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Boumediène
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Année Universitaire 2006-2007
Pr. DJELOUAH Hakim

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Année Universitaire 2006-2007
Pr. DJELOUAH Hakim

Table des matières
1 Introduction aux équations de Lagrange 5
1.1 EquationsdeLagrangepouruneparticule ..................... 5
1.1.1 EquationsdeLagrange............................ 5
1.1.2 Casdessystèmesconservatifs ........................ 7
1.1.3 Casdesforcesdefrottementdépendantdelavitesse ........... 8
1.1.4 Casd’uneforceextérieuredépendantdutemps .............. 9
1.2 Systèmeàplusieursdegrésdeliberté ........................ 10
2 Oscillations libres des systèmes à un degré de liberté 11
2.1 Oscillations non amorties............................... 11
2.1.1 Oscillateur linéaire .............................. 11
2.1.2 Energie Cinétique............................... 11
2.1.3 Energie potentielle .............................. 12
2.1.4 Equation différentielle ............................ 12
2.1.5 Résolution de l’équation différentielle de l’oscillateur harmonique simple . 13
2.2 Oscillationslibresdessystèmesamortisàundegrédeliberté........... 13
2.2.1 EquationdeLagrangepourlessystèmesdissipatifs ............ 14
2.2.2 Casparticulierdesoscillationsdefaibleamplitude............. 14
2.2.3 Résolution de l’équation différentielle .................... 15
2.2.4 Exemples ................................... 17
3 Oscillations forcées des systèmes à un degré de liberté 20
3.1 Equation différentielle ................................ 20
3.2 Système masse-ressort-amortisseur . . ....................... 21
3.3 Solution de l’équation différentielle ......................... 22
3.3.1 Cas particulier où A(t) = A0cos(Ωt) .................... 22
3.3.2 Casd’uneexcitationpériodique ....................... 26
3.4 Impédance mécanique ................................ 26
3.4.1 Définition ................................... 26
3.4.2 Impédancesmécaniques ........................... 27
3.4.3 Puissance ................................... 27
3.4.4 Applications .................................. 28
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TABLE DES MATIÈRES 2
4 Oscillations libres des systèmes à deux degrés de liberté 30
4.1 Introduction...................................... 30
4.2 Systèmesàdeuxdegrésdeliberté.......................... 31
4.2.1 Système masses-ressorts en translation . .................. 31
4.2.2 Cas particulier de deux oscillateurs identiques . . ............. 34
4.2.3 Pendules couplés ............................... 38
5 Oscillations forcées des systèmes à deux degrés de liberté 40
5.1 Equations de Lagrange................................ 40
5.2 Système masses-ressorts-amortisseurs . ....................... 40
5.2.1 Equations différentielles ........................... 41
5.2.2 Etudedurégimepermanentsinusoïdal ................... 41
5.3 Impédance....................................... 43
5.4 Application ...................................... 43
6 Généralités sur les phénomènes de propagation 45
6.1 Propagationàunedimension ............................ 45
6.1.1 Equationdepropagation........................... 45
6.1.2 Solutiondel’équationdepropagation.................... 45
6.1.3 Onde progressive sinusoïdale . . ....................... 48
6.1.4 Superposition de deux ondes progressives sinusoïdales . . . ........ 49
6.1.5 Vitesse de phase . . ............................. 51
6.1.6 Vitesse de groupe . . ............................. 52
6.1.7 Onde Vectorielle ............................... 54
6.2 Propagationentroisdimensions........................... 54
6.2.1 Equationdepropagation........................... 54
6.2.2 Ondeplaneprogressivesinusoïdale ..................... 54
7 Cordes vibrantes 57
7.1 Equation des ondes ................................. 57
7.2 Ondesprogressivesharmoniques .......................... 59
7.2.1 Définition ................................... 59
7.2.2 Force en un point............................... 59
7.2.3 Impédance................................... 59
7.3 Oscillations libres d’une corde de longueur finie.................. 60
7.4 Réflexion et transmission ............................... 62
7.4.1 Réflexion et transmission entre deux cordes semi-infinies ......... 62
7.4.2 Réflexionsuruneimpédancequelconque .................. 62
8 Ondesacoustiquesdanslesfluides 64
8.1 Introduction...................................... 64
8.2 Equationd’onde.................................... 64
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TABLE DES MATIÈRES 3
8.3 Vitesse du son . . . .................................. 67
8.4 Onde progressive sinusoïdale ............................. 68
8.4.1 Définition ................................... 68
8.4.2 Impédanceacoustique ............................ 69
8.4.3 Energie acoustique .............................. 69
8.5 Reflexion-Transmission ................................ 73
9 Propagation d’une onde électrique dans une ligne coaxiale 76
9.1 Introduction...................................... 76
9.2 Equation de propagation............................... 76
9.3 Solutiondel’équationdepropagation........................ 77
9.4 Onde Progressive sinusoïdale............................. 78
9.4.1 Définition ................................... 78
9.4.2 Impédanceenunpoint............................ 78
10 Eléments d’analyse vectorielle 79
10.1 Champ scalaire - Champ vectoriel . . . ....................... 79
10.2Gradientd’unchampscalaire ............................ 79
10.3Divergenced’unchampvectoriel........................... 79
10.4 Rotationnel d’un champ vectoriel . . . ....................... 80
10.5 Laplacien scalaire................................... 80
10.6 Laplacien vectoriel .................................. 80
10.7 Opérateur nabla .................................... 80
10.8 Théorème de Stokes.................................. 81
10.8.1Circulationd’unchampvectoriel ...................... 81
10.8.2Fluxd’unchampvectoriel .......................... 82
10.8.3 Théorème de Stockes............................. 82
10.8.4 Théorème de Gauss-Ostrogradski (ou théorème de la divergence) . . . . . 82
11 Les équations de Maxwell dans le vide 83
11.1 Le champ électromagnétique............................. 83
11.1.1Champélectromoteuretvecteurdensitédecourant ............ 83
11.1.2Lechampmagnétique ............................ 84
11.2 Le régime variable .................................. 85
11.2.1Lephénomènedepropagation ....................... 85
11.2.2Lephénomèned’induction.......................... 85
11.2.3Lephénomènedecapacité ......................... 85
11.3L’inductionélectromagnétique ........................... 86
11.3.1LoideFaraday-Lenz ............................ 86
11.3.2EquationdeMaxwell-Faraday........................ 86
11.4 Le théorème d’Ampère ................................ 87
11.4.1Equationdecontinuité............................ 87
11.4.2Lethéorèmed’Ampère............................ 89
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