Exercices sur le chapitre 3 1 Exercice 4.1 Jean-Louis Poss

Exercices sur le chapitre 3
Jean-Louis Poss
26 mai 2003
1 Exercice 4.1
Un point Mest choisi au hasard sur le cercle de centre Oet de rayon r, c’est-à-dire que l’angle
Θ= (−→ Ox, −−→ OM)est une variable aléatoire de loi uniforme U(−π, π). Déterminer la loi, l’espérance
mathématique et la variance de la variable aléatoire X, abcisse de M.
On a : X=rcos Θ.
La fonction de répartition Fde la variable
aléatoire Xest définie par :
F(x) = P(X< x) = Pcos Θ<x
r.
On a immédiatement :
F(x) = 
0si x≤ −r,
1si x≥r.
Pour −r < x < r on a :
F(x)=1−Pcos Θ≥x
r
= 1 −P−arccos x
r≤Θ≤arccos x r
= 1 −1
πarccos x r·
O
y
rx
M
X
Θ
1

On obtient la densité de probabilité en dérivant :
f(x) = 
0si x≤ −r,
1
πpr2−x2si −r < x < r,
0si x≥r.
Espérance mathématique
E(X) = Zr
−r
x dx
π√r2−x2=−1
πpr2−x2r
−r
= 0.
Variance
E(X2) = Zr
−r
x2dx
π√r2−x2
=r2
πZπ
2
−π
2
sin2t dt, où t= arcsin x
=r2
2πt−1 2sin(2t)π
2
−π
2
=r2
2·
D’où :
Var(X) = r2
2·
2

2 Exercice 4.7
Soit Xune variable aléatoire suivant la loi exponentielle E(α).
1. Déterminer la loi de la variable aléatoire Y=√X.
2. Calculer l’espérance mathématique et la variance de Y.
1. Soit Fla fonction de répartition de la variable aléatoire Y;ona:
F(y) = P(Y< y) = P(√X< y) = 
0si y≤0,
P(X< y2) = FX(y2)si y > 0.
On obtient la densité de probabilité en dérivant :
f(y) == 
0si y < 0,
2yfX(y2) = 2αy exp(−αy2)si y > 0.
Autre méthode (égalité des distributions régulières)
Notant fXet fYles densités de probabilité des variables aléatoires Xet Yon a
∀ϕ∈ D1,
f∗
Y(ϕ) = Eϕ(Y)=ZR
ϕ(y)fY(y)dy
=Eϕ(√X)=ZR ϕ(√x)fX(x)dx =Z∞
0
ϕ(√x)αe−αx dx
=Z∞
0
ϕ(y)αe−αy2(2y dy), en posant y=√x
=g∗(ϕ)
où
g(y) = 
0si y≤0,
2αye−αy2si y > 0.
Puisque f∗
Y=g∗,fYest égale à gpresque partout.
2. Espérance mathématique
E(Y) = 2αZ∞
0
y2exp(−αy2)dy =1
√αΓ3
2=√π
2√α·
Variance
E(Y2) = E(X) = 1
αet Var(Y) = 1 α−π 4α=4−π 4α·
3

3 Exercice 4.12
Par laminage de lingots on obtient des barres d’acier dont la longueur est une variable aléatoire Xde
densité f. Pour obtenir des barres dont la longueur soit égale à la longueur désirée `on tronçonne
celles qui sont trop longues et on rebute celles qui sont trop courtes; la longueur perdue est une
variable aléatoire Ydéfinie par :
Y=(Xsi X< `,
X−`si X≥`.
1. Montrer
E(Y) = E(X)−`Z∞
`
f(x)dx.
2. On suppose que Xsuit la loi normale N(m, σ),σet `étant connus. Déterminer la valeur m0
de mqui rend minimum E(Y). (On pourra poser : `=aσ et m=uσ).
Application numérique : `= 200 cm et σ= 2 cm.
1. Calculons l’espérance mathématique de la variable aléatoire Y:
E(Y) = Z`
0
xf(x)dx +Z∞
`
(x−`)f(x)dx
=Z∞
0
xf(x)dx −`Z∞
`
f(x)dx
=E(X)−`Z∞
`
f(x)dx.
2. On suppose que Xsuit la loi normale N(m, σ). L’espérance mathématique de Yest une fonc-
tion gde mque nous cherchons à minimiser.
g(m) = E(Y) = m−`Z∞
`
1
σ√2πexp−(x−m)2
2σ2dx
=m+`
√πZ`−m
σ√2
+∞
exp(−u2)du, où l’on a posé x=m+σ√2u.
Dérivons par rapport à m:
g0(m) = 1 −`
σ√2πexp−(`−m)2
2σ2.
On a :
g0(m) = 0 ⇔exp(`−m)2
2σ2=`
σ√2π
⇔`−m
σ√22= ln` σ√2π
⇔m=`±σs2 ln `
σ√2π·
4

Le tableau de variations montre que ga un minimum en m0=`+σs2 ln `
σ√2π·
Application numérique : `= 200 cm et σ= 2 cm.
m0= 200 + 2s2 ln 200
2√2π= 205,43 cm.
4 Exercice 4.14
Deux personnes se donnent rendez-vous entre 0 et 1 heure; l’instant d’arrivée de chacune d’elles est
une variable aléatoire uniforme de loi U(0,1) et ces variables sont indépendantes.
1. Le temps d’attente du premier arrivé est une variable aléatoire Zdont on déterminera la loi,
l’espérance mathématique et l’écart-type.
2. On suppose que le premier arrivé part au bout d’une attente égale à E(Z). Quelle est la proba-
bilité de rencontre?
1. Les instants d’arrivée Xet Yde chacune des deux personnes sont des variables aléatoires indé-
pendantes suivant la même loi uniforme U(0,1) ; la densité de probabilité du couple (X,Y)est
donc :
f(X,Y)(x, y) = fX(x)fY(y) = 
1si (x, y)∈[0,1]2,
0sinon.
La fonction de répartition Fde la variable
aléatoire Z=|X−Y|est définie par :
F(z) = P(|X−Y|< z)
=ZZ∆z f(X,Y)(x, y)dx dy.
où ∆z={(x, y)| |x−y|< z}.
F(z)est donc égale à l’aire du domaine en
vert ci-contre. x
y
1
1
0z
z
D’où :
F(z) = 
0si z≤0,
1−(1 −z)2= 2z−z2si 0< z < 1,
1si z≥1.
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