Exercices sur le chapitre 2 1 Exercice 3.6 Jean-Louis Poss

Exercices sur le chapitre 2
Jean-Louis Poss
26 mai 2003
1 Exercice 3.6
Une urne contient nboules blanches et nboules noires. On tire les boules au hasard et sans remise
jusqu’à ce que l’on ait tiré la dernière boule blanche. Soit Kle nombre total de boules tirées.
1. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire K. En déduire la valeur de la somme :
Sn=
k=2n
X
k=n
(k−1)!
(k−n)!·
2. Calculer l’espérance mathématique et la variance de K.
1. Le nombre kde boules tirées est compris entre n(on n’a tiré que des boules blanches) et 2n(on a
tiré toutes les boules); on a, pour k∈ {n, n + 1, . . . , 2n}:
P(K=k) = P(n−1) b. b. en (k−1) t.P1 b. b. au k-ième t. |(n−1) b. b. en (k−1) t.
=Cn−1
nCk−n n
Ck−1
2n
×1
2n−k+ 1 =n(n!) (2n)! ×(k−1)! (k−n)!·
On a donc 2n
X
k=n
n(n!)
(2n)! ×(k−1)! (k−n)! = 1
c’est-à-dire
Sn=
2n
X
k=n
(k−1)!
(k−n)! =(2n)! n(n!)·
2. Espérance mathématique
1

(2n)!
n(n!) E(K) =
2n
X
k=n
k!
(k−n)! =
2n
X
k=n(k+ 1) −1!
(k+ 1) −(n+ 1)!
=
2m−1
X
p=m
(p−1)!
(p−m)! où p=k+ 1 et m=n+ 1
=Sm−(2m−1)!
m!=(2m)! m(m!) −(2m−1)! m!
=(2m−1)!
m!=(2n+ 1)! (n+ 1)! ·
D’où :
E(K) = n(2n+ 1)
n+ 1 ·
Variance
(2n)!
n(n!) EK(K+ 1)=
2n
X
k=n
(k+ 1)!
(k−n)! =· · · = (n+ 1)(2n+ 2)! (n+ 2)!
D’où :
Var(K) = EK(K+ 1)−E(K)−E(K)2=· · · =n2(2n+ 1)
(n+ 1)2(n+ 2)·
2

2 Exercice 3.16
Un lot contient une proportion pd’articles défectueux. On le teste de la façon suivante : on tire des
objets un à un, au hasard et avec remise, et on refuse le lot si on trouve un article défectueux au plus
tard au k-ième tirage (kest un entier donné); on arrête alors les tirages.
1. Déterminer en fonction de pet de kla probabilité de refuser le lot.
2. Soit Nle nombre d’articles tirés pendant le test. Déterminer la loi de probabilité de N(on
étudiera avec soin le cas N=k). Calculer l’espérance mathématique de N; comment varie-t-
elle en fonction de k?
3. On considère qu’un lot est mauvais si la proportion pd’articles défectueux est supérieure ou
égale à une valeur donnée a(0<a<1). Comment doit-on choisir kde façon à ce que la
probabilité d’accepter un mauvais lot soit inférieure ou égale à une valeur donnée b(0<b<
1)?
Application numérique : a= 0,05,b= 0,001. On choisira kde façon à ce que l’espérance
mathématique de Nsoit minimale.
1. On accepte le lot si les karticles tirés ne sont pas défectueux; la probabilité de refuser le lot est
donc :
1−(1 −p)k= 1 −qken posant q= 1 −p.
2. Npeut prendre toutes les valeurs entières de 1 à k.
– Si n<kon a N=nlorsque l’on a tiré le premier article défectueux au n-ième tirage.
– On a N=ksi les k−1premiers articles tirés ne sont pas défectueux; le k-ième article peut être
défectueux ou non.
On a donc :
∀n∈ {1,2, . . . , k −1},P(N=n) = qn−1p
P(N=k) = qk−1
On vérifie que l’on a effectivement une loi de probabilité :
k
X
n=1
P(N=n) =
k−1
X
n=1
qn−1p+qk−1=p1−qk−1
1−q+qk−1= 1.
Calcul de l’espérance mathématique de N.
E(N) =
k−1
X
n=1
nqn−1p+kqk−1=pϕ(q) + kqk−1
où
ϕ(x) =
k−1
X
n=1
nxn−1=k−1
X
n=0
xn0 =1−xk
1−x0
=1−kxk−1+ (k−1)xk
(1 −x)2·
3

Donc :
E(N) = p1−kqk−1+ (k−1)qk
(1 −q)2+kqk−1=1−qk 1−q=h(k)·
Variation de E(N)en fonction de k:
dh
dk =−qk 1−qln q > 0car q∈]0,1[.
3. On accepte le lot si les kpremiers articles tirés ne sont pas défectueux : la probabilité est égale à
qk.
On veut donc avoir qk≤b, soit k≥ln b
ln q·
Or :
p≥a⇔q≤1−a⇔ln q≤ln(1 −a)⇔ln b
ln q≤ln b ln(1 −a)·
Il faut donc choisir
k≥ln b
ln(1 −a)·
Application numérique : on choisit k≥134,67, donc k= 135.
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3 Exercice 3.20
Vérifier l’égalité : m
X
n=k
Cn
mCk nxnym−nzktn−k=Ck m(xz)k(y+xt)m−k.
Soit Nune variable binomiale de loi B(m, a)et Xune variable suivant la loi binomiale B(N, p), où
m,pet asont des paramètres donnés; montrer que Xsuit une loi binomiale que l’on déterminera (et
dont les paramètres ne dépendent que de m,pet a).
Vérifions l’égalité :
m
X
n=k
Cn
mCk nxnym−nzktn−k=
m
X
n=0
m!
(m−n)!k!(n−k)!(xz)k(xt)n−kym−n
=Ck
m(xz)k
m
X
n=0
Cm−n
m−kym−n(xt)(m−k)−(m−n)
=Ck
m(xz)k(y+xt)m−k.
Xprend des valeurs entières entre 0 et N, qui, elle-même, prend des valeurs entières entre 0 et m:
donc Xprend des valeurs entières entre 0 et m.
∀k∈ {0,1, . . . , m},
P(X=k) =
m
X
n=0
P(N=n)P(X=k|N=n)
=
m
X
n=0Cn
man(1 −a)m−nCk npk(1 −p)n−k
=Ck
m(ap)k(1 −a) + a(1 −p)m−k=Ck m(ap)k(1 −ap)m−k
Xsuit donc la loi binomiale B(m, ap).
Remarque
Ce résultat est « évident » : Nest le nombre de boules blanches tirées dans une urne en mtirages, la
probabilité de tirer une boule blanche étant égale à a;Xest le nombre de boules blanches tirées dans
une urne en Ntirages, la probabilité de tirer une boule blanche étant égale à p. Effectuons mtirages
simultanés dans les deux urnes : le nombre de succès, tirages d’une boule blanche dans chaque urne,
suit la loi binomiale B(m, ap).
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