Exercices sur le chapitre 3 1 Exercice 4.1 Jean-Louis Poss

Exercices sur le chapitre 3
Jean-Louis Poss
26 mai 2003
1
Exercice 4.1
Un point M est choisi au hasard sur le cercle de centre O et de rayon r, c’est-à-dire que l’angle
−→ −−→
Θ = (Ox, OM ) est une variable aléatoire de loi uniforme U(−π, π). Déterminer la loi, l’espérance
mathématique et la variance de la variable aléatoire X, abcisse de M .
On a : X = r cos Θ.
La fonction de répartition F de la variable
aléatoire X est définie par :
F (x) = P(X < x) = P cos Θ <
y
x
.
r
M
On a immédiatement :
0 si x ≤ −r,
F (x) = 1 si x ≥ r.
Θ
O
Pour −r < x < r on a :
x
r
x
x
= 1 − P − arccos ≤ Θ ≤ arccos
r
r
x
1
= 1 − arccos ·
π
r
F (x) = 1 − P cos Θ ≥
1
x X r
On obtient la densité de probabilité en dérivant :
0
1
f (x) = p 2
π r − x2
0
si x ≤ −r,
si − r < x < r,
si x ≥ r.
Espérance mathématique
Z
r
E(X) =
−r
r
x dx
1p 2
2
√
= −
r −x
= 0.
π
π r2 − x2
−r
Variance
E(X2 ) =
=
=
r
x2 dx
√
2
2
−r π r − x
π
Z
r2 2
sin2 t dt, où t = arcsin x
π −π
2
π
2
2
r
1
t − sin(2t)
2π
2
−π
Z
2
=
r2
·
2
D’où :
Var(X) =
2
r2
·
2
2
Exercice 4.7
Soit X une variable aléatoire suivant la loi exponentielle E(α).
√
1. Déterminer la loi de la variable aléatoire Y = X.
2. Calculer l’espérance mathématique et la variance de Y.
1. Soit F la fonction de répartition de la variable aléatoire Y ; on a :
√
0
si y ≤ 0,
F (y) = P(Y < y) = P( X < y) = 2
2
P(X < y ) = FX (y ) si y > 0.
On obtient la densité de probabilité en dérivant :
0
si y < 0,
f (y) == 2yfX (y 2 ) = 2αy exp(−αy 2 ) si y > 0.
Autre méthode (égalité des distributions régulières)
Notant fX et fY les densités de probabilité des variables aléatoires X et Y on a
∀ϕ ∈ D1 ,
fY∗ (ϕ)
= E ϕ(Y) =
Z
ϕ(y)fY (y) dy
Z ∞
√ Z
√
√
= E ϕ( X) =
ϕ( x)fX (x) dx =
ϕ( x) αe−αx dx
R
0
Z ∞
√
−αy 2
=
ϕ(y) αe
(2y dy), en posant y = x
R
0
= g ∗ (ϕ)
où
0
g(y) = 2
2αye−αy
si y ≤ 0,
si y > 0.
Puisque fY∗ = g ∗ , fY est égale à g presque partout.
2. Espérance mathématique
Z
E(Y) = 2α
0
∞
√
3
π
1
y exp(−αy ) dy = √ Γ
= √ ·
2 α
α 2
2
2
Variance
E(Y2 ) = E(X) =
1
π
4−π
1
et Var(Y) = −
=
·
α
α 4α
4α
3
3
Exercice 4.12
Par laminage de lingots on obtient des barres d’acier dont la longueur est une variable aléatoire X de
densité f . Pour obtenir des barres dont la longueur soit égale à la longueur désirée ` on tronçonne
celles qui sont trop longues et on rebute celles qui sont trop courtes ; la longueur perdue est une
variable aléatoire Y définie par :
(
X
si X < `,
Y=
X − ` si X ≥ `.
1. Montrer
Z
E(Y) = E(X) − `
∞
f (x) dx.
`
2. On suppose que X suit la loi normale N (m, σ), σ et ` étant connus. Déterminer la valeur m0
de m qui rend minimum E(Y). (On pourra poser : ` = aσ et m = uσ).
Application numérique : ` = 200 cm et σ = 2 cm.
1. Calculons l’espérance mathématique de la variable aléatoire Y :
Z `
Z ∞
xf (x) dx +
(x − `)f (x) dx
E(Y) =
`
Z0 ∞
Z ∞
=
xf (x) dx − `
f (x) dx
0
`
Z ∞
= E(X) − `
f (x) dx.
`
2. On suppose que X suit la loi normale N (m, σ). L’espérance mathématique de Y est une fonction g de m que nous cherchons à minimiser.
Z ∞
(x − m)2 1
√ exp −
g(m) = E(Y) = m − `
dx
2σ 2
σ 2π
`
Z `−m
√
√
σ 2
`
= m+ √
exp(−u2 ) du, où l’on a posé x = m + σ 2u.
π +∞
Dérivons par rapport à m :
(` − m)2 `
g 0 (m) = 1 − √ exp −
.
2σ 2
σ 2π
On a :
(` − m)2 `
g 0 (m) = 0 ⇔ exp
= √
2σ 2
σ 2π
` − m 2
` √
⇔
= ln √
σ 2
σ 2π
s
`
⇔ m = ` ± σ 2 ln √ ·
σ 2π
4
s
Le tableau de variations montre que g a un minimum en m0 = ` + σ
`
2 ln √ ·
σ 2π
Application numérique : ` = 200 cm et σ = 2 cm.
s
200
m0 = 200 + 2 2 ln √ = 205, 43 cm.
2 2π
4
Exercice 4.14
Deux personnes se donnent rendez-vous entre 0 et 1 heure ; l’instant d’arrivée de chacune d’elles est
une variable aléatoire uniforme de loi U(0, 1) et ces variables sont indépendantes.
1. Le temps d’attente du premier arrivé est une variable aléatoire Z dont on déterminera la loi,
l’espérance mathématique et l’écart-type.
2. On suppose que le premier arrivé part au bout d’une attente égale à E(Z). Quelle est la probabilité de rencontre ?
1. Les instants d’arrivée X et Y de chacune des deux personnes sont des variables aléatoires indépendantes suivant la même loi uniforme U(0, 1) ; la densité de probabilité du couple (X, Y) est
donc :
1 si (x, y) ∈ [0, 1]2 ,
f(X,Y) (x, y) = fX (x) fY (y) = 0 sinon.
y
La fonction de répartition F de la variable
aléatoire Z = |X − Y| est définie par :
1
F (z) = P(|X − Y| < z)
ZZ
=
f(X,Y) (x, y) dx dy.
z
∆z
où ∆z = {(x, y) | |x − y| < z}.
F (z) est donc égale à l’aire du domaine en
vert ci-contre.
D’où :
x
0
0
si z ≤ 0,
F (z) = 1 − (1 − z)2 = 2z − z 2 si 0 < z < 1,
1
si z ≥ 1.
5
z
1
La densité de probabilité de la variable aléatoire Z est donc :
0
si z 6∈]0, 1[,
fZ (z) = 2(1 − z) si z ∈]0, 1[.
Espérance mathématique
1
Z
E(Z) =
0
2 3 1 1
2
= ·
2z(1 − z) dz = z − z
3
3
0
Variance
2
1
Z
2 3 1 4
2z (1 − z) dz =
z − z
3
2
2
E(Z ) =
0
et
Var(Z) =
1
0
1
= ·
6
1
1 2
1
−
= ·
6
3
18
2. Si le premier arrivé part au bout d’une attente égale à E(Z) =
1
3
la probabilité de rencontre est :
1
1
2
1 2 5
P(Z < ) = F ( ) = −
= ·
3
3
3
3
9
6
5
Exercice 4.21
En théorie cinétique des gaz les composantes X, Y et Z de la vitesse d’une molécule dans un repère
orthonormé sont considérées comme trois variables aléatoires
indépendantes suivant la loi normale
√
N (0, σ) ; la vitesse est donc la variable aléatoire V = X2 + Y2 + Z2 .
1. Déterminer la densité de probabilité de V.
2. Calculer l’espérance mathématique et la variance de V.
1. Les variables aléatoires X, Y et Z étant indépendantes la densité de probabilité du vecteur
aléatoire (X, Y, Z) est
f (x, y, z) = fX (x) fY (y) fZ (z) =
1
x2 + y 2 + z 2 exp
−
.
2σ 2
(2π)3/2 σ 3
La fonction de répartition FV de la variable aléatoire V est évidemment nulle sur R− ; sur R+
elle est définie par
ZZZ
p
FV (v) =
f (x, y, z) dx dy dz où ∆v = {(x, y, z) | x2 + y 2 + z 2 < v}.
∆v
Utilisant les coordonnées sphériques on obtient
FV (v) =
=
Z 2π
Z π
Z v
2
1
r2 2
dθ
cos
ϕ
dϕ
exp
−
r dr
2σ 2
(2π)3/2 σ 3 0
− π2
0
r Z v
1
2
r2 exp − 2 r2 dr.
3
σ
π 0
2σ
D’où, en dérivant, la densité de probabilité de la variable aléatoire V :
0
si v ≤ 0,
r
fV (v) = 1
2 2
v2 si v > 0.
σ 3 π v exp − 2σ 2
fV (v)
v
O
7
2. Espérance mathématique de V
r Z ∞
2
v2 E(V) =
v 3 exp − 2 dv
π
2σ
r Z 0∞
√
2
= 2σ
ue−u du , en posant v = σ 2u
π 0
|
{z
}
1
σ3
=Γ(2)
r
= 2σ
2
·
π
Variance
E(V2 ) = E(X2 + Y2 + Z2 ) = E(X2 ) + E(Y2 ) + E(Z2 ) = 3σ 2 .
D’où :
r
2
Var(V) = 3σ − 2σ
8
2 2
8 2
= 3−
σ .
π
π
6
Exercice 4.29
Une machine fabrique des pièces cylindriques dont le diamètre exprimé en millimètres est une variable aléatoire D suivant la loi normale N (m, σ) où m est réglable et σ = 0, 4.
1. On suppose m = 8. Calculer
(a) P(D < 7, 5),
(b) P(D > 9),
(c) P(7, 5 < D < 8, 5).
2. Toute pièce est vérifiée à l’aide de deux calibres, l’un de 7,5 mm, l’autre de 8,5 mm ; elle est
acceptée si elle passe dans le grand et non dans le petit. Déterminer la probabilité pour qu’une
pièce soit refusée si
(a) m = 7, 5,
(b) m = 8,
(c) m = 8, 5.
3. Dans le cas où m = 8 déterminer la probabilité pour qu’une pièce soit acceptée sachant qu’elle
passe dans le grand calibre.
4. Lorsque la pièce est trop petite elle est rejetée ; la perte est alors de 10 euros. Si elle est trop
grande on peut la rectifier ; le coût de l’opération est égal à 3 euros et on admet que la pièce
est acceptée après rectification. Soit Z la variable aléatoire égale à la perte subie : Z prend les
valeurs 10, 3 ou 0 suivant que la pièce est trop petite, trop grande ou bonne. Calculer l’espérance
mathématique de Z en fonction de m. Déterminer m pour que E(Z) soit minimale (réglage
optimum de la machine).
1. On a m = 8.
7, 5 − 8 = 1 − Φ(1, 25) = 1 − 0, 894 = 0, 106
0, 4
(b) P(D > 9) = 1 − Φ(2, 5) = 0, 006
(a) P(D < 7, 5) = Φ
(c) P(7, 5 < D < 8, 5) = Φ(1, 25) − Φ(−1, 25) = 2Φ(1, 25) − 1 = 0, 789
2. La probabilité p pour que la pièce soit refusée est égale à 1 − P(7, 5 ≤ D < 8, 5).
(a) Si m = 7, 5, on a p = 1 − Φ(2, 5) − Φ(0) = 0, 506.
(b) Si m = 8, on a p = 2 1 − Φ(1, 25) = 0, 211.
(c) Si m = 8, 5, on a p = · · · = 0, 506.
3. On a m = 8.
0, 789
P(7, 5 ≤ D < 8, 5)
=
= 0, 882.
P(D < 8, 5)
0, 895
9
4. L’espérance mathématique de Z est une fonction de m :
h(m) = E(Z) = 10 P(D < 7, 5) + 3 P(D ≥ 8, 5) = 10 Φ
7, 5 − m 8, 5 − m +3 1−Φ
.
0, 4
0, 4
On dérive :
h0 (m) =
(m − 8, 5)2 (m − 7, 5)2 1
√
3 exp −
−
10
exp
−
.
2 × 0, 42
2 × 0, 42
0, 4 2π
La dérivée s’annule pour
10
= 8, 193
3
qui correspond à un minimum comme le montre le tableau de variation.
m = 8 + 0, 16 ln
10
7
Exercice 4.30
Les chocs auxquels est soumis un appareillage fragile se produisent suivant un processus de P OISSON,
c’est-à-dire que :
– La probabilité pour qu’un choc se produise entre l’instant t et l’instant t + dt est égale à (λ dt), où
λ est une constante positive indépendante de t, de dt et des chocs antérieurs.
– La probabilité pour qu’il y ait deux chocs ou plus entre les instants t et t + dt est négligeable devant
la probabilité pour qu’il y en ait 0 ou 1.
Le nombre de chocs Nt se produisant entre les instants 0 et t est une variable aléatoire qui suit la loi
de P OISSON P(λt).
1. Déterminer la loi de la variable aléatoire X, intervalle de temps entre deux chocs consécutifs.
Calculer son espérance mathématique et sa variance.
2. L’effet cumulatif de k chocs met l’appareillage hors d’usage. Déterminer la loi de la variable
aléatoire T, durée de vie de l’appareillage. Calculer son espérance mathématique et sa variance.
1. La fonction de répartition FX de X est définie par
FX (x) = P(X < x) = 1 − P(X ≥ x) = 1 − P(Nx = 0)
1 − e−λx si x ≥ 0,
= 0
sinon.
La variable aléatoire X suit donc la loi exponentielle E(λ) dont la densité est :
λe−λx si x > 0,
fX (x) = 0
sinon.
2. On a T =
k
X
Xi où les Xi sont des variables aléatoires indépendantes suivant toutes la même
i=1
loi E(λ) = γ(1, λ). Le théorème de stabilité de la loi gamma nous permet de conclure que T
suit la loi γ(k, λ) dont la densité est
(λt)k−1 −λt
e
si t > 0,
λ
fT (t) = (k−1)!
0
sinon.
On sait alors :
E(T) =
k
k
et Var(T) = 2 ·
λ
λ
11
8
Exercices supplémentaires
8.1
Valeur absolue
Déterminer la densité de probabilité de la variable aléatoire T = |X| en fonction de celle de X.
Application : X suit la loi normale réduite.
On peut utiliser deux méthodes.
1. La fonction de répartition de T est :
0
si t ≤ 0,
FT (t) = P(|X| < t) = P(−t < X < t) = FX (t) − FX (−t) si t > 0.
On en déduit la densité en dérivant :
0
si t ≤ 0,
fT (t) = fX (t) + fX (−t) si t > 0.
2. On applique le théorème sur l’égalité des distributions régulières.
∀ϕ ∈ D1 ,
Z
∗
E ϕ(T) = fT (ϕ) =
∞
ϕ(t)fT (t) dt
Z ∞
= E ϕ |X| =
ϕ |x| fX (x) dx
−∞
−∞
Z
0
Z
∞
=
ϕ(−x)fX (x) dx +
ϕ(x)fX (x) dx
−∞
0
|
{z
}
{z
}
|
t
=
x
t = −x
Z ∞
=
ϕ(t) fX (−t) + fX (t) dt
|
{z
}
0
= fT (t) si t > 0
Application
0
si t ≤ 0,
fT (t) = q 2
2
t
π exp(− 2 ) si t > 0.
12
8.2
Différence
Déterminer la densité de probabilité de la variable Z = X − Y en fonction de la densité de probabilité
f du couple aléatoire (X, Y).
Application : X et Y sont indépendantes et suivent la loi exponentielle E(λ).
La fonction de répartition de Z est définie par :
ZZ
FZ (z) = P(X − Y < z) =
f (x, y) dx dy
Dz
où Dz = {(x, y) | x − y < z} est le demi-plan situé au-dessus de la droite d’équation y = x + z.
On effectue le changement de variables défini par :
D(x, y) 1
u=x
x=u
0 . On a :
et
=
= −1.
v =x−y
y =u−v
D(u, v) 1 −1 On obtient
ZZ
f (u, u − v) du dv
FZ (z) =
∆z
où ∆z = {(u, v) | v < z} ; donc
Z
z
Z
FZ (z) =
−∞
∞
f (u, u − v) du dv
−∞
et la densité de probabilité est
Z
∞
f (u, u − z) du.
fZ (z) =
−∞
Application
La densité de probabilité du couple (X, Y) est
2 −λ(x+y)
λ e
si x > 0 et y > 0,
f (x, y) = 0
sinon.
D’où :
2 −λ(2u−z)
λ e
si u > 0 et u − z > 0, c’est-à-dire u > max(0, z),
f (u, u − z) = 0
sinon.
On distingue deux cas :
1. z < 0
∞
Z
fZ (z) =
0
2. z ≥ 0
Z
fZ (z) =
∞
∞
1
λ
λ2 e−λ(2u−z) du = λeλz − e−2λu
= eλz .
2
2
0
2 −λ(2u−z)
λ e
λz
du = λe
z
13
1 −2λu ∞ λ −λz
− e
= e .
2
2
z
Donc :
∀z ∈ R, fZ (z) =
λ −λ|z|
e
.
2
Autre méthode : on peut utiliser le théorème sur l’égalité des distributions régulières.
∀ϕ ∈ D1 ,
Z
∗
E ϕ(Z) = fZ (ϕ) =
∞
ϕ(z)fZ (z) dz
ZZ
= E ϕ(X − Y) =
ϕ(x − y)f (x, y) dx dy
R2
Z ∞
Z ∞
ϕ(z)
f (u, u − z) du dz
=
−∞
−∞
−∞
en effectuant le changement de variables défini par u = x et z = x − y. On en déduit :
Z ∞
fZ (z) =
f (u, u − z) du.
−∞
14
8.3
Valeur absolue de la différence
Déterminer la densité de probabilité de la variable U = |X−Y| en fonction de la densité de probabilité
f du couple aléatoire (X, Y).
Application : X et Y sont indépendantes et suivent la loi exponentielle E(λ).
On peut utiliser (au moins. . . ) deux méthodes.
1. On remarque immédiatement que fU (u) = 0 si u ≤ 0.
On peut écrire : U = |Z| avec Z = X − Y. D’après les exercices 8.1 et 8.2 on a pour u > 0
Z ∞
fU (u) = fZ (u) + fZ (−u) =
f (t, t − u) + f (t, t + u) dt.
−∞
2. Appliquons le théorème sur l’égalité des distributions régulières.
∀ϕ ∈ D1 ,
Z
∗
E ϕ(U) = fU (ϕ) =
∞
ϕ(u)fU (u) du
ZZ
E ϕ |X − Y| =
ϕ |x − y| f (x, y) dx dy
R2
ZZ
ZZ
ϕ(y − x)f (x, y) dx dy +
ϕ(x − y)f (x, y) dx dy
∆1
∆2
|
{z
} |
{z
}
t = x et u = y − x
t = y et u = x − y
ZZ
ϕ(u) f (t, t + u) + f (t + u, t) dt du
D
Z ∞
Z ∞
ϕ(u)
f (t, t + u) + f (t + u, t) dt du
0
| −∞
{z
}
= fU (u) si u > 0
−∞
=
=
=
=
Les domaines d’intégration utilisés sont
∆1 = {(x, y) | y > x}, ∆2 = {(x, y) | x > y} et D = {(t, u) | u > 0}.
Donc :
0
si u ≤ 0,
Z ∞
fU (u) = f
(t,
t
+
u)
+
f
(t
+
u,
t)
dt si u > 0.
−∞
Application
La densité de probabilité du couple (X, Y) est
2 −λ(x+y)
λ e
si x > 0 et y > 0,
f (x, y) = fX (x)fY (y) = 0
sinon.
15
D’où :
f (x, x − u) = λ2 e−λ(2x−u) si x > u (on est dans le cas où u > 0),
f (x, x + u) = λ2 e−λ(2x+u) si x > 0 (on est encore dans le cas où u > 0).
Donc :
Z
∞
Z
∞
λ e
dx +
λ2 e−λ(2x+u) dx
u
0
1 −2λx ∞
1 −2λx ∞
λu
−λu
= λe
− e
+ λe
− e
2
2
u
0
fU (u) =
2 −λ(2x−u)
= λe−λu .
La densité de probabilité de la variable aléatoire U est
0
si u ≤ 0,
fU (u) = −λu
λe
si u > 0,
c’est-à-dire qu’elle suit la loi exponentielle E(λ).
16
8.4
Minimum et maximum
Soit un couple aléatoire (X, Y) dont la densité de probabilité est une fonction f : R2 7→ R. On pose
U = min(X, Y) et V = max(X, Y).
1. Déterminer la densité de probabilité du couple aléatoire (U, V).
2. En déduire les densités de probabilités des variables aléatoires U et V lorsque les variables
aléatoires X et Y sont indépendantes.
3. Application
Les variables aléatoires X et Y sont indépendantes et suivent respectivement les lois exponentielles E(λ) et E(µ).
1. La fonction de répartition du couple (U, V) est
F(U,V) (u, v) = P
min(X, Y) < u ∩ max(X, Y) < v =
ZZ
f (x, y) dx dy
Du,v
où le domaine d’intégration est
Du,v = (x, y) | min(x, y) < u et max(x, y) < v
que l’on représente ci-dessous en distinguant deux cas :
y
y
u
v
v
u
v
0
x
u
u
0
Donc :
– Pour v ≤ u.
Z
v
F(U,V) (u, v) =
−∞
Z
v
v
f (x, y) dy dx.
−∞
– Pour u ≤ v.
Z
u
F(U,V) (u, v) =
−∞
Z
v
f (x, y) dy dx +
−∞
Z v Z
u
17
u
−∞
f (x, y) dy dx.
x
La densité s’obtient en dérivant :
0
∂
si v < u,
f(U,V) (u, v) =
F(U,V) (u, v) = f (u, v) + f (v, u) si u < v.
∂u ∂v
2. – Densité de U
Z
∞
fU (u) =
∞
Z
f (u, v) + f (v, u) dv
f(U,V) (u, v) dv =
Z−∞
∞
u
fX (u)fY (v) + fX (v)fY (u) dv car X et Y sont indépendantes,
u
Z ∞
Z ∞
= fX (u)
fY (v) dv + fY (u)
fX (v) dv
u
u
= fX (u) 1 − FY (u) + fY (u) 1 − FX (u) .
=
– Densité de V
Z
∞
fV (v) =
Z
v
f(U,V) (u, v) du =
Z−∞
v
=
f (u, v) + f (v, u) du
−∞
fX (u)fY (v) + fX (v)fY (u) du car X et Y sont indépendantes,
−∞
= fY (v)FX (v) + fX (v)FY (v).
On peut, bien sûr (le faire. . . ), déterminer directement les densités de probabilités des variables
aléatoires U = min(X, Y) et V = max(X, Y) sans utiliser la densité du couple (U, V).
3. Puisque X suit la loi exponentielle E(λ) on a
0
si x < 0,
fX (x) = et
−λx
λe
si x ≥ 0
0
si x < 0,
FX (x) = −λx
1−e
si x ≥ 0.
De même, puisque Y suit la loi exponentielle E(µ) on a
0
0
si y < 0,
si y < 0,
fY (y) = et
FY (y) = −µy
−µy
µe
si y ≥ 0
1−e
si y ≥ 0.
On en déduit les densités de probabilité demandées :
– Densité de probabilité du couple (U, V).
−(λu+µv) + e−(λv+µu)
λµ
e
si 0 < u < v,
f(U,V) (u, v) = 0
sinon.
On pourra représenter (avec Mathematica par exemple) la surface représentative de cette
densité après avoir choisi des valeurs numériques pour λ et µ.
18
– Densité de probabilité de U.
0
si u < 0,
fU (u) = −(λ+µ)u
(λ + µ)e
si u ≥ 0.
La variable aléatoire U suit la loi exponentielle E(λ + µ).
– Densité de probabilité de V.
0
si v < 0,
fV (v) = −λv
−µv
−(λ+µ)u
λe
+ µe
− (λ + µ)e
si v ≥ 0.
On pourra déterminer les fonctions de répartition des variables aléatoires U et V et tracer leurs
graphes (à l’aide de Mathematica par exemple) pour des valeurs fixées de λ et µ ; que dire de
la position relative de ces deux graphes ?
19
8.5
Étendue
On note f la densité de probabilité de la variable aléatoire X et F sa fonction de répartition.
Soit (X1 , X2 , . . . , Xn ) un échantillon de X.
1. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire U = min (Xi ).
1≤i≤n
2. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire V = max (Xi ).
1≤i≤n
3. Déterminer la loi de probabilité du couple aléatoire (U, V).
4. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire W = V − U.
5. Calculer l’espérance mathématique de W.
6. Application : X suit la loi exponentielle E(λ).
1. La fonction de répartition de U est définie par
FU (u) = P(U < u) = P min (Xi ) < u = 1 − P min (Xi ) ≥ u
1≤i≤n
= 1−P
n
\
1≤i≤n
n
Y
n
(Xi ≥ u) = 1 −
P(Xi ≥ u) = 1 − 1 − F (u) .
i=1
i=1
D’où la densité de probabilité :
n−1
fU (u) = n f (u) 1 − F (u)
.
2. La fonction de répartition de V est définie par
n
n
\
Y
(Xi < v) =
FV (v) = P(V < v) = P max (Xi ) < v = P
P(Xi < v)
1≤i≤n
i=1
i=1
n
= F (v) .
D’où la densité de probabilité :
fV (v) = n f (v) F (v)n−1 .
3. On a :
P(V < v) = P (V < v) ∩ (U < u) + P (V < v) ∩ (U ≥ u) .
D’où :
F(U,V) (u, v) = P (U < u) ∩ (V < v) = P(V < v) − P (V < v) ∩ (U ≥ u)
n
\
= FV (v) − P
(u ≤ Xi ≤ v)
i=1
n f (v) F (v)n−1 − F (v) − F (u) n si u ≤ v,
= n f (v) F (v)n−1
sinon.
20
On obtient la densité de probabilité du couple (U, V) en dérivant une fois par rapport à u et une
fois par rapport à v :
n(n − 1) f (u) f (v) F (v) − F (u) n−2 si u < v,
f(U,V) (u, v) = 0
sinon.
4. La fonction de répartition de W est définie par
ZZ
FW (w) = P(V − U < w) =
f(U,V) (u, v) du dv où Dw = {(u, v) | v − u < w}.
Dw
On effectue le changement de variables
t = u,
u = t,
z = v − u,
v = t + z,
D(u, v)
= 1.
D(t, z)
On obtient :
ZZ
FW (w) =
Z
+ z) dt dz où ∆w = {(t, z) | z < w}
f(U,V) (t, t + z) dt dz.
f(U,V) (t, t
∆w
w Z ∞
=
−∞
−∞
D’où la densité, en dérivant :
∞
Z
fW (w) =
f(U,V) (t, t + w) dt
−∞
En appliquant ce résultat général au cas particulier de la loi du couple (U, V) on obtient la
densité de probabilité de W :
Z ∞
n−2
n(n − 1) f (u) f (u + w) F (u + w) − F (u)
du si w > 0,
fW (w) = −∞
0
sinon.
5. On a
E(W) = E(V − U) = E(V) − E(U)
Z ∞
Z
n−1
=
nvf (v)F (v)
dv −
−∞
=
=
B
lim
A→−∞
B→∞
n−1
nuf (u) 1 − F (u)
du
−∞
Z
=
∞
n−1 nxf (x) F (x)n−1 − 1 − F (x)
dx
A
h iB Z
n
lim
x F (x)n + 1 − F (x) − 1
−
A→−∞
ZB→∞
∞
A
n dx,
1 − F (x)n − 1 − F (x)
−∞
21
B
A
n
F (x) + 1 − F (x) − 1 dx
n
car, si X a une espérance mathématique :
lim xF (x) = 0 et
x→−∞
lim x 1 − F (x) = 0.
x→+∞
En effet :
Z ∞
Z ∞
x 1 − F (x) = x 1 − P(X < x) = xP(X ≥ x) = x
f (t) dt =
xf (t) dt
x
x
Z ∞
≤
tf (t) dt −−−−→ 0 car E(X) existe.
x→+∞
x
La démonstration est semblable pour la limite en −∞.
6. Application : X suit la loi exponentielle E(λ).
λe−λx si x ≥ 0,
1 − e−λx si x ≥ 0
fX (x) = FX (x) = 0
sinon.
0
sinon.
(a) Loi de U
n λe−λu e−λu n−1 = (λn)e−(λn)u si u ≥ 0
fU (u) = 0
sinon.
Donc U suit la loi exponentielle E(λn).
(b) Loi de V
n λe−λv 1 − e−λv n−1 si v ≥ 0
fV (v) = 0
sinon.
(c) Loi de W
Si w > 0 on a
Z
∞
n−2
λe−λu λe−λ(u+w)
1 − e−λ(u+w) − 1 − e−λu
du
0
Z ∞
2 −λw
−λw n−2
= n(n − 1)λ e
1−e
e−nλu du
0
n−2
= (n − 1)λe−λw 1 − e−λw
.
fW (w) = n(n − 1)
(d) Espérance mathématique de W
∞
n−2
E(W) = (n − 1)λ
we−λw 1 − e−λw
dw
0
Z
n−2
1 ∞
(n − 1)te−t 1 − e−t
dt en posant t = λw
=
λ 0
1
=
lim IA
λ A→∞
Z
22
où
A
Z
IA =
(n − 1)te−t 1 − e−t
n−2
dt
0
Z A
A
−t n−1
= t (1 − e )
−1 0 −
(1 − e−t )n−1 − 1 dt
0
Z A
1 − (1 − e−t )n−1 dt
= A (1 − e−A )n−1 − 1 +
{z
}
|
0
−−
−
−
→
0
A→∞
Donc :
E(W) =
=
=
Z
1 ∞
1 − (1 − e−t )n−1 dt
λ 0
Z
1 1 1 − (1 − u)n−1
du en posant t = − ln u
λ 0
u
1
γ + ψ(n) , d’après la formule de G AUSS,
λ
où
n
X
1
γ = lim
− ln n est la constante d’E ULER,
n→∞
k
k=1
ψ(x) =
Γ0 (x)
·
Γ(x)
(Voir l’annexe sur les fonctions eulériennes.)
On peut obtenir une autre expression du résultat en développant (1 − e−t )n−2 par la
formule du binôme :
n−2
n−1
1X
k n−2
(−1)
·
E(W) =
λ
k
(k + 1)2
k=0
23