EI Tours et Pas-de-Calais 1993 Analyse page 1 ANALYSE On

EI Tours et Pas-de-Calais 1993 Analyse page 1
ANALYSE
On d´esigne par Pl’espace vectoriel des polynˆomes `a coefficients r´eels d’une variable r´eelle x. On
introduit les sous-espaces vectoriels Pn(n∈N) de Pform´es des polynˆomes de degr´e au plus ´egal n.
Rd´esigne le corps des nombres r´eels. On rappelle que le degr´e du polynˆome nul est −∞.
C0d´esigne l’ensemble des fonctions r´eelles continues sur [0,1]. On d´efinit une application ϕde
C0×C0vers Rpar :
∀f∈C0,∀g∈C0, ϕ(f, g) = Z1
0
f(x)g(x)ω(x)dx
o`u ωd´esigne une fonction continue sur [0,1] avec ∀x∈[0,1] , ω(x)>0.
I- 1) Montrer que ϕest un produit scalaire r´eel sur C0.
Quelle est la norme induite par ϕ?
Soit fune fonction de C0. Le but de cette partie I est de construire le polynˆome P∗de Pn
v´erifiant la propri´et´e de minimisation suivante :
(A)∀Q∈ Pn,Z1
0
(P∗(x)−f(x))2ω(x)dx≤Z1
0
(Q(x)−f(x))2ω(x)dx
I- 2) Re´ecrire (A) en utilisant la d´efinition de ϕ.
I- 3) Montrer que (A) est ´equivalente `a (B) :
(B)∀R∈ Pn, ϕ (P∗−f, R) = 0.
I- 4) Montrer que si P∗existe alors il est unique.
I- 5) Soit P∗(x) =
n
P
i=0
aixil’expression de P∗dans la base (1, X, . . ., Xn) de Pn.
Montrer que les coefficients a0, . . ., ansatisfont le syst`eme lin´eaire suivant :
(S)(n
P
j=0
ajcj+k=dkpour k= 0, . . ., n)
avec ci=Z1
0
xiω(x)dx et dk=Z1
0
xkf(x)ω(x)dx.
D´eduire de I-3) et I-4) que P∗existe.
I- 6) Dans le cas particulier o`u ω(x) = 1, ´ecrire la matrice Hn+1 du syst`eme (S).
R´esoudre (S) pour n= 2 et f(x) = ex.
II. Polynˆomes orthogonaux
Le polynˆome Pide degr´e iest dit orthogonal sur [0,1] par rapport `a ω(x) continue >0, ∀x∈[0,1]
si et seulement si :
∀j= 0, . . ., i −1,Z1
0
Pi(x)xjω(x)dx = 0 avec Pi(x) = xi+. . .
II- 1) Montrer que Piexiste pour tout i∈N.
(On pourra faire une r´ecurrence sur i).
II- 2) Montrer que toutes les racines de Pisont simples et appartiennent `a [0,1].

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II- 3) Montrer que Pi,Pi+1 et Pi−1sont li´es par la relation de r´ecurrence suivante :
(R)Pi+1(x) = (x+Bi+1)Pi(x)−Ci+1Pi−1(x)
o`u Bi+1 et Ci+1 sont des r´eels.
II- 4) Exprimer Bi+1 et Ci+1 `a l’aide de γi=Z1
0
P2
i(x)ω(x)dx,δi=Z1
0
xP 2
i(x)ω(x)dx.
Montrer que Ci+1 est positif.
II- 5) D´eduire de la relation (R) que les polynˆomes Piet Pi+1 n’ont pas de racine commune.
II- 6) Expression de P∗(voir I) dans la base (P0, . . ., Pn).
Montrer que P∗=
n
P
i=0
αiPi(x) avec αi=γ−1
iZ1
0
f(x)Pi(x)ω(x)dx.
II- 7) Montrer que
∞
P
i=0
α2
iγi≤ϕ(f, f ).
Que peut-on dire de la suite ¡√γiαi¢i∈N?
II- 8) Si ω= 1 sur [0,1], trouver P0,P1,P2puis trouver le polynˆome P∗pour n= 2 et f(x) = ex.
III. Approximants de Pad´e.
On consid`ere la fonction suivante :
g(t) = Z1
0
ω(x)
1−xt dx,ωcontinue, ω(x)>0, ∀x∈[0,1].
III- 1) Montrer que gest holomorphe dans C\[1,+∞[.
III- 2) ´ Ecrire le d´eveloppement en s´erie de Taylor de gen t= 0.
Quel est son rayon de convergence ?
III- 3) On veut maintenant construire une fraction rationnelle interpolant gen t= 0 `a l’ordre
maximal, c’est-`a-dire :
P(t)
Q(t)−g(t) = O¡tp+q+1¢,P∈ Pp,Q∈ Pq.
Si q= 0, que repr´esente P(t)
Q(t)?
On suppose d´esormais que q=net p=n−1.
III- 4) Montrer que le polynˆome ˜ Qd´efini par ˜ Q(t) = tnQ(t−1) satisfait :
Z1
0
˜
Q(x)xkω(x)dx = 0, k= 0, . . ., n −1.
En d´eduire que ˜ Qest le polynˆome orthogonal de degr´e npar rapport `a ωsur [0,1].
III- 5) O`u sont situ´es les pˆoles de la fraction rationnelle P(t)
Q(t)si q=net p=n−1 ?