1BCPST2 08/09 Planche d’exercices 6 (Polynˆomes)
2. On pose X2n+3 +X2n+1 +X2+ 1 = (X3+X2+X+ 1)Qn. Calculer Q0, Q1, Q2,
puis conjecturer la forme g´en´erale de Qnet d´emontrer la factorisation pr´ec´edente
avec la forme trouv´ee, par r´ecurrence ou `a l’aide d’une somme t´elescopique.
Exercice 14
D´emontrer que ∀a∈K,∀n∈N∗,∀P∈K[X], X −adivise Xn−anet X−adivise
P−P(a).
Exercice 15
D´emontrer que pour tout polynˆome P, le polynˆome P−Xdivise le polynˆome
P(P(X)) −P. On pourra raisonner sur les points fixes de P, et plus pr´ecis´ement `a
l’aide des polynˆomes (X−α)ω(α)o`u αest une racine de P−Xd’ordre de multiplicit´e
ω(α). On pourra aussi se servir de l’exercice pr´ec´edent.
Exercice 16
D´eterminer les polynˆomes Pde degr´e 2no`u n∈Ntels que 2nP −(X−a)P0−bP 00 = 0
o`u a, b ∈R. On pourra utiliser la formule de Taylor.
Exercice 17
D´emontrer que ∀n∈N∗,(Xn−1)2=Qn
k=1 X2−2 cos 2kπ
n+ 1
Exercice 18
Soit A∈R[X], A 6= 0. D´eterminer l’ensemble des polynˆomes P∈R[X] tels que
P A0=P0A. On pourra penser `a la d´eriv´ee d’un quotient.
Exercice 19
Soient P∈R[X], n ∈N∗et a∈R. On suppose que P(a)>0 et ∀k∈[[1, n]], P (k)(a)>0.
Montrer que Pn’a pas de racine dans [a, +∞[.
Exercice 20
D´eterminer un polynˆome Pde C[X] de degr´e 3 tel que :
P(1) = P0(1) = 1 et P00(1) = P(3)(1) = 12
Exercice 21
Montrer que pour tous entiers positifs n,met p, le polynˆome X3n+2 +X3m+1 +X3p
est divisible par le polynˆome X2+X+ 1.
Exercice 22
Soit n∈N∗. Montrer que le polynˆome nXn+2 −(n+2)Xn+1 +(n+ 2)X−nest divisible
par (X−1)3.
Exercice 23
Factoriser les polynˆomes suivants : a. X4−X2+ 1 dans R[X], puis dans C[X] ; et in-
versement d’abord dans C[X], puis dans R[X].
b. Mˆeme chose pour X8+X4+ 1
c. X4+ 1 dans R[X].
d. X6−1 dans R[X].
e. X6−3X2−2 dans R[X].
f. X4+ 3X3−14X2+ 22X−12 dans C[X] sachant que 1 + iest racine.
g. Xn−1 dans C[X], puis dans R[X] (suivant la parit´e de n).
h. 1 +
n
X
k=1
X2kdans C[X], puis dans R[X].
i. (X2+ 1)2+ (X2−X−1)2dans C[X] et dans R[X].
j. X12 −1 dans C[X] et dans R[X].
Exercice 24
Soit n∈N∗et Pn= 1 + X+1
2!X(X+ 1) + · · · +1
n!X(X+ 1) . . . (X+n−1).
a. Raisonner par r´ecurrence afin de factoriser Pn.
(On factorisera P1,P2,P3, . . . , jusqu’`a deviner la relation de r´ecurrence)
b. En d´eduire la factorisation de : Qn= 1 −X+1
2!X(X−1) + · · · +(−1)n
n!X(X−
1) . . . (X−n+ 1)
Exercice 25
Soit pour n≥2 le polynˆome P= (X+ 1)n−1.
a. D´eterminer toutes les racines de Pdans Cet en d´eduire la factorisation de Pdans
C[X].
b. On note Qle polynˆome de C[X] tel que P=X Q.
`
A l’aide de deux expressions diff´erentes de Q, calculer deux expressions de Q(0), puis
en d´eduire la valeur du r´eel Ad´efini par : A=
n−1
Y
k=1
sin kπ
n
Somme et produit de racines : cas g´en´eral
Exercice 26
Soit P∈K[X]. On suppose que Pest de degr´e n. On note (ak)0≤k≤nses coefficients et
(zi)1≤i≤nses nracines dans C. On a donc : P=
n
X
k=0
akXk=an
n
Y
i=1
(X−zi)
Calculer
n
Y
i=1
ziet
n
X
i=1
zien fonction des coefficients (ak)0≤k≤nde P.
2