FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES

TS - Fonctions trigonométriques Cours
FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES
1 Fonction cosinus
Définition 1.1 : La fonction cosinus, notée cos, est la fonction : (R−→ R
x7−→ cos x
Propriété 1.1 :Périodicité
Pour tout x∈R, on a cos (x+ 2π) = cos x.
On dit alors que la fonction cosinus est périodique, de période 2π.
Conséquence graphique : La courbe représentative de la fonction cosinus, dans un repère O, −→
i , −→ j,
est invariante par translation de vecteur 2π−→ i.
Propriété 1.2 :Parité
Pour tout x∈R, on a cos (−x) = cos x.
On dit alors que la fonction cosinus est paire.
Conséquence graphique : La courbe représentative de la fonction cosinus, dans un repère orthogonal
O, −→
i , −→ j, est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
Propriété 1.3 :Dérivée
La fonction cosinus est dérivable sur Ret cos′(x) = −sin(x) .
Propriété 1.4 :Sens de variation sur [−π;π]et représentation graphique
x
cos
−π0π
−1−1
11
−1−1
1
−1
123456789−1−2−3−4−5−6
2 Fonction sinus
Définition 2.1 : La fonction sinus, notée sin, est la fonction : (R−→ R
x7−→ sin x
Propriété 2.1 :Périodicité
Pour tout x∈R, on a sin (x+ 2π) = sin x.
On dit alors que la fonction sinus est périodique, de période 2π.
Conséquence graphique : La courbe représentative de la fonction sinus, dans un repère O, −→ i , −→ j,
est invariante par translation de vecteur 2π−→ i.
Propriété 2.2 :Parité
Pour tout x∈R, on a sin (−x) = −sin x.
On dit alors que la fonction sinus est impaire.
Conséquence graphique : La courbe représentative de la fonction sinus, dans un repère orthogonal
O, −→
i , −→ j, est symétrique par rapport à O l’origine du repère.
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TS - Fonctions trigonométriques Cours
Propriété 2.3 :Dérivée
La fonction sinus est dérivable sur Ret sin′(x) = cos(x).
Propriété 2.4 :Sens de variation sur [−π;π]et représentation graphique
x
sin
−π−π
2
π
2π
00
−1−1
11
00
1
−1
123456789−1−2−3−4−5−6
Propriété 2.5 : lim
x→0
sin x
x= 1 .
Preuve : La fonction sinus est dérivable sur Rdonc en 0.
On sait que si une fonction fest dérivable en un nombre x0∈R, alors lim
h→0
f(x0+h)−f(x0)
h=f′(x0).
Donc lim
h→0
sin h
h= lim
h→0
sin(0 + h)−sin(0)
h= sin′(0) = cos(0) = 1.
3 Équations trigonométriques
Propriété 3.1 : Soient (x, a)∈R2.
cos x= cos a⇔
x=a+ 2kπ , k ∈Z
ou
x=−a+ 2kπ , k ∈Z
sin x= sin a⇔
x=a+ 2kπ , k ∈Z
ou
x=π−a+ 2kπ , k ∈Z
Exemple 3.1 : Résoudre les équations cos x=√3
2, sin x=−1 2et cos(2x) = √2 2.
4 Formules trigonométriques
Propriété 4.1 :Formules d’addition
Soient (a, b)∈R2
cos(a+b) = cos acos b−sin asin bsin(a+b) = sin acos b+ sin bcos a
cos(a−b) = cos acos b+ sin asin bsin(a−b) = sin acos b−sin bcos a
Propriété 4.2 :Formules de dupplication
Soit a∈R
cos(2a) = cos2a−sin2a= 2 cos2a−1 = 1 −cos2a
sin(2a) = 2 cos asin a
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