Interrogation de trigonométrie A Exercice 1 Sur la figure ci-dessous, le plan est orienté dans le sens trigonométrique et C est le cercle trigonométrique de centre O. Placer sur ce cercle les points correspondants aux réels suivants, en laissant les traits de construction apparents : Nombre Point associé 3π 2 π 3 A −8 π −π 6 C Interrogation de trigonométrie B Exercice 1 Sur la figure ci-dessous, le plan est orienté dans le sens trigonométrique et C est le cercle trigonométrique de centre O. Placer sur ce cercle les points correspondants aux réels suivants, en laissant les traits de construction apparents : Nombre −π 2 π 4 Point associé −5 π C 2π 3 D E 5π 6 E 3π F 10 π F 16 π 3 G 15π 4 G 7π 6 H 7π 3 H − 5π 4 B D Exercice 2 Les nombres suivants sont-ils associés au même point du cercle trigonométrique ? Justifier (méthode au choix). −11 π 8π a) π et ; b) −π et . 6 3 6 3 Exercice 3 −1 Le nombre x est un réel de l'intervalle [ π ; π ] tel que cos x = . 4 2 a) Placer sur le cercle trigonométrique de l'exercice 1 le point M associé à x. b) Calculer sin x. − A B Exercice 2 Les nombres suivants sont-ils associés au même point du cercle trigonométrique ? Justifier (méthode au choix). −11 π 14 π 8π a) π et ; b) et . 4 3 3 4 Exercice 3 −3 Le nombre x est un réel de l'intervalle [−π ;− π ] tel que cos x= . 4 2 a) Placer sur le cercle trigonométrique de l'exercice 1 le point M associé à x. b) Calculer sin x. Correction Sujet A Correction Sujet A Exercice 1 Exercice 1 Exercice 2 Deux nombres réels sont associés à un même point du cercle trigonométrique ssi leur différence est de la forme 2 k π , où k est un entier relatif. Exercice 2 Deux nombres réels sont associés à un même point du cercle trigonométrique ssi leur différence est de la forme 2 k π , où k est un entier relatif. π −( −11 π )= 12 π =2 π×1 6 6 6 donc ces deux nombres correspondent à un même point. a) a) 8 π −9 π =−3 π ; ce nombre n'est pas de la forme 2 k π b) −π − = 3 3 3 (avec k un nombre entier) donc ces deux nombres ne correspondent pas à un même point du cercle trigonométrique mais à deux points diamétralement opposés. Exercice 3 a) Le point M est le point du cercle trigonométrique dont l'abscisse est −1 et dont l'ordonnée est positive puisque x ∈[ π ; π] . 4 2 b ) D'après la propriété des carrés, (sin x )2+(cos x)2=1 15 15 −1 2 16 1 15 donc sin( x)2=1−( ) = − = donc sin x= √ . ou − √ 4 16 16 16 4 4 15 Or x ∈[ π ; π] donc sin x≥0 donc sin x= √ . 2 4 π −( −11 π )= 12 π =3 π 4 4 4 Ce nombre n'est pas de la forme 2 k π (avec k un nombre entier) donc ces deux nombres ne correspondent pas à un même point du cercle trigonométrique mais à deux points diamétralement opposés. 14 π 8 π 6 π − = =2 π=2 π×1 ; 3 3 3 donc ces deux nombres correspondent à un même point. b) Exercice 3 a) Le point M est le point du cercle trigonométrique dont l'abscisse est −3 et dont l'ordonnée est négative puisque x ∈[−π ;− π ] . 4 2 b ) D'après la propriété des carrés, (sin x )2+(cos x)2=1 7 7 −3 2 16 9 7 donc sin( x)2=1−( donc sin x= √ ou − √ . )= − = 4 16 16 16 4 4 − 7 Or x ∈[−π ;− π ] donc sin x≤0 donc sin x= √ . 2 4