I- Définition:

POLYGONES REGULIERS
I- Définition:
On dit qu'un polygone est régulier si:
- tous ses côtés ont la même longueur
- tous ses angles sont égaux
II- Exemples:
1) Un polygone régulier à 3 côtés est un triangle équilatéral
2) Un polygone régulier à 4 côtés est un carré
Attention:
Un losange n'est pas un polygone régulier (tous ses angles ne sont pas égaux).
Un rectangle n'est pas un polygone régulier (tous ses côtés ne sont pas égaux).
3) D'autres exemples:
Pentagone régulier Hexagone régulier Octogone régulier
III- Propriété:
Tout polygone régulier est inscriptible dans un cercle. (cela signifie qu'étant donné un polygone
régulier, on peut toujours tracer un cercle passant par tous les sommets de ce polygone; ce cercle
est appelé cercle circonscrit au polygone régulier).
Exemple:
Un octogone régulier et le cercle circonscrit à cet octogone
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IV- Construction à partir du cercle circonscrit:
Exemple:
Construire un pentagone régulier inscrit dans un cercle donné de centre O.
360 : 5 = 72
On place donc sur le cercle les points A, B, C,
D, E tels que
AOB = BOC = COD = DOE = EOA = 72°
On obtient la figure ci-contre:
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V- Calculs dans un polygone régulier:
Soit ABCDEFGH un octogone régulier
inscrit dans un cercle de centre O, de
rayon 5 cm.
1) Calculer l'angle AOB
2) Soit K le pied de la hauteur issue de O
dans le triangle AOB.
a) Justifier que (OK) est la bissectrice de
l'angle AOB
b) En déduire la mesure de l'angle AOK
c) Calculer la valeur exacte de OK et de
AK
3) a) Montrer que K est le milieu de [AB]
b) En déduire la valeur exacte de AB
4) Calculer le périmètre de l'octogone
ABCDEFGH (donner d'abord la valeur
exacte, puis la valeur arrondie au cm)
5) a) Calculer la valeur exacte de l'aire du
triangle AOB
b) En déduire l'aire de l'octogone
ABCDEFGH (donner d'abord la valeur
exacte, puis la valeur arrondie au cm2)
1) AOB = 360 : 8 = 45°
2) a) AOB est un triangle isocèle en O car OA = OB.
Dans un triangle isocèle, la hauteur issue du sommet
principal est aussi bissectrice de l'angle ayant pour
sommet le sommet principal.
Donc: (OK) est la bissectrice de l'angle AOB
b) AOK = AOB : 2 = 45 : 2 = 22,5°
c) Dans le triangle AOK:
cos AOK = OK / OA
cos 22,5° = OK / 5
OK = 5 x cos 22,5° cm
sin AOK = AK / OA
sin 22,5° = AK / 5
AK = 5 x sin 22,5° cm
3) a) Dans un triangle isocèle, la hauteur issue du
sommet principal est aussi la médiatrice de la base.
Donc: K est le milieu de [AB]
b) AB = 2 x AK = 2 x 5 x sin 22,5°
AB = 10 x sin 22,5° cm
4) Périmètre de ABCDEFGH = 8 x AB
= 8 x 10 x sin 22,5°
= 80 x sin 22,5° cm (valeur exacte)
≈ 30,6 cm (valeur arrondie au mm)
5) a) Aire de AOB = (AB x OK) / 2
= (10 x sin 22,5° x 5 x cos 22,5°) : 2
= 25 x sin 22,5° x cos 22,5° cm2
c) Aire de ABCDEFGH = 8 x aire de AOB
= 8 x 25 x sin 22,5° x cos 22,5°
= 200 x sin 22,5° x cos 22,5° cm2 (valeur exacte)
≈ 70,71 cm2 (valeur arrondie au mm2)
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VI - Exercice:
Soit ABCDE un pentagone régulier inscrit dans un cercle de
centre O, de rayon 6 cm.
1) Calculer l'angle AOB
2) Soit H le pied de la hauteur issue de O dans le triangle
AOB.
a) Justifier que (OH) est la bissectrice de l'angle AOB
b) En déduire la mesure de l'angle AOH
c) Calculer la valeur exacte de OH et de AH
3) a) Montrer que H est le milieu de [AB]
b) En déduire la valeur exacte de AB
4) Calculer le périmètre du pentagone ABCDE (donner
d'abord la valeur exacte, puis la valeur arrondie au cm)
5) a) Calculer la valeur exacte de l'aire du triangle AOB
b) En déduire l'aire du pentagone ABCDE (donner d'abord la
valeur exacte, puis la valeur arrondie au cm2)
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POLYGONES REGULIERS
CORRECTION DES EXERCICES
1) AOB = 360 : 5 = 72°
2) a) AOB est un triangle isocèle en O car OA = OB.
Dans un triangle isocèle, la hauteur issue du sommet principal
est aussi bissectrice de l'angle ayant pour sommet le sommet
principal.
Donc: (OH) est la bissectrice de l'angle AOB
b) AOH = AOB : 2 = 72 : 2 = 36°
c) Dans le triangle AOH:
cos AOH = OH / OA
cos 36° = OH / 6
OH = 6 x cos 36° cm
sin AOH = AH / OA
sin 36° = AH / 6
AH = 6 x sin 36° cm
3) a) Dans un triangle isocèle, la hauteur issue du sommet
principal est aussi la médiatrice de la base.
Donc: H est le milieu de [AB]
b) AB = 2 x AH = 2 x 6 x sin 36°
AB = 12 x sin 36° cm
4) Périmètre de ABCDE = 5 x AB
= 5 x 12 x sin 36°
= 60 x sin 36° cm (valeur exacte)
≈ 35,3 cm (valeur arrondie au mm)
5) a) Aire de AOB = (AB x OH) / 2
= (12 x sin 36° x 6 x cos 36°) / 2
= 36 x sin 36° x cos 36° cm2
c) Aire de ABCDE = 5 x aire de AOB
= 5 x 36 x sin 36° x cos 36°
= 180 x sin 36° x cos 36° cm2 (valeur exacte)
≈ 85,60 cm2 (valeur arrondie au mm2)
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