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ARITHMETIQUE
1. NOMBRES PREMIERS ENTRE EUX
Si le PGCD de deux nombres est 1, on dit que ces deux nombres sont premiers entre
eux.
Exemple 1 : montrer que 128 et 247 sont premiers entre eux
247 = 1 × 128 + 119
128 = 1 × 119 + 9
119 = 13 × 9 + 2
9 = 4 × 2 + 1
2 = 2 × 1 + 0
Le dernier reste différent de 0 est 1 donc PGCD(247 ; 119) = 1 donc 247 et 119 sont
premiers entre eux.
Exemple 2 : Montrer que 328 et 1486 ne sont pas premiers entre eux.
Ici, il n’est inutile de calculer leur PGCD, car ces deux nombres sont pairs : leur PGCD ne peut
donc pas être 1.
2. FRACTIONS IRREDUCTIBLES
Pour rendre une fraction irréductible, il suffit de simplifier cette fraction par le PGCD du
numérateur et du dénominateur.
Exemple : simplifier la fraction
5138
2202
On calcule le PGCD de 2202 et 5138
5138 = 2 × 2202 + 734
2202 = 3 × 734 + 0
Le dernier reste différent de 0 est 734 donc PGCD(2202 ; 5138) = 734
7
3
7345138 7342202 5138
2202 

3. PGCD ET PROBLEMES
Exemple : Une fleuriste a reçu un lot de 411 roses blanches et 685 roses rouges. Elle souhaite faire
des bouquets identiques, c’est-à-dire avec la même répartition de roses rouges et de roses
blanches, en utilisant toutes les fleurs.
Quel nombre maximal de bouquets peut-elle réaliser ? Préciser leur composition.
La fleuriste veut utiliser toutes les fleurs et faire des bouquets identiques donc le nombre de
bouquets est un diviseur commun de 411 et 685.
Le nombre maximal de bouquets est donc le PGCD de 411 et 685.
Méthode des soustractions successives :
685 – 411 = 274
411 – 274 = 137
274 – 137 = 137
PGCD(411 ; 685) = 137
La fleuriste pourra faire 137 bouquets au maximum.
411  137 = 3
685  137 = 5
Exemple : Une fleuriste a reçu un lot de 411 roses blanches et 685 roses rouges. Elle souhaite faire
des bouquets identiques, c’est-à-dire avec la même répartition de roses rouges et de roses
blanches, en utilisant toutes les fleurs.
Quel nombre maximal de bouquets peut-elle réaliser ? Préciser leur composition.
La fleuriste veut utiliser toutes les fleurs et faire des bouquets identiques donc le nombre de
bouquets est un diviseur commun de 411 et 685.
Le nombre maximal de bouquets est donc le PGCD de 411 et 685.
Méthode des soustractions successives :
685 – 411 = 274
411 – 274 = 137
274 – 137 = 137
PGCD(411 ; 685) = 137
La fleuriste pourra faire 137 bouquets au maximum.
411  137 = 3
685  137 = 5
Chaque bouquet contiendra 3 roses blanches et 5 roses rouges.
Chaque bouquet contiendra 3 roses blanches et 5 roses rouges.