arithmétiques divisibilite dans Z

Série d’exercices
Bac maths
Thèmes : Arihmétiques
ofi
an
e
Division dans Z
Exercice 1. VRAI ou FAUX, en justiant la reponse.
1
a; b; sont des entiers naturels non nuls.
(a) Si le reste de la division eulidienne de a par
division eulidienne de a + par b est 5.
Pour tout entier
3
(a)
n
(b)
n
a; b
2
n
tel que
n
, on a :
3
1
n'est jamais premier.
2+4
n'est jamais premier.
sont deux entiers naturels tels que
mod
5 mod
(a)
a
(b)
a
b(
.
5)
a(
par
b
est 3 alors le reste de la
b
et 1 et elui de
par
b
est 1 alors le reste de la
par
fre
d
2
a
et 2 et elui de
js
(b) Si le reste de la division eulidienne de
division eulidienne de a par b est 1.
b
a
mod
2(
10)
.
10)
et
mod , alors :
mod .
a
b mod .
b
2(
10)
()
a+b+6
(d)
3
3
0(
(
10)
10)
B
en
Exercice 2. On admettra la propriete i dessous :
a
a; b sont deux entiers naturels tel que b 6= 0.
est ompris entre deux multiples onseutifs de b.
Montrer qu'il existe un unique ouple d'entiers naturels
(q; r)
tel que
.
a = bq + r
Exercice 3. Determiner tous les ouples (a; b) d'entiers relatifs tels que ab = a + b.
Exercice 4. Determiner les entiers n tels que 3n + 4 divise 13n
5
a
et
Exercice 5. Demontrer que pour tout entier naturel n , 6 divise
mod
1(
.
n
3
+ 5n
. On remarquera que
6)
Exercice 6. Les entiers naturels a et b sont tels que a2
b
.
21
sont onseutifs.
SÉRIE D’EXERCICE
2
b
est un nombre premier. Montrer que
1
Exercice 7. .
1.
n; k
j
k
dont deux entiers relatifs. Montrer que si k est une raine du polyn^ome n 3 + 8n 2 + 8n + 7 alors
7.
2. Deduire les raines entieres du polyn^ome
P : n
7!
n
3
+ 8n
2 + 8n
.
+7
Exercice 8. .
2
Tester-le.
ofi
an
e
L'algorithme i-ontre fait sous Algobox. Que
alule-il?
VARIABLES
a EST_DU_TYPE NOMBRE
b EST_DU_TYPE NOMBRE
q EST_DU_TYPE NOMBRE
r EST_DU_TYPE NOMBRE
DEBUT_ALGORITHME
LIRE a
LIRE b
q PREND_LA_VALEUR 0
TANT_QUE (b*q<=a) FAIRE
DEBUT_TANT_QUE
q PREND_LA_VALEUR q+1
FIN_TANT_QUE
q PREND_LA_VALEUR q-1
r PREND_LA_VALEUR a-b*q
AFFICHER q
AFFICHER r
FIN_ALGORITHME
js
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
1
Caluler
N
Attention
fre
d
Exercice 9. L'annee 2013 a debute par un mardi.
le nombre de jours qui separent sa propre naissane, du 1er janvier 2013.
Tous les quatre ans, il y a une annee bissextile qui ompte 366 jours.
Caluler le reste de la division eulidienne de
3
En deduire le jours de sa propre naissane.
B
en
2
par 7. Expliquer le hoix du nombre 7.
N
Exercice 10. Determiner selon les valeurs de n le hire des unite de 11n
Exercice 11. On onsidere dans Z l'equation :
1
2
Verier que 2 est solution de
Resoudre
(E )
2
(E )
2+n
+7
mod
0(
n
+ 5
.
.
13)
.
.
Exercice 12.
1
(E ) : n
n
+9
n
etant un entier.
Determiner les restes modulo 7 des nombres
Resoudre dans Z l'equation
n
2
+ 3
n
n
2
mod
0(
et
n
3
.
7)
SÉRIE D’EXERCICE
2
Exercice 13. On onsidere la suite (Nk ) denie sur N ∗ par :
, N2 = 11, N3 = 111 et
N1 = 1
2
Soit
p
un entier premier tel que
Montrer que : 41 divise
Exercice 14.
1
2
Nk
, montrer que
p > 7
si et seulement si, 5 divise
Determiner tous les ouples d'entiers positif
Soit
q
un fateur premier de
Mp
= 2
p
1
ou
Demontrer que
p
.
Demontrer que
On erit
q
Le nombres
p
M17
,
q
1
Montrer que
N
.
, ave
m
m
mod
1(
2 N.
est pair et en deduire que
M19
et
M23
a1 ; a2 ; :::; an
B
en
2
divise
1 = p
m
.
p > 2
est le plus petit entier superieur a 1 veriant :
p
Exercice 16.
1
est un nombre premier tel que
p
Quelle est la parite de q.
Demontrer que
5
y! = 2001
fre
d
4
2
y! + 2001
tels que :
(n ; y)
2
3
k
js
2
Np −1
Determiner selon les valeurs de l'entier naturel y, le reste modulo 9 du nombre
Exercice 15. On note Mp
divise
| {z }
k hires
sont des entiers naturels.
n; y
x
1
p
111:::1
ofi
an
e
1
Nk =
mod
2(
q
mod
1(
.
q)
.
2p )
sont-ils premiers?.
sont des entiers impairs et premiers, on note :
2
N =
a1 a2 :::an
+1
4)
Peut-on trouver un entier naturel
n
tel que
3?
N = a
Expliquer.
Exercice 17. Pour tout n de N, on pose N = 5 + n !
1
2
Montrer que pour tout
,
n > 7
N
mod
5(
Determiner les entiers naturels tels que
7)
5 + n!
soit un ube parfait.
SÉRIE D’EXERCICE
3