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Correction de l'activité 1 p 228
Données: le quadrilatère FORT est un parallélogramme
les droites (OI) et (RS) sont perpendiculaires à la droite (FT).
1) a) Je montre que le quadrilatère ROIS est un rectangle.
Méthode 1:
Etape 1: je montre que les droites (OR) et (FT) sont parallèles
Données Propriété Conclusion
le quadrilatère FORT est un
parallélogramme
Si un quadrilatère est un
parallélogramme alors ses côtés
opposées sont parallèles
Donc les droites (OR) et (FT)
sont parallèles
Etape 2: Je montre que les droites (OI) et (OR) sont perpendiculaires
Données Propriété Conclusion
les droites (OR) et (FT) sont
parallèles
Les droites (OI) et (FT) sont
perpendiculaires
Si deux droites sont
perpendiculaires alors toute
perpendiculaire à l'une est
perpendiculaires à l'autre
Donc les droites (OI) et (OR) sont
perpendiculaires
Etape 3: je montre que ROPIS est un rectangle
Données Propriété Conclusion
les droites (OI) et (RS) sont
perpendiculaires à la droite (FT)
et les droites (OI) et (OR) sont
perpendiculaires
Si un quadrilatère a au moins
trois angles droits alors c'est un
rectangle
Donc ROIS est un rectangle
Méthode 2
Pour utiliser cette méthode il faut connaître la propriété: si un parallélogramme a un angle droit alors c'est un
rectangle
Certains ont utilisé cette propriété donc je vous fais le raisonnement
Etape 1 : je montre que les droites (OR) et (FT) sont parallèles
Données Propriété Conclusion
le quadrilatère FORT est un
parallélogramme
Si un quadrilatère est un
parallélogramme alors ses côtés
opposées sont parallèles
Donc les droites (OR) et (FT)
sont parallèles
Etape 2: Je montre que les droite (OI) et (RS) sont parallèles
Données Propriété Conclusion
les droites (OI) et (RS) sont
perpendiculaires à la droite (FT)
Si deux droites sont
perpendiculaires à la même
droite alors elles sont parallèles
Donc les droites (OI) et (RS) sont
parallèles

Etape 3: Je montre que ROIS est un parallélogramme
Données Propriété Conclusion
les droites (OI) et (RS) sont
parallèles
les droites (OR) et (FT) sont
parallèles
Si un quadrilatère a ses côtés
opposés parallèles deux à deux
alors c'est un parallèlogramme
Dons ROIS est un
parallélogramme
Etape 4: Je montre que ROIS est un rectangle
Données Propriété Conclusion
ROIS est un parallélogramme
les droites (OI) et (FT) sont
perpendiculaires
S est un point de (FT)
si un parallélogramme a un angle
droit alors c'est un rectangle
Donc ROIS est un rectangle
b) Je montre FO = TR
Données Propriété Conclusion
le quadrilatère FORT est un
parallélogramme
Si un quadrilatère est un
parallélogramme alors ses côtés
opposées sont égaux
Donc FO = TR
Je montre OI= RS
Données Propriété Conclusion
le quadrilatère ROIS est un
rectangle
Si un quadrilatère est un
rectangle alors ses côtés
opposées sont égaux
Donc OI = RS
c) Je montre que FT = IS
Etape 1: je montre que FT = OR
Données Propriété Conclusion
le quadrilatère FORT est un
parallélogramme
Si un quadrilatère est un
parallélogramme alors ses côtés
opposées sont égaux
Donc FT = OR
Etape 2: Je montre que IS = OR
Données Propriété Conclusion
le quadrilatère ROIS est un
rectangle
Si un quadrilatère est un
rectangle alors ses côtés
opposées sont égaux
Donc I S = OR

Etape 3 : Je montre que FT = IS
Données Propriété Conclusion
On a : IS = OR
et FT = OR
Si deux nombres sont égaux à
un même troisième alors ils
sont égaux entre eux
Donc FT = IS
Je montre que FI = TS
Pour cette question je vais avoir des calculs de longueur et donc on a pas de démonstrations en trois
colonnes
Le point I est sur le segment [FT] donc FT = FI + IT par conséquent FI = FT – IT
Le point T est sur le segment [IS] donc IS = IT + TS par conséquent TS = IS – IT
Comme FT = IS et que nous soustrayons IT à chacune des longueur, on en déduit que FI = TS
2) a) Je compare les aires des triangles FOI et TRS
Les triangles FOI et RTS sont des triangles rectangles donc leurs aires sont égales à la moitié des
aires des rectangles formés à partir des côtés de leurs angles droits.
L'aire de FOI est égale à :
FI ×OI
2
et l'aire de TRS est égale à :
TS ×RS
2
Or d'après la question 1) c) FI = TS et d'après la question 1) b) OI = RS
donc
FI ×OI
=
TS×RS
Par conséquent les aires sont égales.
b) J'en déduis que l'aire du parallélogramme FORT = l'aire du rectangle ROIS
L'aire du parallélogramme FORT est égale à l'aire du triangle FOI à laquelle il faut ajouter
l'aire du quadrilatère OITR
L'aire du rectangle ROIS et égale à l'aire du quadrilatère OITR à laquelle il faut ajouter l'aire du
triangle TRS
On a une partie commune dans les deux quadrilatères et les aires des triangles sont égales
donc l'aire du parallélogramme FORT = l'aire du rectangle ROIS.
c) Les expressions qui donnent l'aire du parallélogramme
On a
OI ×RO
car [OR] est le côté et (OI) est perpendiculaire à (OR)
Le segment [OI] et la longueur de ce segment sont appélés hauteur du parallélogramme
FT ×OI
car [FT] est le côté et (OI) est perpendiculaire à (FT)
RS ×FT
car [FT] est le côté et (RS) est perpendiculaire à (FT)
RO×RS
car [OR] est le côté et (RS) est perpendiculaire à (OR)
d) L'aire du parallèlogramme FORT:
La formule est :
OI ×RO
avec OI = 2,5 cm et OR = 5 cm l'aire est
5×2,5
= 12,5
L'aire est de 12,5 cm²