L2 -- MAT231 -- Chapitre 3 -- Polynômes

Polynômes
L2 – MAT231 – Chapitre 3 – Polynômes
Université Joseph Fourier – 2007-2008
MAT231
2 octobre 2007
Les notes sont disponibles sur
http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~pberard
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Polynômes
Rappels
Définitions
Opérations et structures algébriques sur les polynômes
Arithmétique des polynômes
Congruences
Idéaux – pgcd –ppcm (Kcorps commutatif)
Polynômes irréductibles – Factorisation (Kcorps commutatif)
Fonctions polynômiales - Algorithme de Hörner
Racines et factorisation, I (Kcorps commutatif)
Polynôme dérivé et formule de Taylor (K=Rou C)
Racines et factorisation, II (K=Rou C)
Polynômes complexes irréductibles
Polynômes réels irréductibles
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Polynômes
Rappels
Anneaux, Corps, Idéaux 1/2
Un anneau est un triplet (A,+,×)vérifiant
I(A,+) est un groupe commutatif (d’élément neutre 0A),
Ila multiplication ×est associative et admet un élément neutre
1A,
Ila multiplication est distributive par rapport à l’addition.
On dit que l’anneau (A,+,×)est commutatif si la multiplication
est commutative.
On dit que l’anneau commutatif (A,+,×)est intègre si a,b∈Aet
a×b=0 impliquent a=0 ou b=0.
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Polynômes
Rappels
Anneaux, Corps, Idéaux 2/2
Un corps est un anneau (K,+,×)non réduit à {0}et tel que tout
élément de K\ {0}soit inversible pour la multiplication. On dit
que le corps (K,+,×)est commutatif si sa multiplication
commutative.
Soit (A,+,×)un anneau commutatif. On appelle idéal de Aune
partie Iqui vérifie (I,+) est un sous-groupe de (A,+) et Iest
stable par multiplication par les éléments de A.
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Polynômes
Rappels
Exemples
Exemples
ILe triplet (Z,+,×)est un anneau (commutatif) intègre. Ce
n’est pas un corps (ses seuls éléments inversibles pour la
multiplication sont 1 et −1).
ILe triplet (Z4,+,×)est un anneau commutatif. Cet anneau
n’est pas intègre (2 ×2=0).
ILes matrices carrées 2 ×2 avec l’addition et la multiplication
usuelles forment un anneau non commutatif qui admet des
diviseurs de zéros.
ILes ensembles Q,Ret Cmunis des opérations usuelles sont
des corps commutatifs.
ILe sous-ensemble aZde Zest un idéal.
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Polynômes
Rappels
Notations
Dans ce chapitre, Adésignera un anneau commutatif (A,+,·). On
notera 0 l’élément neutre de l’addition et 1 celui de la
multiplication dans A.
On désignera par (K,+,·)un corps commutatif.
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Polynômes
Définitions
Polynômes : définitions 1/3
Définition
On appelle polynôme à coefficients dans Aune suite P = (ai)i∈N
d’éléments de Atelle que ai=0sauf pour un nombre fini d’indices
ou, de manière équivalente, nulle à partir d’un certain rang
c’est-à-dire, P = (a0,a1, . . . , an,0,0, . . .)pour un certain entier n.
L’élément ais’appelle le coefficient d’ordre i du polynôme P.
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Polynômes
Définitions
Polynômes : définitions 2/3
Notations
IOn note 0 le polynôme (0,0, . . .), dont tous coefficients sont
nuls.
IOn note 1 le polynôme (1,0,0, . . .), dont tous les coefficients
sont nuls, sauf celui d’ordre 0 qui vaut 1.
IOn note (en général) Xle polynôme (0,1,0,0, . . .), dont tous
les coefficients sont nuls, sauf celui d’ordre 1 qui vaut 1.
IOn note A[X]l’ensemble des polynômes à coefficients dans A.
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Polynômes
Définitions
Polynômes : définitions 3/3
Définition
Soit P = (ai)i∈N∈A[X]un polynôme à coefficients dans A. Si P
est non nul, on note d := max{i|ai6=0}. Si P est nul, on pose
par convention d := −∞. Le nombre d s’appelle le degré du
polynôme P et se note deg(P). Le coefficient d’ordre d, ad(non
nul par définition), s’appelle le coefficient dominant de P. On dit
qu’un polynôme est unitaire (ou normalisé) si son coefficient
dominant vaut 1.
Notation. On note An[X]l’ensemble des polynômes de degré
inférieur ou égal à n, c’est à dire l’ensemble des polynômes dont les
coefficients d’ordre supérieur ou égal à (n+1)sont nuls.
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Polynômes
Définitions
Opérations et structures algébriques sur les polynômes
Opérations sur les polynômes
Sur l’ensemble A[X], on définit les opérations suivantes.
IAddition dans A[X]
(ai)i∈N+ (bi)i∈N:= (ai+bi)i∈N.
IMultiplication dans A[X]
(ai)i∈N×(bi)i∈N:= (ci)i∈Navec ck=X
i+j=k
aibj.
IMultiplication d’un élément de A[X]par un scalaire de A:
λ·(ai)i∈N:= (λai)i∈N.
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Polynômes
Définitions
Opérations et structures algébriques sur les polynômes
Structure d’anneau – Structure d’espace vectoriel
Proposition
Le triplet (A[X],+,×)est un anneau commutatif dont l’élément
neutre pour l’addition est le polynôme 0et dont l’élément neutre
pour la multiplication est le polynôme 1.
Proposition
Si Kest un corps commutatif, par exemple Rou C, l’ensemble
K[X]muni de l’addition (+) et de la multiplication par un scalaire
(·), est un espace vectoriel sur K.
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Polynômes
Définitions
Opérations et structures algébriques sur les polynômes
Polynôme : écriture classique
Proposition
Pour tout p ≥1, le polynôme X p:= X×. . . ×X (p facteurs) est
le polynôme dont tous les coefficients sont nuls, sauf celui d’ordre
p qui vaut 1. Le polynôme P := (a0,a1, . . . , an,0,0, . . .), dont les
coefficients d’ordre supérieur ou égal à (n+1)sont nuls, peut
s’écrire sous la forme
P=a0·1+a1·X+· · · +an·Xn
et, plus simplement, suivant les puissances croissantes
P(X) = a0+a1X+· · · +anXn,
où on a identifié le scalaire a0avec le polynôme (a0,0,0, . . .).
On pose X0:= 1. Alors, deg(Xm) = mpour tout m∈N.12/46
Polynômes
Définitions
Opérations et structures algébriques sur les polynômes
Espace vectoriel des polynômes de degré au plus n
Propriété. Soit Kun corps commutatif. Alors, Kn[X]est un
espace vectoriel sur K, de dimension (n+1), dont une base est
C:= {1,X,X2, . . . , Xn}(on appelle cette base la base canonique
de Kn[X]).
Proposition
Soit Kun corps commutatif et soit {P0,P1, . . . Pn}une famille de
polynômes telle que deg(Pj) = j, pour 0≤j≤n. Alors, cette
famille est une base de Kn[X]. Plus généralement, toute famille
finie de polynômes de K[X], de degrés deux à deux distincts, est
libre dans K[X].
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Polynômes
Définitions
Opérations et structures algébriques sur les polynômes
Propriétés du degré
Proposition
Soient P,Q∈A[X]deux polynômes non nuls.
IOn a deg(P+Q)≤max(deg(P),deg(Q)) avec égalité si
deg(P)6=deg(Q);
IOn a deg(PQ)≤deg(P) + deg(Q), avec égalité sauf si le
produit des coefficients dominants est nul (on a donc égalité si
Aest un anneau intègre, en particulier si c’est un corps).
Ces relations s’étendent au cas du polynôme nul de manière
évidente.
Remarque. Le degré de la somme de deux polynômes de même
degré npeut être strictement inférieur à n.
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Polynômes
Définitions
Opérations et structures algébriques sur les polynômes
Intégrité
Proposition
Si Aest un anneau intègre (en particulier si Aest un corps
commutatif K), alors l’anneau A[X]est intègre.
ISoient P,Q∈A[X], avec Aintègre. Si PQ =0alors P =0
ou Q =0.
ISoient P,Q,R∈A[X], avec Aintègre. Si PR =QR, alors
P=Q.
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Polynômes
Arithmétique des polynômes
Division euclidienne
Théorème (Division euclidienne)
Soient A,B∈A[X]deux polynômes, avec B non nul et de
coefficient dominant inversible dans A. Alors il existe un couple de
polynômes de A[X]et un seul, (Q,R), vérifiant
A=BQ +R et deg(R)<deg(B).
Remarque. Le Théorème 3.1 s’applique en particulier si Best
unitaire (son coefficient dominant est 1) et, pour tout Bnon nul,
si Aest un corps.
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Polynômes
Arithmétique des polynômes
Définitions
Définition
Le polynôme Q (resp. R) s’appelle le quotient (resp. le reste) de la
division euclidienne de A par B.
Définition
On dit que le polynôme B (non nul) divise le polynôme A, ou
encore que le polynôme A est un multiple du polynôme B, s’il
existe un polynôme Q tel que A =BQ. On dit aussi que l’on peut
factoriser A par B.
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Polynômes
Arithmétique des polynômes
Applications
Corollaire
Soit P(X) := anXn+· · · +a0un polynôme, et soit a ∈Aun
scalaire. On note αle scalaire anan+· · · +a0. Alors le polynôme
(X−a)divise le polynôme P(X)si et seulement si α=0.
Remarque. Si Bdivise Aet si Aest non nul, on a
deg(B)≤deg(A).
Exercice
Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de
A(X):=X7+3X2+2par B(X):=X2+X+1.
Exercice
Sur K[X], déterminer les couples (A,B)de polynômes tel que A
divise B et B divise A.
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Polynômes
Arithmétique des polynômes
Congruences
Congruences sur A[X], 1/3
Définition
Soit P ∈A[X], non nul et à coefficient dominant inversible. Soient
deux polynômes A,B∈A[X]. On dit que A est congru à B modulo
P, et on écrit A ≡B(mod P)si P divise A −B.
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Polynômes
Arithmétique des polynômes
Congruences
Congruences sur A[X], 2/3
Théorème
Étant donné P ∈A[X], non nul et à coefficient dominant
inversible, la relation A ≡B(mod P)est une relation
d’équivalence dans A[X]. De plus,
1. La relation ≡(mod P)est compatible avec les opérations
sur A[X]; si A ≡B(mod P)et A1≡B1(mod P), alors
1.1 A+A1≡B+B1(mod P),
1.2 AA1≡BB1(mod P)et, en particulier, An≡Bn(mod P)
pour tout n ∈N•,
1.3 λA≡λB(mod P)pour tout λ∈A.
2. On a A ≡B(mod P)si et seulement si A et B ont le même
reste dans la division euclidienne par P.
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Polynômes
Arithmétique des polynômes
Congruences
Congruences sur A[X], 3/3
Exercice
Déterminer les restes de la division euclidienne de
A(X):=X2007 +X5+X par B1(X):=X2+1et par
B2(X):=X2+X+1.
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Polynômes
Arithmétique des polynômes
Idéaux – pgcd –ppcm (Kcorps commutatif)
Caractérisation des idéaux (Kcorps commutatif)
Théorème et Définition
Soit I un idéal de K[X], non réduit à {0}. Il existe un unique
polynôme P, de coefficient dominant égal à 1, tel que I soit égal à
(P), l’idéal engendré par P, défini par
(P):={A∈K[X]| ∃ Q∈K[X]tel que A =PQ}.
Lemme
Soient A,B∈K[X]. L’ensemble
I(A,B) := {P∈K[X]| ∃ Q1,Q2∈K[X]tels que P =Q1A+Q2B}
est un idéal de K[X](idéal engendré par A et B).
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Polynômes
Arithmétique des polynômes
Idéaux – pgcd –ppcm (Kcorps commutatif)
Théorème et Définition (Plus grand commun diviseur)
Soient A,B∈K[X], non nuls.
1. Il existe un polynôme P et un seul, de coefficient dominant
égal à 1, tel que I(A,B) = (P). Il divise A et B et tout
diviseur commun à A et B divise P. Ce polynôme est appelé le
plus grand diviseur commun de A et B, et noté pgcd(A,B).
2. Le pgcd P de A et B est caractérisé par
P de coefficient dominant égal à 1;
A=PA1et B =PB1avec A1,B1premiers entre eux
(c’est-à-dire pgcd(A,B) = 1).
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Polynômes
Arithmétique des polynômes
Idéaux – pgcd –ppcm (Kcorps commutatif)
Algorithme d’Euclide
Lemme (Algorithme d’Euclide)
On définit une suite de polynômes par les relations suivantes,
1. R0:= A et R1:= B et, pour k ≥1,
2. si Rk6=0, le polynôme Rk+1est défini comme le reste de la
division euclidienne de Rk−1par Rk,
Rk−1=RkQk+Rk+1,deg(Rk+1)<deg(Rk).
La suite d’entiers {deg(Rk)}est strictement décroissante. Il existe
un entier n ∈Ntel que Rn6=0et Rn+1=0. On a
pgcd(A,B) = λRn, où λest l’inverse du coefficient dominant de
Rn.
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Polynômes
Arithmétique des polynômes
Idéaux – pgcd –ppcm (Kcorps commutatif)
Bézout – Gauss
Théorème (Théorème de Bézout)
Deux polynômes A,B sont premiers entre eux si et seulement s’il
existe deux polynômes U et V tels que AU +BV =1.
(Ces résultats s’étendent au cas de npolynômes A1, . . . , An).
Théorème (Théorème de Gauss)
Soient A,B,C trois polynômes. On suppose que A est premier
avec B et que A divise le produit BC. Alors A divise C.
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Polynômes
Arithmétique des polynômes
Idéaux – pgcd –ppcm (Kcorps commutatif)
Exercices
Exercice
Déterminer le pgcd des polynômes A(X):=X3+X2+2et
B(X):=X2+1. Déterminer un couple (U,V)de polynômes tels
que AU +BV =pgcd(A,B). Même question pour
A(X):=X3+2X2+X+2et B(X):=X2−X−6.
Exercice
Soient a,b∈N. On pose d := pgcd(a,b). Déterminer le pgcd des
polynômes A(X) := Xa−1et B(X):=Xb−1.
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Polynômes
Arithmétique des polynômes
Idéaux – pgcd –ppcm (Kcorps commutatif)
Plus petit commun multiple
Théorème et Définition
Soient A,B∈K[X], non nuls. Il existe un unique polynôme
unitaire M vérifiant les deux conditions
1. A et B divisent M,
2. pour tout C ∈K[X], si A et B divisent C, alors M divise C.
Ce polynôme est appelé plus petit multiple commun (ppcm) aux
polynômes A et B. Il est noté ppcm(A,B).
On a la relation
AB =λ·pgcd(A,B)×ppcm(A,B)
où λ∈Kest le coefficient dominant de AB.
(Ces résultats s’étendent au cas de npolynômes A1, . . . , An).
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Polynômes
Polynômes irréductibles – Factorisation (Kcorps commutatif)
Polynômes irréductibles 1/2 (Kcorps commutatif)
Définition
Un polynôme P de K[X]est dit irréductible si deg(P)≥1et si P
ne peut pas se décomposer en produit de deux polynômes de degré
au moins 1(càd P =AB ⇒deg(A) = 0ou deg(B) = 0).
Proposition
Les polynômes de degré 1sont irréductibles.
Exercice
Montrer que le polynôme A(X) := X2+1est décomposable sur C
mais irréductible sur R.
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Polynômes
Polynômes irréductibles – Factorisation (Kcorps commutatif)
Polynômes irréductibles 2/2 (Kcorps commutatif)
Proposition
Tout polynôme de degré supérieur ou égal à 1possède au moins
un diviseur irréductible.
Proposition
Un polynôme irréductible est premier avec tous les polynômes
autres que ses multiples. Autrement dit, si P est un polynôme
irréductible et si A est un polynôme quelconque alors ou bien P
divise A ou bien P est premier avec A.
Exercice
Soient P,Q,R∈K[X]. Si P est irréductible et si P divise le
produit QR, alors P divise Q ou P divise R.
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Polynômes
Polynômes irréductibles – Factorisation (Kcorps commutatif)
Décomposition en facteurs irréductibles (Kcorps
commutatif)
Théorème
Tout polynôme P ∈K[X], de degré supérieur ou égal à 1peut
s’écrire de manière unique (à l’ordre près des facteurs) sous la
forme
P=λAn1
1. . . Ank k
où λ∈K•est le coefficient dominant de P, où les A1, . . . , Aksont
des polynômes irréductibles unitaires distincts et où
n1, . . . , nk∈N•.
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Polynômes
Fonctions polynômiales - Algorithme de Hörner
Fonction polynomiale – Racines
Définition (Fonction polynomiale)
Soit Aun anneau et soit P ∈A[X]un polynôme,
P(X):=Pd
i=0aiXi. Au polynôme P on associe la fonction
˜
P:A→Adéfinie par
˜
P:x7→ ˜ P(x) :=
d
X
i=0
aixi.
Définition (Racine d’un polynôme)
On dit que a ∈Aest un zéro ou une racine de P si ˜ P(a) = 0.
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Polynômes
Fonctions polynômiales - Algorithme de Hörner
Polynôme vs Fonction polynomiale
Proposition
Soit K=Rou C. Pour tout polynôme P ∈K[X], on a
P=0dans K[X]⇔˜ P=0comme fonction de Kdans K.
Attention ! Dans Z2[X], le polynôme X2+Xest non nul, mais la
fonction polynomiale associée est nulle.
Remarque. On peut montrer que l’application P7→ ˜ P, qui à un
polynôme de A[X]associe sa fonction polynomiale dans F(A,A),
est un homomorphisme d’algèbres.
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Polynômes
Fonctions polynômiales - Algorithme de Hörner
Évaluation des fonctions polynomiales
Algorithme de Hörner
Soit P(X) := a0+a1X+· · · +anXnun polynôme à coefficients
dans A. L’évaluation littérale,˜ P(a) = a0+a1a+. . . +anan, de la
fonction polynomiale ˜ Pau point a∈Aconduit à faire O(n2)
opérations. L’algorithme de Hörner permet de réduire le nombre
d’opérations à O(n). Il consiste à écrire
˜
P(a) = · · · (an×a+an−1)×a+. . . ×a+a0.
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Polynômes
Fonctions polynômiales - Algorithme de Hörner
Algorithme de Hörner en maple
n:=5 : P :=array(0..5,[1,3,2,5,3,1]) : a :=Pi :
b :=P[n] : for i from 1 to n
do b :=b?a+P[n-i] od :
print(b) ;
Résultat :
((((π+3)π+5)π+2)π+3)π+1
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Polynômes
Racines et factorisation, I (Kcorps commutatif)
Racines et factorisation, I (Kcorps commutatif)
Proposition et Définition
Soient P ∈K[X]et a ∈A. Alors
1. ˜ P(a) = 0si et seulement si le polynôme (X−a)divise le
polynôme P(X).
2. Soit k ≥1un entier. Il existe un polynôme Q ∈K[X]tel que
˜
Q(a)6=0et P(X) = (X−a)kQ(X)si et seulement si
(X−a)kdivise P(X)et (X−a)k+1ne divise pas P(X). On
dit alors que a est racine de multiplicité (ou ordre) k du
polynôme P.
Exercice
Soit P un polynôme de R[X]de degré impair. Montrer qu’il existe
a∈Rtel que P(X)soit divisible par (X−a). Que se passe-t-il si
le degré de P est pair ? 35/46
Polynômes
Polynôme dérivé et formule de Taylor (K=Rou C)
Polynôme dérivé
Définition
Soit P(X) := Pd
i=0aiXi∈A[X]. On définit un polynôme noté P0
par
P0(X) :=
d
X
i=1
i aiXi−1
et on appelle ce polynôme le polynôme dérivé du polynôme P.
Si deg(P)≥1, alors deg(P0)≤deg(P)−1. On définit par
récurrence les dérivations successives, P(1):= P0et
P(n+1):= P(n)0.
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Polynômes
Polynôme dérivé et formule de Taylor (K=Rou C)
Polynôme dérivé, suite
Compléments
Ila Définition est purement algébrique. Quand K=Rou C, la
fonction de la variable réelle t7→ e P0(t)est la dérivée de la
fonction de la variable réelle t7→ ˜ P(t).
IDérivée d’une somme.
IDérivée d’un produit (formule de Leibniz).
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Polynômes
Polynôme dérivé et formule de Taylor (K=Rou C)
Formule de Taylor (K=Rou C)
Théorème
On suppose que K=Rou C. Soit P ∈K[X]un polynôme de
degré n et soit a ∈Kun scalaire. Le polynôme P s’écrit sous la
forme
P(X):=P(a) + P0(a)X−a
1!+· · · +P(n)(a)(X−a)n n!
dans la base Ca:= 1,(X−a)
1!, . . . , (X−a)n n!de Kn[X].
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Polynômes
Polynôme dérivé et formule de Taylor (K=Rou C)
Application
Exercice
On suppose que K=Rou C. Soit P un polynôme de degré n.
Déterminer le reste de la division euclidienne de P par (X−a)k
dans la base Ca:= 1,X−a
1!,· · · ,(X−a)n n!de Kn[X]. Calculer le
reste de la division euclidienne de P(X):=Xn+1par (X−1)3.
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Polynômes
Racines et factorisation, II (K=Rou C)
Racines et factorisation, II (K=Rou C)
Proposition
Soient P ∈K[X]et a ∈K. Alors a est racine d’ordre k ≥1de P si
et seulement si a est racine de P et a racine d’ordre (k−1)de P0.
En conséquence, a est racine d’ordre k ≥1de P si et seulement si
a est racine de P,P(1), . . . , P(k−1)et a n’est pas racine de P(k)
(les P(j)désignent les polynômes dérivés successifs de P).
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