Analyse spectrale

Virginie Ehrlacher et Gabriel Stoltz
Analyse spectrale
20 juin 2015
Cours ENPC - IMI - 2ème année

Table des matières
Partie I Transformée de Fourier et applications
1 Transformation de Fourier .................................................. 3
1.1 Transformation de Fourier dans L1......................................... 3
1.1.1 Définition et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.3 Transformée de Fourier inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Transformation de Fourier des fonctions indéfiniment dérivables à décroissance
rapide................................................................... 6
1.2.1 Définition de l’espace S............................................ 6
1.2.2 Transformation de Fourier dans S................................... 7
1.3 L’espace des distributions tempérées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.1 Définition des distributions tempérées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.2 Convergence et dérivation dans S′................................... 9
1.3.3 Distributions tempérées particulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.4 Transformation de Fourier dans S′................................... 10
1.4 Applications aux espaces de Lebesgue et de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.1 Isométrie de la transformation de Fourier dans L2...................... 11
1.4.2 Espaces de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5 Résolution d’équations aux dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5.1 Equation de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5.2 Equation de Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.6 Applications en théorie des probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.6.1 Premières propriétés des fonctions caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.6.2 Le théorème de Bochner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2 Echantillonnage et transformée de Fourier discrète ......................... 17
2.1 Séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.1 Convergence ponctuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.2 Convergence L2.................................................... 18
2.2 Distributions périodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.2 Caractérisation d’une distribution périodique par sa série de Fourier . . . . . . 19
2.2.3 Transformée de Fourier des distributions périodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3 Echantillonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3.1 Echantillonnage d’un signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3.2 Théorème de Shannon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4 Le recouvrement spectral (aliasing) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4.1 Exemple de repliement spectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

VI Table des matières
2.4.2 Suppression de l’aliasing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.5 Transformée de Fourier discrète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.6 Transformée de Fourier rapide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.6.1 Présentation générale de la méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.6.2 Calcul de complexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Partie II Introduction à la théorie spectrale
3 Introduction à la théorie spectrale .......................................... 31
3.1 Opérateurs linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.1.2 Opérateurs bornés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.1.3 Inverse d’un opérateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.1.4 Adjoint d’un opérateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2 Théorie spectrale des opérateurs bornés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2.1 Théorie générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2.2 Cas des opérateurs bornés autoadjoints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2.3 Quelques éléments sur la théorie spectrale des opérateurs non bornés . . . . . . 42
3.2.4 Invariance par transformation unitaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3 Opérateurs compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.3.1 Rappels et compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.3.2 Définition et premières propriétés des opérateurs compacts . . . . . . . . . . . . . . 44
3.3.3 Le théorème de Rellich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.3.4 Théorie spectrale des opérateurs compact autoadjoints . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.3.5 Opérateurs à résolvante compacte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.4.1 Equation de la chaleur et équation des ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.4.2 Equation de Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.4.3 Equation de Fokker-Planck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Rappels et compléments ........................................................ 57
4.1 Distributions à support compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Bibliographie ................................................................... 59

Partie I
Transformée de Fourier et applications