DS Arithmétique Correction 1) Diviseurs

DS Arithmétique
Correction
1) Diviseurs :
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a) Trouver tous les diviseurs des nombres suivants : 225 et 90
225= 1x225 ; 3x75 ; 5x 45 ; 9x25 ; 15x15
Les diviseurs de 225 sont 1; 3 ;5 ;9 ;15 ;25 ;45 ;75; et 225
90 = 1x90 ; 2x45 ; 3x30 ; 5x18 ; 6x15 ;9x10
Les diviseurs de 90 sont 1 ;2 ;3 ;5 ;6 ;9 ;10 ;15 ;18 ;30 ;45 et 90
b) Quels sont les diviseurs communs de 90 et 225 ?
Les diviseurs communs de 90 et 225 sont 1 ;3 ;5 ;9 ;15.
c) En déduire le PGCD de ces deux nombres :
Donc PGCD(225;90) = 45
2) Nombres premiers entre eux :
75 et 44 sont-ils premiers entre eux. Justifier
/3
44= 1x44 ; 2x22 et 4x11
Les diviseurs de 44 sont 1 ;2 ;4 ;11 ;22 et 44.
Le seul diviseur de 44 qui divise 75 est 1.
Donc 44 et 75 sont premiers entre eux
3) PGCD et Algorithme :
a) Déterminer le PGCD de 1 612 et 884 par l’algorithme de votre choix.
1612
884
728 : 156=4R(104)
b) Simplifier la fraction suivante pour la rendre irréductible : A =
a)
1612 : 884= 1R(728)
884 : 728=1R(156)
156 : 104=1R(52)
104 :52=2R(0)
Donc PGCD(1612;884) = 52
b) A =
1612 1612:52 31
=
=
884 884:52 17
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4) Problème :
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Un fleuriste dispose de 135 iris et 108 roses. Il veut en utilisant toutes ses fleurs,
réaliser des bouquets contenant tous le même nombre d’iris et le même nombre de
roses.
1. Quel nombre maximal de bouquets peut-il réaliser ?
2. Donner la composition de chacun d’eux.
1- 135 : 108=1R(27)
108 : 27=4R(0)
Il peut réaliser au maximum 27 bouquets
donc PGCD(135;108)=27
2- 135 : 27 = 5
et
108 : 27 = 4
Les bouquets seront composé de 5iris et 4 roses
5) Triangle rectangle ?
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Le triangle RST tel que RS= 12cm, RT=15cm et ST= 9cm ; est-il rectangle ? Justifier.
D’une part :
RT² = 15²
= 225
D’autre part : RS² + ST² = 12² + 9²
= 144 + 81
= 225
On remarque que : RT² = RS² + ST²
D’après la réciproque du théorème de Pythagore,
le triangle RST est rectangle enS.