1BCPST2 08/09 Planche d`exercices 6 (Polynômes

1BCPST2 08/09 Planche d’exercices 6 (Polynˆomes)
Degr´e, coefficients, coefficient dominant, formule de Leibniz
Exercice 1
Soient les polynˆomes P1= (X+ 1) −(X−1), P2= (X+ 1)2−(X−1)2et
Pn= (X+ 1)n−(X−1)n. Calculer leurs degr´e et coefficient dominant respectifs.
Exercice 2
1. cd(P) d´esigne le coefficient dominant de P. M.q : ∀n∈N∗,∀(P1, P2, . . . , Pn)∈
K[X]n,deg n
Y
i=1
Pi!=
n
X
i=1
deg(Pi) et cd n
Y
i=1
Pi!=
n
Y
i=1
cd(Pi)
2. Calculer le degr´e et le coefficient dominant du polynˆome P=
n
Y
k=1
(2X+ 1)k.
Exercice 3
On d´efinit la suite (Pn)n∈Npar : 
P0= 1
P1=−X+ 2
∀n∈N∗, Pn+1 = 2(2n+ 1)Pn+X2Pn−1
1. Montrer que : ∀n∈N, Pn∈Z[X].
2. D´eterminer le degr´e et le coefficient dominant de Pnen fonction de n.
3. Etablir : ∀n∈N, Pn(0) = (2n)!
n!
Exercice 4
On d´efinit la suite de polynˆomes (Pn)n∈Npar : 
P0= 1
P1=X
∀n≥2, Pn+Pn−2= 2XPn−1
a. Calculer P2et P3. D´eterminer le degr´e de Pn.
b. D´eterminer la parit´e de Pn. Calculer Pn(1), puis Pn(−1).
Exercice 5
Montrer par r´ecurrence sur n≥1 qu’il existe un polynˆome Pnde degr´e n+ 1 tel que
tan(n)x=Pn(tan x) pour tout x de ] −π
2,π 2[. Pr´eciser en particulier la relation entre
Pnet Pn+1, et donner le coefficient dominant de Pn.
Exercice 6
Soit la fonction fd´efinie par : f(t) = 1
1 + t2
a. Montrer que pour tout nde N, il existe un polynˆome Pnde R[X] tel que :
f(n)(t) = Pn(t)
1 + t2n+1
et donner une relation liant Pn+1,Pnet P0
n.
b. Donner le degr´e ainsi que le coefficient dominant de Pn.
c. En d´erivant n+ 1 fois l’´egalit´e (1 + t2)f(t) = 1, trouver, pour n≥1 une relation liant
les polynˆomes Pn,Pn−1et Pn+1.
Exercice 7
Soient n1et n2deux ´el´ements de N∗et Pet Qles polynˆomes suivants :
P= (X+ 1)n1et Q = (X + 1)n2
Pour tout entier naturel rtel que 0 ≤r≤n1+n2, calculer de deux mani`eres diff´erentes
le coefficient de Xrdu polynˆome P Q et en d´eduire X
p+q=rn1
pn2 q.
Exercice 8
On consid`ere le polynˆome P=
n
X
k=0
(X+i)n−k(X−i)k.
Pour tout entier naturel ptel que 0 ≤p≤n, calculer le coefficient de Xp.
(Transformer l’expression de Pen utilisant une identit´e remarquable)
Exercice 9
D´eterminer tous les polynˆomes Ptels que (P(X))2=P(X2).
(On pourra ´ecrire P=aXn+R, avec deg(R) <n et a6= 0)
Exercice 10
Soit n∈N∗. Calculer les coefficients du polynˆome (1 + X+X2+· · · +Xn)2.
Exercice 11
Soit n∈N∗. En identifiant les coefficients des termes de degr´e 2ndes polynˆomes
(1 + X)2n(1 −X)2net (1 −X2)2n, montrer que P2n
k=0(−1)k2n
k2= (−1)n2n n
Exercice 12
Soit n∈N∗. D´eterminer le degr´e, le coefficient dominant et le terme constant du po-
lynˆome (X2+ 1)n−2X2n+ (X2−1)n.
Formule de Taylor, racines, multiplicit´e, divisibilit´e, factorisation
Exercice 13
1. Montrer que ∀n∈N, X3+X2+X+ 1 divise X2n+3 +X2n+1 +X2+ 1. On
pourra remarquer que X4−1=(X−1)(X3+X2+X+ 1) pour d´eterminer les
racines de X3+X2+X+ 1.
1

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2. On pose X2n+3 +X2n+1 +X2+ 1 = (X3+X2+X+ 1)Qn. Calculer Q0, Q1, Q2,
puis conjecturer la forme g´en´erale de Qnet d´emontrer la factorisation pr´ec´edente
avec la forme trouv´ee, par r´ecurrence ou `a l’aide d’une somme t´elescopique.
Exercice 14
D´emontrer que ∀a∈K,∀n∈N∗,∀P∈K[X], X −adivise Xn−anet X−adivise
P−P(a).
Exercice 15
D´emontrer que pour tout polynˆome P, le polynˆome P−Xdivise le polynˆome
P(P(X)) −P. On pourra raisonner sur les points fixes de P, et plus pr´ecis´ement `a
l’aide des polynˆomes (X−α)ω(α)o`u αest une racine de P−Xd’ordre de multiplicit´e
ω(α). On pourra aussi se servir de l’exercice pr´ec´edent.
Exercice 16
D´eterminer les polynˆomes Pde degr´e 2no`u n∈Ntels que 2nP −(X−a)P0−bP 00 = 0
o`u a, b ∈R. On pourra utiliser la formule de Taylor.
Exercice 17
D´emontrer que ∀n∈N∗,(Xn−1)2=Qn
k=1 X2−2 cos 2kπ
n+ 1
Exercice 18
Soit A∈R[X], A 6= 0. D´eterminer l’ensemble des polynˆomes P∈R[X] tels que
P A0=P0A. On pourra penser `a la d´eriv´ee d’un quotient.
Exercice 19
Soient P∈R[X], n ∈N∗et a∈R. On suppose que P(a)>0 et ∀k∈[[1, n]], P (k)(a)>0.
Montrer que Pn’a pas de racine dans [a, +∞[.
Exercice 20
D´eterminer un polynˆome Pde C[X] de degr´e 3 tel que :
P(1) = P0(1) = 1 et P00(1) = P(3)(1) = 12
Exercice 21
Montrer que pour tous entiers positifs n,met p, le polynˆome X3n+2 +X3m+1 +X3p
est divisible par le polynˆome X2+X+ 1.
Exercice 22
Soit n∈N∗. Montrer que le polynˆome nXn+2 −(n+2)Xn+1 +(n+ 2)X−nest divisible
par (X−1)3.
Exercice 23
Factoriser les polynˆomes suivants : a. X4−X2+ 1 dans R[X], puis dans C[X] ; et in-
versement d’abord dans C[X], puis dans R[X].
b. Mˆeme chose pour X8+X4+ 1
c. X4+ 1 dans R[X].
d. X6−1 dans R[X].
e. X6−3X2−2 dans R[X].
f. X4+ 3X3−14X2+ 22X−12 dans C[X] sachant que 1 + iest racine.
g. Xn−1 dans C[X], puis dans R[X] (suivant la parit´e de n).
h. 1 +
n
X
k=1
X2kdans C[X], puis dans R[X].
i. (X2+ 1)2+ (X2−X−1)2dans C[X] et dans R[X].
j. X12 −1 dans C[X] et dans R[X].
Exercice 24
Soit n∈N∗et Pn= 1 + X+1
2!X(X+ 1) + · · · +1 n!X(X+ 1) . . . (X+n−1).
a. Raisonner par r´ecurrence afin de factoriser Pn.
(On factorisera P1,P2,P3, . . . , jusqu’`a deviner la relation de r´ecurrence)
b. En d´eduire la factorisation de : Qn= 1 −X+1
2!X(X−1) + · · · +(−1)n n!X(X−
1) . . . (X−n+ 1)
Exercice 25
Soit pour n≥2 le polynˆome P= (X+ 1)n−1.
a. D´eterminer toutes les racines de Pdans Cet en d´eduire la factorisation de Pdans
C[X].
b. On note Qle polynˆome de C[X] tel que P=X Q.
`
A l’aide de deux expressions diff´erentes de Q, calculer deux expressions de Q(0), puis
en d´eduire la valeur du r´eel Ad´efini par : A=
n−1
Y
k=1
sin kπ
n
Somme et produit de racines : cas g´en´eral
Exercice 26
Soit P∈K[X]. On suppose que Pest de degr´e n. On note (ak)0≤k≤nses coefficients et
(zi)1≤i≤nses nracines dans C. On a donc : P=
n
X
k=0
akXk=an
n
Y
i=1
(X−zi)
Calculer
n
Y
i=1
ziet
n
X
i=1
zien fonction des coefficients (ak)0≤k≤nde P.
2