EXERCICE 3 (5 points ) Commun à tous les candidats

EXERCICE 3 (5 points )
Commun à tous les candidats
Cet exercice comporte deux parties indépendantes.
La partie Iest la démonstration d’un résultat de cours. La partie II est un Q.C.M.
PARTIE I
Question de cours
Soient Aet Bdeux événements indépendants. Démontrer que Aet Bsont indépendants.
Partie II
Pour chacune des questions suivantes, une et une seule des quatre propositions est exacte. Le candidat
indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse fausse enlève
1/2 point. L’absence de réponse est comptée 0 point. Si le total de cette partie est négatif, la note
correspondant à la partie II est ramenée à zéro.
1) Une urne comporte cinq boules noires et trois boules rouges indiscernables au toucher.
On extrait simultanément trois boules de l’urne.
Quelle est la probabilité d’obtenir deux boules noires et une boule rouge?
A75
512 B13 56 C15 64 D15 28
2) Au cours d’une épidémie de grippe, on vaccine le tiers de la population.
Parmi les grippés, un sur dix est vacciné. La probabilité qu’une personne choisie au hasard dans la
population soit grippée est 0,25.
Quelle est la probabilité pour un individu vacciné de cette population de contracter la grippe?
A1
120 B3 40 C1 12 D4 30
3) Un joueur lance une fois un dé bien équilibré.
Il gagne 10 ¤si le dé marque 1. Il gagne 1¤si le dé marque 2ou 4. Il ne gagne rien dans tous les
autres cas.
Soit Xla variable aléatoire égale au gain du joueur. Quelle est la variance de X?
A2B13 C16 D17
4) La durée d’attente T, en minutes, à un péage d’autoroute avant le passage en caisse est une
variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre λ= 1/6.
On a donc pour tout réel t > 0:P(T < t) = Zt
0
λe−λx dx (avec λ= 1/6) où tdésigne le temps
exprimé en minutes.
Sachant qu’un automobiliste a déjà attendu 2minutes, quelle est la probabilité (arrondie à 10−4près)
que son temps total d’attente soit inférieur à 5minutes?
A0,2819 B0,3935 C0,5654 D0,6065
4

EXERCICE 3
PARTIE I
Question de cours
Aet Bsont indépendants et donc pA(B) = p(B)ou aussi p(A∩B) = p(A)p(B).
D’après la formule des probabilités totales, on a alors
p(A) = p(A∩B) + p(A∩B) = p(A)p(B) + p(A∩B).
Par suite,
p(A∩B) = p(A) − p(A)p(B) = p(A)(1−p(B)) = p(A)p(B).
Ainsi, p(A∩B) = p(A)p(B)ou encore pA(B) = p(B)et on a montré que les événements Aet Bsont indépendants.
PARTIE II
1◦)D
2◦)B
3◦)B
4◦)B
Explications.
1◦)Le nombre de tirages simultanés de trois boules parmi 5+3=8est 8
3=8×7×6
3×2=56. Parmi ces 56 tirages
possibles, il y a 5
2×3
1tirages contenant deux boules noires et une boule rouge avec 5
2×3
1=5×4
2×3=30.
La probabilité cherchée est donc
30
56 =15 28 .
2◦)On choisit un individu au hasard et on note Vl’événement « l’individu a été vacciné » et Gl’événement « l’individu
a contracté la grippe ».
L’énoncé fournit p(V) = 1
3,p(G) = 0, 25 =1 4et pG(V) = 1 10 .
La probabilité demandée est pV(G).
pV(G) = p(G∩V)
p(V)=p(G)×pG(V) p(V)=
1
4×1 10
1
3
=3
40 .
3◦)Xprend les valeurs x1=0,x2=1et x3=10. La loi de probabilité de Xest donnée dans le tableau suivant :
xi0 1 10
p(X=xi)1/2 1/3 1/6
Calculons l’espérance de X.
E(X) = p(X=x1)x1+p(X=x2)x2+p(X=x3)x3=0×1
2+1×1 3+10 ×1 6=1 3+5 3=6 3=2.
Calculons la variance de X.
V(X) = p(X=x1)(x1−E(X))2+p(X=x2)(x2−E(X))2+p(X=x3)(x3−E(X))2=1
2(0−2)2+1 3(1−2)2+1 6(10 −2)2
=2+1
3+32 3=2+11 =13.
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4◦)Soit tun réel positif. P(T < t) = Zt
0
λe−λx dx =−e−λxt
0=1−e−λt =1−e−t/6. La probabilité demandée est
pT≥2(T < 5).
pT≥2(T < 5) = p((T < 5)∩(T≥2)
p(T≥2)=p(T < 5) − p(T < 2) 1−p(T < 2)=(1−e−5/6) − (1−e−2/6)
e−2/6
=e−2/6 −e−5/6
e−2/6 =1−e−5/6+2/6 =1−e−1/2 =0, 39346 . . .
=0, 3935 à10−4près.
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