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Oraux Centrale Math 2
- ORAUX MATHS CENTRALE 2 -
Nicolas Mary - IPT PC* 1/17

Oraux Centrale Math 2
Commentaires et Conseils : Extraits des Rapports de Jury 2015 et 2016
Présentation de l’épreuve
L’épreuve de Mathématiques II est un oral de 30 minutes environ autour d’un énoncé d’un seul exercice com-
portant plusieurs questions, précédé d’une préparation de 30 minutes également.
Le sujet est constitué d’un seul exercice comportant plusieurs questions de difficultés progressives et faisant
appel, pour certaines, à l’usage de l’outil informatique.
Les questions demandant l’utilisation de logiciels sont principalement orientées dans la mise en œuvre d’exemples,
de simulation et de représentation, nécessitant l’élaboration de conjectures. Lors de la préparation, le candidat
dispose d’un ordinateur sur lequel sont installés les logiciels Pyzo et Scilab, ainsi que des documents d’aide pré-
sentant les fonctions des bibliothèques qui pourront être utiles sans pour autant être exigibles.
À l’issue de la préparation le candidat doit présenter à l’examinateur les résultats qu’il a obtenus. Cette
présentation pouvant se faire au tableau et/ou devant l’ordinateur, le candidat pouvant faire des allers-retours entre
l’ordinateur et le tableau. L’examinateur évalue durant cette présentation la qualité de la pratique mathématique
en regard des prestations des autres candidats. Il tient compte aussi, même si ce n’est pas le but principal de
l’épreuve, de l’usage de l’outil informatique, tant du point de vue de son efficacité que de sa pertinence.
La partie informatique
Pour la présentation de ce qui a été fait en informatique, il est attendu du candidat qu’il présente sommairement
ses fonctions ou programmes. Il est conseillé pour cela de tout faire dans la partie éditeur du logiciel
et non tout taper dans le shell (ou console) car il est souvent difficile pour l’examinateur et même le candidat de
retrouver les résultats obtenus. Une bonne majorité ne fait pas attention aux erreurs de syntaxes et/ou de frappes
et semble surpris de ne rien obtenir, les messages d’erreurs n’étant souvent pas lus. Il est vivement recommandé
d’écrire les fonctions ou les boucles permettant d’obtenir une suite de résultats, dans l’éditeur.
Une bonne majorité de candidats ne fait pas attention aux erreurs de syntaxes et/ou de frappes et semble
surpris de ne rien obtenir, les messages d’erreurs n’étant souvent pas lus. Il est vivement recommander d’écrire les
fonctions ou les boucles permettant d’obtenir une suite de résultats, dans l’éditeur.
Il est regrettable que beaucoup de candidats n’osent pas lancer leurs codes ou, ce qui est plus préjudiciable, ne
le testent pas.
Python ne donnant que des valeurs approchées il est surprenant que certains candidats ne lisent pas tous les
chiffres à l’écran et parlent de valeurs non nulles alors que le programme répond un nombre finissant par e-16.
L’utilisation de définition locale de fonctions dans des boucles et des fonctions générales n’est pas
connue. Cela pose souvent des problèmes, par exemple pour définir des fonctions définies par des intégrales.
Il est souvent demandé au candidat de représenter les premiers termes d’une suite numérique. On
attend donc une représentation sous forme d’un ensemble de points d’abscisses dans l’ensemble des entiers. Cela
permet d’avoir une vision plus globale du comportement de la suite.
Nous avons encore rencontré des candidats, heureusement en nombre faible, ayant du mal à écrire correctement
de simples boucles, mettant l’initialisation d’une variable à l’intérieur de la boucle.
Toujours dans la représentation, lorsqu’il est demandé de représenter le graphe d’une fonction il est judicieux
de choisir un intervalle de représentation cohérent et qui permet une lecture. Il est donc inutile de prendre de trop
grands intervalles même dans le cas de la recherche d’une conjecture du comportement asymptotique d’une fonction.
Aucun document n’est autorisé lors de l’épreuve à l’exception des aides officielles sur Python, fournies par
l’examinateur. Ces aides ne sont malheureusement pas suffisamment lues correctement malgré les conseils de
l’examinateur au début de la préparation.
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Enoncé 1 :MP 2016
Soit n∈N. On note σ(n)la somme des chiffres de la décomposition en base 2 de net sn= (−1)σ(n)
1. Écrire avec Python une fonction digits d’argument n et qui renvoie la liste des chiffres de la
décomposition en base 2 de n.(ex : digits(8) renvoie [0,0,0,1])
2. (a) Exprimer σ(2n)et σ(2n+ 1) en fonction de σ(n).
(b) Écrire une fonction Python d’argument Nrenvoyant la liste [sm]0≤m≤N.
(c) Écrire une fonction Python d’argument Nrenvoyant la liste "m
X
k=0
sk#0≤m≤N .
(d) Tester cette dernière fonction. En déduire une conjecture et la démontrer.
3. Soit (en)une suite réelle décroissante de limite nulle et (vn)une suite complexe telle que la suite
(Vn) = n
X
k=0
vk!est bornée. Montrer que la série de terme général envnconverge.
4. définition : Soit (un)une suite de complexes non nuls.
On dit que Y
n≥0
unconverge si la suite de terme général Pn=
n
Y
k=0
ukadmet une limite non nulle.
(a) Montrer que Y
n≥02n+ 1
2n+ 2sn
converge. On note P=
+∞
Y
n=0 2n+ 1
2n+ 2sn
sa limite.
(b) A l’aide de Python, donner une bonne approximation de P.
(c) On admet que Q=
+∞
Y
n=1 2n
2n+ 1sn
et R=
+∞
Y
n=1 n
n+ 1sn
existent.
Exprimer Rde 2 façons différentes en fonction de Pet Q. En déduire la valeur exacte de P.
décomposition base 2, listes, approximation séries numériques
Analyse
Les propriétés obtenues en question 2. serviront certainement lors de la question 4(a). En effet il semble
tentant de vouloir y appliquer le résultat de la question 3.
Bien noter la définition d’un produit convergent qui impose deux conditions.
Pour appliquer la question 3, il faudra alors trouver un moyen de relier produit et somme ...
Indication pour 3. : Calculer de deux façons différentes la quantité
n
X
k=0
ek(Vk+1 −Vk)
................................................................................................................
Solution
1. On n’oubliera pas de tester sa fonction :
1def d ig it s ( n ):
2temp = n
3if n==0: # cas part
4return [0]
5else:# cas gé né ral
6L =[]
7while temp!=0:
8L. app end ( t emp %2)
9temp = temp //2
10 return L
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2. (a) Multiplier un nombre par 2 revient à décaler (vers la droite ici) la liste des chiffres de sa décomposition en base
2. Plus précisément, si digits(n)=[a0,a1,...,ap]
alors digits(2n)=[0,a0,a1,...,ap] et donc digits(2n+1)=[1,a0,a1,...,ap].
On en déduit que ∀n∈N,σ2n=σnet σ2n+1 =σn+ 1. D’où s2n=sn,s2n+1 =−snet donc s2n+s2n+1 = 0
(b) Voici les deux fonctions demandées et testées :
1def s uit e ( N ):
2return [(-1)**sum ( digits ( n)) for nin range ( N +1 )]
3
4# terme s de la suite jusqu au rang 24
5prin t ( su ite (26)) # rép:[1,-1,-1,1,-1,1,1,-1,-1,1,1,-1,1,-1,-1,1,-1,1,1,-1,1,-1,-1,1,1]
6
7
8def s om me pa rt ( N ):
9l= suite ( N)
10 return [sum( l [: n ]) for nin range ( N +1 )]
11
12 # termes de la suite des sommes pa r tielles jusqu au rang 24
13 prin t ( som mepart (26)) # rép : [0 ,1 ,0 , -1 ,0 , -1 ,0 ,1 ,0 , -1 ,0 ,1 ,0 ,1 ,0 , -1 ,0 , -1 ,0 ,1 ,0 ,1 ,0 , -1 ,0]
(c) Montrons (comme le laisse penser le test précédent) que la suite (Sn)n= n
X
k=0
sk!n qui est bornée (par 1) :
Lorsque n= 2Nest pair, S2N=
N
X
k=0
(s2k+s2k+1) =
N
X
k=0
0=0donc |S2N| ≤ 1
Lorsque n= 2N+ 1 est pair, S2N+1 =S2N+s2N+1 = 0 + (−1)σ2N+1 donc |S2N+1| ≤ 1
3. (question technique)Avec les notations de l’énoncé, posons, pour tout n,Un=
n
X
k=0
ekvk.
Nous devons donc démontrer que la suite complexe (Un)nest convergente. Faisons intervenir (Vn)comme nous y
invite l’énoncé :
Or Un=
n
X
k=0
ek(Vk+1 −Vk) =
n
X
k=0
ekVk+1 −
n
X
k=0
ekVk=
chgt indice
n+1
X
k=1
ek−1Vk−
n
X
k=0
ekVk
et finalement, en regroupant les deux sommes après mise à l’écart des termes extrémaux :
Un=−e0V0+enVn+1 +
n
X
k=1
Vk(ek−1−ek).
Le premier terme est une constante et le second tend vers 0 ((en)de limite nulle et (Vn)bornée)
Il reste à montrer que le 3e est convergent i.e. que la série complexe XVk(ek−1−ek)est convergente :
|Vk(ek−1−ek)| ≤ M(ek−1−ek)car (en)décroissante. (Mest une constante positive qui borne (Vn))
Or XM(ek−ek−1)est une série télescopique convergente puisque la suite (Men)est convergente.
D’où par le théorème de comparaison pour les séries à TG positifs, la série X|Vk(ek−ek−1)|converge.
i.e. la série complexe XVk(ek−ek−1)converge absolument donc converge , CQFD
4. (a) Ici, ln(Pn) =
n
X
k=0
skln 2k+ 1
2k+ 2est la somme partielle de la série convergente X
n≥0
snln 2n+ 1
2n+ 2.
( En effet, la nature de cette série est donnée par la question 2) avec en= ln 2n+ 1
2n+ 2qui tend
vers 0 et avec la suite n
X
k=0
sk!n qui est bien bornée d’après la question 1).)
Ainsi, il existe une constante ∈Rtelle que ln(Pn)−→
n→+∞et par continuité de la fonction exp, la suite (Pn)
CV vers exp(l)6= 0 : ce qui est bien la définition de la convergence demandée.
(b) Calculons P1000 pour approcher P:
1P =1
2for nin range (0,1000):
3P=P *((2* n +1)/ (2* n +2)) **(( -1)* * su m ( dig its (n )))
4
5prin t (’ val eu r a pp ro ch é e : ’ ,P) # ré p : 0.7067535810133205
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(c) On pose pour N≥1,QN=
N
Y
n=1 2n
2n+ 1sn
et RN=
N
Y
n=1 n
n+ 1sn
.
1er calcul : PN×QN=0+1
0+2s0
×
N
Y
n=1  2n
2n+ 1sn
×2n+ 1
2n+ 2sni.e. PN×QN= 1/2×RN
En passant à la limite dans cette égalité lorsque N→+∞, il vient R= 2P Q
2nd calcul : au sein de R2N+1, on sépare les termes d’indices pairs de ceux d’indices impairs
R2N+1 =
2N+1
Y
n=1 n
n+ 1sn
=
N
Y
k=1 2k
2k+ 1s2k
×
N
Y
k=0 2k+ 1
2k+ 2s2k+1
. Or s2k=sket s2k+1 =−sk.
On en déduit que R2N+1 =QN/PNet en passant à la limite, R=Q/P
Conclusion : On confronte ces 2 résultats pour simplifier par Q6= 0 (déf d’un produit convergent) et obtenir (vu
que P > 0)P= 1/√2
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A retenir
- Les nombreux liens entre les questions et la chronologie de celles-ci
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