L2 -- MAT231 -- Chapitre 3 -- Polynômes

Polynômes
Polynômes
Rappels
Définitions
Opérations et structures algébriques sur les polynômes
L2 – MAT231 – Chapitre 3 – Polynômes
Université Joseph Fourier – 2007-2008
Arithmétique des polynômes
Congruences
Idéaux – pgcd – ppcm (K corps commutatif)
MAT231
Polynômes irréductibles – Factorisation (K corps commutatif)
Fonctions polynômiales - Algorithme de Hörner
2 octobre 2007
Racines et factorisation, I (K corps commutatif)
Polynôme dérivé et formule de Taylor (K = R ou C)
Racines et factorisation, II (K = R ou C)
Polynômes complexes irréductibles
Polynômes réels irréductibles
Les notes sont disponibles sur
http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~pberard
1/46
2/46
Polynômes
Polynômes
Rappels
Rappels
Anneaux, Corps, Idéaux 1/2
Anneaux, Corps, Idéaux 2/2
Un anneau est un triplet (A, +, ×) vérifiant
I
(A, +) est un groupe commutatif (d’élément neutre 0A ),
I
la multiplication × est associative et admet un élément neutre
1A ,
I
la multiplication est distributive par rapport à l’addition.
On dit que l’anneau (A, +, ×) est commutatif si la multiplication
est commutative.
Un corps est un anneau (K , +, ×) non réduit à {0} et tel que tout
élément de K \ {0} soit inversible pour la multiplication. On dit
que le corps (K , +, ×) est commutatif si sa multiplication
commutative.
Soit (A, +, ×) un anneau commutatif. On appelle idéal de A une
partie I qui vérifie (I, +) est un sous-groupe de (A, +) et I est
stable par multiplication par les éléments de A.
On dit que l’anneau commutatif (A, +, ×) est intègre si a, b ∈ A et
a × b = 0 impliquent a = 0 ou b = 0.
3/46
4/46
Polynômes
Polynômes
Rappels
Rappels
Exemples
Notations
Exemples
I
Le triplet (Z, +, ×) est un anneau (commutatif) intègre. Ce
n’est pas un corps (ses seuls éléments inversibles pour la
multiplication sont 1 et −1).
I
Le triplet (Z4 , +, ×) est un anneau commutatif. Cet anneau
n’est pas intègre (2 × 2 = 0).
I
Les matrices carrées 2 × 2 avec l’addition et la multiplication
usuelles forment un anneau non commutatif qui admet des
diviseurs de zéros.
I
Les ensembles Q, R et C munis des opérations usuelles sont
des corps commutatifs.
I
Le sous-ensemble aZ de Z est un idéal.
Dans ce chapitre, A désignera un anneau commutatif (A, +, ·). On
notera 0 l’élément neutre de l’addition et 1 celui de la
multiplication dans A.
On désignera par (K, +, ·) un corps commutatif.
5/46
Polynômes
6/46
Polynômes
Définitions
Définitions
Polynômes : définitions 1/3
Polynômes : définitions 2/3
Notations
Définition
On appelle polynôme à coefficients dans A une suite P = (ai )i∈N
d’éléments de A telle que ai = 0 sauf pour un nombre fini d’indices
ou, de manière équivalente, nulle à partir d’un certain rang
c’est-à-dire, P = (a0 , a1 , . . . , an , 0, 0, . . .) pour un certain entier n.
L’élément ai s’appelle le coefficient d’ordre i du polynôme P.
7/46
I
On note 0 le polynôme (0, 0, . . .), dont tous coefficients sont
nuls.
I
On note 1 le polynôme (1, 0, 0, . . .), dont tous les coefficients
sont nuls, sauf celui d’ordre 0 qui vaut 1.
I
On note (en général) X le polynôme (0, 1, 0, 0, . . .), dont tous
les coefficients sont nuls, sauf celui d’ordre 1 qui vaut 1.
I
On note A[X ] l’ensemble des polynômes à coefficients dans A.
8/46
Polynômes
Polynômes
Définitions
Définitions
Opérations et structures algébriques sur les polynômes
Polynômes : définitions 3/3
Opérations sur les polynômes
Sur l’ensemble A[X ], on définit les opérations suivantes.
Définition
Soit P = (ai )i∈N ∈ A[X ] un polynôme à coefficients dans A. Si P
est non nul, on note d := max{i | ai 6= 0}. Si P est nul, on pose
par convention d := −∞. Le nombre d s’appelle le degré du
polynôme P et se note deg(P). Le coefficient d’ordre d, ad (non
nul par définition), s’appelle le coefficient dominant de P. On dit
qu’un polynôme est unitaire (ou normalisé) si son coefficient
dominant vaut 1.
I
Notation. On note An [X ] l’ensemble des polynômes de degré
inférieur ou égal à n, c’est à dire l’ensemble des polynômes dont les
coefficients d’ordre supérieur ou égal à (n + 1) sont nuls.
I
Addition dans A[X ]
(ai )i∈N + (bi )i∈N := (ai + bi )i∈N .
I
Multiplication dans A[X ]
X
(ai )i∈N × (bi )i∈N := (ci )i∈N avec ck =
ai bj .
i+j=k
Multiplication d’un élément de A[X ] par un scalaire de A :
λ · (ai )i∈N := (λai )i∈N .
9/46
Polynômes
10/46
Polynômes
Définitions
Définitions
Opérations et structures algébriques sur les polynômes
Opérations et structures algébriques sur les polynômes
Structure d’anneau – Structure d’espace vectoriel
Polynôme : écriture classique
Proposition
Proposition
Le triplet (A[X ], +, ×) est un anneau commutatif dont l’élément
neutre pour l’addition est le polynôme 0 et dont l’élément neutre
pour la multiplication est le polynôme 1.
Pour tout p ≥ 1, le polynôme X p := X × . . . × X (p facteurs) est
le polynôme dont tous les coefficients sont nuls, sauf celui d’ordre
p qui vaut 1. Le polynôme P := (a0 , a1 , . . . , an , 0, 0, . . .), dont les
coefficients d’ordre supérieur ou égal à (n + 1) sont nuls, peut
s’écrire sous la forme
P = a0 · 1 + a1 · X + · · · + an · X n
Proposition
Si K est un corps commutatif, par exemple R ou C, l’ensemble
K[X ] muni de l’addition (+) et de la multiplication par un scalaire
(·), est un espace vectoriel sur K.
et, plus simplement, suivant les puissances croissantes
P(X ) = a0 + a1 X + · · · + an X n ,
où on a identifié le scalaire a0 avec le polynôme (a0 , 0, 0, . . .).
11/46
Polynômes
On pose X 0 := 1. Alors, deg(X m ) = m pour tout m ∈ N.
12/46
Polynômes
Définitions
Définitions
Opérations et structures algébriques sur les polynômes
Opérations et structures algébriques sur les polynômes
Espace vectoriel des polynômes de degré au plus n
Propriétés du degré
Propriété. Soit K un corps commutatif. Alors, Kn [X ] est un
espace vectoriel sur K, de dimension (n + 1), dont une base est
C := {1, X , X 2 , . . . , X n } (on appelle cette base la base canonique
de Kn [X ]).
Proposition
Soient P, Q ∈ A[X ] deux polynômes non nuls.
Proposition
Soit K un corps commutatif et soit {P0 , P1 , . . . Pn } une famille de
polynômes telle que deg(Pj ) = j, pour 0 ≤ j ≤ n. Alors, cette
famille est une base de Kn [X ]. Plus généralement, toute famille
finie de polynômes de K[X ], de degrés deux à deux distincts, est
libre dans K[X ].
I
On a deg(P + Q) ≤ max(deg(P), deg(Q)) avec égalité si
deg(P) 6= deg(Q) ;
I
On a deg(PQ) ≤ deg(P) + deg(Q) , avec égalité sauf si le
produit des coefficients dominants est nul (on a donc égalité si
A est un anneau intègre, en particulier si c’est un corps).
Ces relations s’étendent au cas du polynôme nul de manière
évidente.
Remarque. Le degré de la somme de deux polynômes de même
degré n peut être strictement inférieur à n.
14/46
13/46
Polynômes
Polynômes
Définitions
Arithmétique des polynômes
Opérations et structures algébriques sur les polynômes
Intégrité
Division euclidienne
Théorème (Division euclidienne)
Soient A, B ∈ A[X ] deux polynômes, avec B non nul et de
coefficient dominant inversible dans A. Alors il existe un couple de
polynômes de A[X ] et un seul, (Q, R), vérifiant
Proposition
Si A est un anneau intègre (en particulier si A est un corps
commutatif K), alors l’anneau A[X ] est intègre.
I
Soient P, Q ∈ A[X ], avec A intègre. Si PQ = 0 alors P = 0
ou Q = 0.
I
Soient P, Q, R ∈ A[X ], avec A intègre. Si PR = QR, alors
P = Q.
A = BQ + R et deg(R) < deg(B).
Remarque. Le Théorème 3.1 s’applique en particulier si B est
unitaire (son coefficient dominant est 1) et, pour tout B non nul,
si A est un corps.
15/46
16/46
Polynômes
Polynômes
Arithmétique des polynômes
Arithmétique des polynômes
Définitions
Applications
Corollaire
Définition
Le polynôme Q (resp. R) s’appelle le quotient (resp. le reste) de la
division euclidienne de A par B.
Soit P(X ) := an X n + · · · + a0 un polynôme, et soit a ∈ A un
scalaire. On note α le scalaire an an + · · · + a0 . Alors le polynôme
(X − a) divise le polynôme P(X ) si et seulement si α = 0.
Remarque. Si B divise A et si A est non nul, on a
deg(B) ≤ deg(A).
Définition
On dit que le polynôme B (non nul) divise le polynôme A, ou
encore que le polynôme A est un multiple du polynôme B, s’il
existe un polynôme Q tel que A = BQ. On dit aussi que l’on peut
factoriser A par B.
Exercice
Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de
A(X ) := X 7 + 3X 2 + 2 par B(X ) := X 2 + X + 1.
Exercice
Sur K[X ], déterminer les couples (A, B) de polynômes tel que A
divise B et B divise A.
18/46
17/46
Polynômes
Polynômes
Arithmétique des polynômes
Arithmétique des polynômes
Congruences
Congruences
Congruences sur A[X ], 1/3
Congruences sur A[X ], 2/3
Théorème
Définition
Soit P ∈ A[X ], non nul et à coefficient dominant inversible. Soient
deux polynômes A, B ∈ A[X ]. On dit que A est congru à B modulo
P, et on écrit A ≡ B (mod P) si P divise A − B.
Étant donné P ∈ A[X ], non nul et à coefficient dominant
inversible, la relation A ≡ B (mod P) est une relation
d’équivalence dans A[X ]. De plus,
1. La relation ≡ (mod P) est compatible avec les opérations
sur A[X ] ; si A ≡ B (mod P) et A1 ≡ B1 (mod P), alors
1.1 A + A1 ≡ B + B1 (mod P),
1.2 AA1 ≡ BB1 (mod P) et, en particulier, An ≡ B n (mod P)
pour tout n ∈ N• ,
1.3 λA ≡ λB (mod P) pour tout λ ∈ A.
2. On a A ≡ B (mod P) si et seulement si A et B ont le même
reste dans la division euclidienne par P.
19/46
Polynômes
20/46
Polynômes
Arithmétique des polynômes
Arithmétique des polynômes
Congruences
Idéaux – pgcd – ppcm (K corps commutatif)
Congruences sur A[X ], 3/3
Caractérisation des idéaux (K corps commutatif)
Théorème et Définition
Soit I un idéal de K[X ], non réduit à {0}. Il existe un unique
polynôme P, de coefficient dominant égal à 1, tel que I soit égal à
(P), l’idéal engendré par P, défini par
Exercice
(P) := {A ∈ K[X ] | ∃ Q ∈ K[X ] tel que A = PQ}.
Déterminer les restes de la division euclidienne de
A(X ) := X 2007 + X 5 + X par B1 (X ) := X 2 + 1 et par
B2 (X ) := X 2 + X + 1.
Lemme
Soient A, B ∈ K[X ]. L’ensemble
I(A, B) := {P ∈ K[X ] | ∃ Q1 , Q2 ∈ K[X ] tels que P = Q1 A+Q2 B}
est un idéal de K[X ] (idéal engendré par A et B).
22/46
21/46
Polynômes
Polynômes
Arithmétique des polynômes
Arithmétique des polynômes
Idéaux – pgcd – ppcm (K corps commutatif)
Idéaux – pgcd – ppcm (K corps commutatif)
Algorithme d’Euclide
Théorème et Définition (Plus grand commun diviseur)
Soient A, B ∈ K[X ], non nuls.
Lemme (Algorithme d’Euclide)
1. Il existe un polynôme P et un seul, de coefficient dominant
égal à 1, tel que I(A, B) = (P). Il divise A et B et tout
diviseur commun à A et B divise P. Ce polynôme est appelé le
plus grand diviseur commun de A et B, et noté pgcd(A, B).
2. Le pgcd P de A et B est caractérisé par

P de coefficient dominant égal à 1 ;



On définit une suite de polynômes par les relations suivantes,
1. R0 := A et R1 := B et, pour k ≥ 1,
2. si Rk 6= 0, le polynôme Rk+1 est défini comme le reste de la
division euclidienne de Rk−1 par Rk ,
Rk−1 = Rk Qk + Rk+1 , deg(Rk+1 ) < deg(Rk ).
La suite d’entiers {deg(Rk )} est strictement décroissante. Il existe
un entier n ∈ N tel que Rn 6= 0 et Rn+1 = 0. On a
pgcd(A, B) = λRn , où λ est l’inverse du coefficient dominant de
Rn .
A = PA1 et B = PB1 avec A1 , B1 premiers entre eux



(c’est-à-dire pgcd(A, B) = 1).
23/46
24/46
Polynômes
Polynômes
Arithmétique des polynômes
Arithmétique des polynômes
Idéaux – pgcd – ppcm (K corps commutatif)
Idéaux – pgcd – ppcm (K corps commutatif)
Bézout – Gauss
Exercices
Théorème (Théorème de Bézout)
Exercice
Deux polynômes A, B sont premiers entre eux si et seulement s’il
existe deux polynômes U et V tels que AU + BV = 1.
(Ces résultats s’étendent au cas de n polynômes A1 , . . . , An ).
Déterminer le pgcd des polynômes A(X ) := X 3 + X 2 + 2 et
B(X ) := X 2 + 1. Déterminer un couple (U, V ) de polynômes tels
que AU + BV = pgcd(A, B). Même question pour
A(X ) := X 3 + 2X 2 + X + 2 et B(X ) := X 2 − X − 6.
Théorème (Théorème de Gauss)
Exercice
Soient A, B, C trois polynômes. On suppose que A est premier
avec B et que A divise le produit BC . Alors A divise C .
Soient a, b ∈ N. On pose d := pgcd(a, b). Déterminer le pgcd des
polynômes A(X ) := X a − 1 et B(X ) := X b − 1.
26/46
25/46
Polynômes
Polynômes
Arithmétique des polynômes
Polynômes irréductibles – Factorisation (K corps commutatif)
Idéaux – pgcd – ppcm (K corps commutatif)
Polynômes irréductibles 1/2 (K corps commutatif)
Plus petit commun multiple
Théorème et Définition
Définition
Soient A, B ∈ K [X ], non nuls. Il existe un unique polynôme
unitaire M vérifiant les deux conditions
1. A et B divisent M,
2. pour tout C ∈ K[X ], si A et B divisent C , alors M divise C .
Ce polynôme est appelé plus petit multiple commun ( ppcm) aux
polynômes A et B. Il est noté ppcm(A, B).
Un polynôme P de K[X ] est dit irréductible si deg(P) ≥ 1 et si P
ne peut pas se décomposer en produit de deux polynômes de degré
au moins 1 (càd P = AB ⇒ deg(A) = 0 ou deg(B) = 0).
Proposition
Les polynômes de degré 1 sont irréductibles.
On a la relation
AB = λ · pgcd(A, B) × ppcm(A, B)
Exercice
Montrer que le polynôme A(X ) := X 2 + 1 est décomposable sur C
mais irréductible sur R.
où λ ∈ K est le coefficient dominant de AB.
(Ces résultats s’étendent au cas de n polynômes A1 , . . . , An ).
28/46
27/46
Polynômes
Polynômes
Polynômes irréductibles – Factorisation (K corps commutatif)
Polynômes irréductibles – Factorisation (K corps commutatif)
Polynômes irréductibles 2/2 (K corps commutatif)
Décomposition en facteurs irréductibles (K corps
commutatif)
Proposition
Tout polynôme de degré supérieur ou égal à 1 possède au moins
un diviseur irréductible.
Proposition
Un polynôme irréductible est premier avec tous les polynômes
autres que ses multiples. Autrement dit, si P est un polynôme
irréductible et si A est un polynôme quelconque alors ou bien P
divise A ou bien P est premier avec A.
Exercice
Théorème
Tout polynôme P ∈ K[X ], de degré supérieur ou égal à 1 peut
s’écrire de manière unique (à l’ordre près des facteurs) sous la
forme
P = λAn11 . . . Ankk
où λ ∈ K• est le coefficient dominant de P, où les A1 , . . . , Ak sont
des polynômes irréductibles unitaires distincts et où
n1 , . . . , nk ∈ N• .
Soient P, Q, R ∈ K[X ]. Si P est irréductible et si P divise le
produit QR, alors P divise Q ou P divise R.
29/46
Polynômes
30/46
Polynômes
Fonctions polynômiales - Algorithme de Hörner
Fonctions polynômiales - Algorithme de Hörner
Fonction polynomiale – Racines
Polynôme vs Fonction polynomiale
Définition (Fonction polynomiale)
Proposition
Soit A unP
anneau et soit P ∈ A[X ] un polynôme,
P(X ) := di=0 ai X i . Au polynôme P on associe la fonction
P̃ : A → A définie par
Soit K = R ou C. Pour tout polynôme P ∈ K[X ], on a
P̃ : x 7→ P̃(x ) :=
d
X
P = 0 dans K[X ] ⇔ P̃ = 0 comme fonction de K dans K.
ai x i .
Attention ! Dans Z2 [X ], le polynôme X 2 + X est non nul, mais la
fonction polynomiale associée est nulle.
i=0
Remarque. On peut montrer que l’application P 7→ P̃, qui à un
polynôme de A[X ] associe sa fonction polynomiale dans F(A, A),
est un homomorphisme d’algèbres.
Définition (Racine d’un polynôme)
On dit que a ∈ A est un zéro ou une racine de P si P̃(a) = 0.
31/46
32/46
Polynômes
Polynômes
Fonctions polynômiales - Algorithme de Hörner
Fonctions polynômiales - Algorithme de Hörner
Évaluation des fonctions polynomiales
Algorithme de Hörner en maple
Algorithme de Hörner
Soit P(X ) := a0 + a1 X + · · · + an X n un polynôme à coefficients
dans A. L’évaluation littérale, P̃(a) = a0 + a1 a + . . . + an an , de la
fonction polynomiale P̃ au point a ∈ A conduit à faire O(n2 )
opérations. L’algorithme de Hörner permet de réduire le nombre
d’opérations à O(n). Il consiste à écrire
n :=5 : P :=array(0..5,[1,3,2,5,3,1]) : a :=Pi :
b :=P[n] : for i from 1 to n
do b :=b? a+P[n-i] od :
print(b) ;
Résultat :
((((π + 3) π + 5) π + 2) π + 3) π + 1
P̃(a) = · · · (an × a + an−1 ) × a + . . . × a + a0 .
33/46
Polynômes
34/46
Polynômes
Racines et factorisation, I (K corps commutatif)
Polynôme dérivé et formule de Taylor (K = R ou C)
Racines et factorisation, I (K corps commutatif)
Polynôme dérivé
Proposition et Définition
Soient P ∈ K[X ] et a ∈ A. Alors
Définition
1. P̃(a) = 0 si et seulement si le polynôme (X − a) divise le
polynôme P(X ).
Soit P(X ) :=
par
2. Soit k ≥ 1 un entier. Il existe un polynôme Q ∈ K[X ] tel que
Q̃(a) 6= 0 et P(X ) = (X − a)k Q(X ) si et seulement si
(X − a)k divise P(X ) et (X − a)k+1 ne divise pas P(X ). On
dit alors que a est racine de multiplicité (ou ordre) k du
polynôme P.
Exercice
Pd
i=0 ai X
i
∈ A[X ]. On définit un polynôme noté P 0
P 0 (X ) :=
d
X
i ai X i−1
i=1
et on appelle ce polynôme le polynôme dérivé du polynôme P.
Si deg(P) ≥ 1, alors deg(P 0 ) ≤ deg(P) − 1. On définit par
récurrence les dérivations
successives, P (1) := P 0 et
0
P (n+1) := P (n) .
Soit P un polynôme de R[X ] de degré impair. Montrer qu’il existe
a ∈ R tel que P(X ) soit divisible par (X − a). Que se passe-t-il si
le degré de P est pair ?
35/46
Polynômes
36/46
Polynômes
Polynôme dérivé et formule de Taylor (K = R ou C)
Polynôme dérivé et formule de Taylor (K = R ou C)
Polynôme dérivé, suite
Formule de Taylor (K = R ou C)
Théorème
Compléments
I
la Définition est purement algébrique. Quand K = R ou C, la
fonction de la variable réelle t 7→ Pe0 (t) est la dérivée de la
fonction de la variable réelle t 7→ P̃(t).
I
Dérivée d’une somme.
I
Dérivée d’un produit (formule de Leibniz).
On suppose que K = R ou C. Soit P ∈ K[X ] un polynôme de
degré n et soit a ∈ K un scalaire. Le polynôme P s’écrit sous la
forme
(X − a)n
X −a
+ · · · + P (n) (a)
1!
n!
(X −a)
(X −a)n dans la base Ca := 1, 1! , . . . , n!
de Kn [X ].
P(X ) := P(a) + P 0 (a)
37/46
Polynômes
38/46
Polynômes
Polynôme dérivé et formule de Taylor (K = R ou C)
Racines et factorisation, II (K = R ou C)
Application
Racines et factorisation, II (K = R ou C)
Proposition
Exercice
On suppose que K = R ou C. Soit P un polynôme de degré n.
Déterminer le reste de la division euclidienne de P par (X − a)k
n
−a
dans la base Ca := 1, X1!
, · · · , (X −a)
de Kn [X ]. Calculer le
n!
reste de la division euclidienne de P(X ) := X n + 1 par (X − 1)3 .
39/46
Soient P ∈ K[X ] et a ∈ K. Alors a est racine d’ordre k ≥ 1 de P si
et seulement si a est racine de P et a racine d’ordre (k − 1) de P 0 .
En conséquence, a est racine d’ordre k ≥ 1 de P si et seulement si
a est racine de P, P (1) , . . . , P (k−1) et a n’est pas racine de P (k)
(les P (j) désignent les polynômes dérivés successifs de P).
40/46
Polynômes
Polynômes
Racines et factorisation, II (K = R ou C)
Racines et factorisation, II (K = R ou C)
Polynômes complexes irréductibles
Racines et factorisation, II suite (K = R ou C)
Polynômes irréductibles dans C[X ]
Nous admettrons le théorème suivant.
Théorème
Si P ∈ K[X ] est un polynôme de degré d, alors P possède au plus
d racines dans K comptées avec leur multiplicité.
Théorème (Théorème de d’Alembert - Gauss)
Tout polynôme P, à coefficients complexes et de degré supérieur
ou égal à 1, possède au moins une racine complexe.
Corollaire
Si P ∈ K[X ] est un polynôme de degré inférieur ou égal à d et s’il
possède au moins (d + 1) racines distinctes dans K, alors P est nul.
Corollaire
Les seuls polynômes irréductibles de C[X ] sont les polynômes de
degré 1.
42/46
41/46
Polynômes
Polynômes
Racines et factorisation, II (K = R ou C)
Racines et factorisation, II (K = R ou C)
Polynômes complexes irréductibles
Polynômes réels irréductibles
Factorisation des polynômes dans C[X ]
Polynômes irréductibles dans R[X ]
Le Théorème de D’Alembert - Gauss est faux dans R[X ]. Le
polynôme P(X ) := X 2 + 1 ∈ R[X ] n’a pas de racine dans R.
Corollaire
Lemme
Tout polynôme P, à coefficients complexes, peut s’écrire de
manière unique (à une permutation près des facteurs) sous la forme
Soit P ∈ R[X ]. On peut considérer P comme un élément de C[X ].
Soit α ∈ C. Si α est racine de P alors ᾱ (nombre complexe
conjugué de α) est aussi racine de P.
P = λ(X − α1 )m1 . . . (X − αk )mk
P
avec λ ∈ C• , αj ∈ C, mj ∈ N• et kj=1 mj = deg(P).
Théorème
Dans R[X ], les polynômes irréductibles sont les polynômes de
degré 1 et les polynômes de degré 2 de la forme aX 2 + bX + c
avec a, b, c ∈ R, a 6= 0 et ∆ := b 2 − 4ac < 0.
44/46
43/46
Polynômes
Polynômes
Racines et factorisation, II (K = R ou C)
Racines et factorisation, II (K = R ou C)
Polynômes réels irréductibles
Polynômes réels irréductibles
Factorisation des polynômes dans R[X ]
Références
Monasse, Denis . — Mathématiques, Cours complet Prépa MP &
MP*. Vuibert 1998
Corollaire
Tout polynôme P, à coefficients réels, peut s’écrire de manière
unique (à une permutation près des facteurs) sous la forme
P = λ(X −α1 )m1 . . . (X −αk )mk (X 2 +b1 X +c1 )n1 . . . (X 2 +bq X +cq )nq
avec λ ∈ R• , P
αi , bi , ci ∈ R, mi , ni ∈ N• et
P
q
k
m
+
2
i
i=1
j=1 nj = deg(P).
Remarque. On peut obtenir une factorisation de P ∈ R[X ] en
commençant par factoriser dans C[X ], puis en regroupant les
facteurs correspondant à des racines complexes conjuguées. Ainsi,
par exemple, P = (X − 2)(X 2 + X + 1)2 dans R[X ] et
P = (X − 2)(X 2 + X + 1)2 = (X − 2)(X − j)2 (X − j̄)2 dans C[X ].
45/46
Piau, Didier – Ycart, Bernard . — Structures algébriques. Université
Joseph Fourier, Grenoble I. Mathématiques, Informatique et
Mathématiques appliquées. Licence Sciences et Technologies,
Première Année.
http ://ljk.imag.fr/membres/Bernard.Ycart/mel/
Piau, Didier – Ycart, Bernard . — Polynômes et fractions
rationnelles. Université Joseph Fourier, Grenoble I. Mathématiques,
Informatique et Mathématiques appliquées. Licence Sciences et
Technologies, Première Année.
http ://ljk.imag.fr/membres/Bernard.Ycart/mel/
Tauvel, Patrice . — Cours d’algèbre, Agrégation de mathématiques.
Dunod 1999
46/46