x = π − a + 2kπ , k ∈ Z √ 3 1 2 , sin x = − et cos(2x) = . Exemple 3.1 : Résoudre les équations cos x = 2 2 2 4 √ Formules trigonométriques Propriété 4.1 : Formules d’addition Soient (a, b) ∈ R2 cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a sin(a − b) = sin a cos b − sin b cos a Propriété 4.2 : Formules de dupplication Soit a ∈ R cos(2a) = cos2 a − sin2 a = 2 cos2 a − 1 = 1 − cos2 a sin(2a) = 2 cos a sin a 2