Série d’exercices Bac maths Thèmes : Arihmétiques ofi an e Division dans Z Exercice 1. VRAI ou FAUX, en justiant la reponse. 1 a; b; sont des entiers naturels non nuls. (a) Si le reste de la division eulidienne de a par division eulidienne de a + par b est 5. Pour tout entier 3 (a) n (b) n a; b 2 n tel que n , on a : 3 1 n'est jamais premier. 2+4 n'est jamais premier. sont deux entiers naturels tels que mod 5 mod (a) a (b) a b( . 5) a( par b est 3 alors le reste de la b et 1 et elui de par b est 1 alors le reste de la par fre d 2 a et 2 et elui de js (b) Si le reste de la division eulidienne de division eulidienne de a par b est 1. b a mod 2( 10) . 10) et mod , alors : mod . a b mod . b 2( 10) () a+b+6 (d) 3 3 0( ( 10) 10) B en Exercice 2. On admettra la propriete i dessous : a a; b sont deux entiers naturels tel que b 6= 0. est ompris entre deux multiples onseutifs de b. Montrer qu'il existe un unique ouple d'entiers naturels (q; r) tel que . a = bq + r Exercice 3. Determiner tous les ouples (a; b) d'entiers relatifs tels que ab = a + b. Exercice 4. Determiner les entiers n tels que 3n + 4 divise 13n 5 a et Exercice 5. Demontrer que pour tout entier naturel n , 6 divise mod 1( . n 3 + 5n . On remarquera que 6) Exercice 6. Les entiers naturels a et b sont tels que a2 b . 21 sont onseutifs. SÉRIE D’EXERCICE 2 b est un nombre premier. Montrer que 1 Exercice 7. . 1. n; k j k dont deux entiers relatifs. Montrer que si k est une raine du polyn^ome n 3 + 8n 2 + 8n + 7 alors 7. 2. Deduire les raines entieres du polyn^ome P : n 7! n 3 + 8n 2 + 8n . +7 Exercice 8. . 2 Tester-le. ofi an e L'algorithme i-ontre fait sous Algobox. Que alule-il? VARIABLES a EST_DU_TYPE NOMBRE b EST_DU_TYPE NOMBRE q EST_DU_TYPE NOMBRE r EST_DU_TYPE NOMBRE DEBUT_ALGORITHME LIRE a LIRE b q PREND_LA_VALEUR 0 TANT_QUE (b*q<=a) FAIRE DEBUT_TANT_QUE q PREND_LA_VALEUR q+1 FIN_TANT_QUE q PREND_LA_VALEUR q-1 r PREND_LA_VALEUR a-b*q AFFICHER q AFFICHER r FIN_ALGORITHME js 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 Caluler N Attention fre d Exercice 9. L'annee 2013 a debute par un mardi. le nombre de jours qui separent sa propre naissane, du 1er janvier 2013. Tous les quatre ans, il y a une annee bissextile qui ompte 366 jours. Caluler le reste de la division eulidienne de 3 En deduire le jours de sa propre naissane. B en 2 par 7. Expliquer le hoix du nombre 7. N Exercice 10. Determiner selon les valeurs de n le hire des unite de 11n Exercice 11. On onsidere dans Z l'equation : 1 2 Verier que 2 est solution de Resoudre (E ) 2 (E ) 2+n +7 mod 0( n + 5 . . 13) . . Exercice 12. 1 (E ) : n n +9 n etant un entier. Determiner les restes modulo 7 des nombres Resoudre dans Z l'equation n 2 + 3 n n 2 mod 0( et n 3 . 7) SÉRIE D’EXERCICE 2 Exercice 13. On onsidere la suite (Nk ) denie sur N ∗ par : , N2 = 11, N3 = 111 et N1 = 1 2 Soit p un entier premier tel que Montrer que : 41 divise Exercice 14. 1 2 Nk , montrer que p > 7 si et seulement si, 5 divise Determiner tous les ouples d'entiers positif Soit q un fateur premier de Mp = 2 p 1 ou Demontrer que p . Demontrer que On erit q Le nombres p M17 , q 1 Montrer que N . , ave m m mod 1( 2 N. est pair et en deduire que M19 et M23 a1 ; a2 ; :::; an B en 2 divise 1 = p m . p > 2 est le plus petit entier superieur a 1 veriant : p Exercice 16. 1 est un nombre premier tel que p Quelle est la parite de q. Demontrer que 5 y! = 2001 fre d 4 2 y! + 2001 tels que : (n ; y) 2 3 k js 2 Np −1 Determiner selon les valeurs de l'entier naturel y, le reste modulo 9 du nombre Exercice 15. On note Mp divise | {z } k hires sont des entiers naturels. n; y x 1 p 111:::1 ofi an e 1 Nk = mod 2( q mod 1( . q) . 2p ) sont-ils premiers?. sont des entiers impairs et premiers, on note : 2 N = a1 a2 :::an +1 4) Peut-on trouver un entier naturel n tel que 3? N = a Expliquer. Exercice 17. Pour tout n de N, on pose N = 5 + n ! 1 2 Montrer que pour tout , n > 7 N mod 5( Determiner les entiers naturels tels que 7) 5 + n! soit un ube parfait. SÉRIE D’EXERCICE 3