1BCPST2 08/09 Planche d`exercices 6 (Polynômes
publicité
1BCPST2 08/09 Planche d’exercices 6 (Polynômes) et donner une relation liant Pn+1 , Pn et Pn0 . b. Donner le degré ainsi que le coefficient dominant de Pn . c. En dérivant n + 1 fois l’égalité (1 + t2 )f (t) = 1, trouver, pour n ≥ 1 une relation liant les polynômes Pn , Pn−1 et Pn+1 . Degré, coefficients, coefficient dominant, formule de Leibniz Exercice 1 Soient les polynômes P1 = (X + 1) − (X − 1), P2 = (X + 1)2 − (X − 1)2 et Pn = (X + 1)n − (X − 1)n . Calculer leurs degré et coefficient dominant respectifs. Exercice 7 Soient n1 et n2 deux éléments de N∗ et P et Q les polynômes suivants : Exercice 2 1. cd(P ) désigne le coefficient dominant de P . M.q : ∀ n ∈ N∗ , ∀(P1 , P2 , . . . , Pn ) ∈ P = (X + 1)n1 et Q = (X + 1)n2 ! ! n n n n Y X Y Y Pour tout entier naturel r tel que 0 ≤ r ≤ n1 + n2 , calculerde deux manières différentes Pi = deg(Pi ) et cd Pi = cd(Pi ) K[X]n , deg X n1 n2 i=1 i=1 i=1 i=1 r le coefficient de X du polynôme P Q et en déduire . p q n Y p+q=r (2X + 1)k . 2. Calculer le degré et le coefficient dominant du polynôme P = k=1 n Exercice 8 X (X + i)n−k (X − i)k . On considère le polynôme P = Exercice 3 P0 = 1 k=0 P1 = −X + 2 On définit la suite (Pn )n∈N par : Pour tout entier naturel p tel que 0 ≤ p ≤ n, calculer le coefficient de X p . ∀ n ∈ N∗ , Pn+1 = 2(2n + 1)Pn + X 2 Pn−1 (Transformer l’expression de P en utilisant une identité remarquable) 1. Montrer que : ∀ n ∈ N, Pn ∈ Z[X]. 2. Déterminer le degré et le coefficient dominant de Pn en fonction de n. Exercice 9 Déterminer tous les polynômes P tels que (P (X))2 = P (X 2 ). (2n)! 3. Etablir : ∀ n ∈ N, Pn (0) = n! (On pourra écrire P = aX n + R, avec deg(R) < n et a 6= 0) Exercice 4 P0 = 1 Exercice 10 P1 = X On définit la suite de polynômes (Pn )n∈N par : Soit n ∈ N∗ . Calculer les coefficients du polynôme (1 + X + X 2 + · · · + X n )2 . ∀ n ≥ 2, Pn + Pn−2 = 2XPn−1 a. Calculer P2 et P3 . Déterminer le degré de Pn . Exercice 11 b. Déterminer la parité de Pn . Calculer Pn (1), puis Pn (−1). Soit n ∈ N∗ . En identifiant les coefficients des termes de degré 2n des polynômes 2 P2n Exercice 5 = (−1)n 2n (1 + X)2n (1 − X)2n et (1 − X 2 )2n , montrer que k=0 (−1)k 2n k n Montrer par récurrence sur n ≥ 1 qu’il existe un polynôme Pn de degré n + 1 tel que π π tan(n) x = Pn (tan x) pour tout x de ] − , [. Préciser en particulier la relation entre Exercice 12 2 2 Soit n ∈ N∗ . Déterminer le degré, le coefficient dominant et le terme constant du poPn et Pn+1 , et donner le coefficient dominant de Pn . lynôme (X 2 + 1)n − 2X 2n + (X 2 − 1)n . Exercice 6 Formule de Taylor, racines, multiplicité, divisibilité, factorisation Soit la fonction f définie par : f (t) = 1 2 1+t Exercice 13 a. Montrer que pour tout n de N, il existe un polynôme Pn de R[X] tel que : 1. Montrer que ∀n ∈ N, X 3 + X 2 + X + 1 divise X 2n+3 + X 2n+1 + X 2 + 1. On P (t) n pourra remarquer que X 4 − 1 = (X − 1)(X 3 + X 2 + X + 1) pour déterminer les f (n) (t) = 2 n+1 racines de X 3 + X 2 + X + 1. 1+t 1 1BCPST2 08/09 Planche d’exercices 6 (Polynômes) 2. On pose X 2n+3 + X 2n+1 + X 2 + 1 = (X 3 + X 2 + X + 1)Qn . Calculer Q0 , Q1 , Q2 , Exercice 23 4 2 puis conjecturer la forme générale de Qn et démontrer la factorisation précédente Factoriser les polynômes suivants : a. X − X + 1 dans R[X], puis dans C[X] ; et inversement d’abord dans C[X], puis dans R[X]. avec la forme trouvée, par récurrence ou à l’aide d’une somme télescopique. b. Même chose pour X 8 + X 4 + 1 c. X 4 + 1 dans R[X]. Exercice 14 6 ∗ n n Démontrer que ∀a ∈ K, ∀n ∈ N , ∀P ∈ K[X], X − a divise X − a et X − a divise d. X − 1 dans R[X]. 6 e. X − 3X 2 − 2 dans R[X]. P − P (a). f. X 4 + 3X 3 − 14X 2 + 22X − 12 dans C[X] sachant que 1 + i est racine. g. X n − 1 dans C[X], puis dans R[X] (suivant la parité de n). Exercice 15 n X Démontrer que pour tout polynôme P , le polynôme P − X divise le polynôme X 2k dans C[X], puis dans R[X]. h. 1 + P (P (X)) − P . On pourra raisonner sur les points fixes de P , et plus précisément à k=1 l’aide des polynômes (X − α)ω(α) où α est une racine de P − X d’ordre de multiplicité i. (X 2 + 1)2 + (X 2 − X − 1)2 dans C[X] et dans R[X]. ω(α). On pourra aussi se servir de l’exercice précédent. j. X 12 − 1 dans C[X] et dans R[X]. Exercice 16 Exercice 24 Déterminer les polynômes P de degré 2n où n ∈ N tels que 2nP − (X − a)P 0 − bP 00 = 0 Soit n ∈ N ∗ et Pn = 1 + X + 1 X(X + 1) + · · · + 1 X(X + 1) . . . (X + n − 1). 2! n! où a, b ∈ R. On pourra utiliser la formule de Taylor. a. Raisonner par récurrence afin de factoriser Pn . Exercice 17 (On factorisera P1 , P2 , P3 , . . . , jusqu’à deviner la relation de récurrence) Qn 1 (−1)n Démontrer que ∀n ∈ N∗ , (X n − 1)2 = k=1 X 2 − 2 cos 2kπ n +1 b. En déduire la factorisation de : Qn = 1 − X + X(X − 1) + · · · + X(X − 2! n! 1) . . . (X − n + 1) Exercice 18 Soit A ∈ R[X], A 6= 0. Déterminer l’ensemble des polynômes P ∈ R[X] tels que Exercice 25 P A0 = P 0 A. On pourra penser à la dérivée d’un quotient. Soit pour n ≥ 2 le polynôme P = (X + 1)n − 1. a. Déterminer toutes les racines de P dans C et en déduire la factorisation de P dans Exercice 19 Soient P ∈ R[X], n ∈ N∗ et a ∈ R. On suppose que P (a) > 0 et ∀k ∈ [[1, n]], P (k) (a) > 0. C[X]. b. On note Q le polynôme de C[X] tel que P = X Q. Montrer que P n’a pas de racine dans [a, +∞[. À l’aide de deux expressions différentes de Q, calculer deux expressions de Q(0), puis n−1 Y Exercice 20 kπ en déduire la valeur du réel A défini par : A = sin Déterminer un polynôme P de C[X] de degré 3 tel que : n k=1 0 P (1) = P (1) = 1 et 00 P (1) = P (3) (1) = 12 Somme et produit de racines : cas général Exercice 21 Montrer que pour tous entiers positifs n, m et p, le polynôme X 3n+2 + X 3m+1 + X 3p est divisible par le polynôme X 2 + X + 1. Exercice 26 Soit P ∈ K[X]. On suppose que P est de degré n. On note (ak )0≤k≤n ses coefficients et n n X Y (zi )1≤i≤n ses n racines dans C. On a donc : P = ak X k = an (X − zi ) Exercice 22 Soit n ∈ N∗ . Montrer que le polynôme nX n+2 − (n + 2)X n+1 + (n + 2)X − n est divisible par (X − 1)3 . Calculer n Y i=1 2 zi et n X i=1 k=0 i=1 zi en fonction des coefficients (ak )0≤k≤n de P .
