A. MIRA H. Zerouati Mesure et intégration - E

MINISTÈRE DE L’ENSEIGNEMENT SUPÉRIEUR ET DE LA
RECHERCHE SCIENTIFIQUE
UNIVERSITÉ DE BEJAIA
A. MIRA
FACULTÉ DES SCIENCES EXACTES
Cours Mathématiques
Spécialité : S. T. I. D
Par
H. Zerouati
THÈME
Mesure et intégration

Mesure et intégration
i H. Zerouati

Table des matières
1 Algèbre d’ensembles 1
1.1 Notationsusuelles................................. 1
1.2 Clan ........................................ 1
1.3 Semi-anneau ................................... 5
1.4 -clan ....................................... 5
1.5 -algèbre-Tribu ................................. 6
1.6 Algèbre engendrée par une famille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.7 La -algèbreborélienne.............................. 7
1.8 Classemonotone ................................. 8
1.9 Classe monotone engendrée par un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Mesures positives 11
2.1 Fonction additive d’ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.1 Fonction -additive d’ensembles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.2 Mesures................................... 11
2.1.3 Mesures complètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1.4 Mesure de Lebesgue .......................... 29
3 Applications mesurables 34
3.1 Généralités sur les applications mesurables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.1.1 applications mesurables. ....................... 34
4 Modes de convergence 43
5 Intégrales de Lebesgue 46
5.1 Fonctionsétagées ................................. 46
ii H. Zerouati

Table des matières
5.2 Intégrale de Lebesgue des fonctions étagées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.3 Intégrale de Lebesgue d’une fonction positive . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.4 Intégrale des fonctions de signe quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.5 Continuité absolue de l’intégrale de Lebesgue. . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.6 Passage à la limite sous le signe de l’intégrale de Lebesgue. . . . . . . . . . . 55
5.7 Intégration des fonctions complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6 Mesure produit 66
6.1 Produitcartésien ................................. 66
6.2 Rectanglemesurable ............................... 66
6.3 Tribuproduit ................................... 67
7 Espaces de Lebesgue 75
7.1 Fonctionsconvexes................................ 75
7.2 Inégalités ..................................... 79
7.3 Espaces Lp(1 p+1)............................ 82
7.4 Espaces Lp(1 p+1)............................ 85
Bibliographie 91
iii H. Zerouati

1
Algèbre d’ensembles
1.1 Notations usuelles
Dé…nition
Un ensemble est une collection d’objets rassemblés par une même propriété
Soit Eun ensemble,on note P(E)l’ensemble des parties de Edé…ni par .
P(E) = fX:XEg
A=EA=fx2Eet x =2Ag
AB=fx2E:x2Aet x =2Bg=A\B
AB= (AB)[(BA)
1.2 Clan
Soit Eun ensemble non vide.
Dé…nition
On appelle clan de parties de Eou anneau de Boole ou encore anneau booléen tout sous
ensemble Cde P(E)véri…ant
1 H. Zerouati