ENSAE 1983 (option M`), Math. II

ENSAE 1983 (option M’), Math. II - ´ Enonc´e
Notations.
Soit Kun corps commutatif et Vun espace vectoriel de dimension finie sur K. On note L(V) l’alg`ebre des endomorphismes
de V. On note Il’application identique de V; on note f g le produit des ´el´ements fet gde L(V) ; on note fqle produit
de q´el´ements de L(V) identiques `a f, et par convention f0=I.
Si Xest un espace vectoriel de dimension finie, on note dim(X) sa dimension.
Si fest une application lin´eaire on note respectivement Im f, Ker f, rg f, son image, son noyau et son rang.
Si Aest une partie d’un espace vectoriel on note Vect(A) le sous-espace vectoriel engendr´e par A.
Partie I : Id´eaux de L(V)
On dit que la partie Mde L(V) est un id´eal `a gauche, lorsque Mest un sous-espace vectoriel de L(V) et que
∀ϕ∈ L(V)∀f∈M ϕf ∈M
On dit que la partie Mde L(V) est un id´eal `a droite lorsque Mest un sous-espace vectoriel de L(V) et que
∀ϕ∈ L(V)∀f∈M fϕ ∈M
Soit Wun sous-espace vectoriel de V; on note JWl’ensemble des endomorphisme de Vdont l’image est contenue dans
Wet KW, l’ensemble des endomorphismes de Vdont le noyau contient W. Soit fun ´el´ement de L(V), on note ∆f
l’ensemble des f ϕ o`u ϕd´ecrit L(V) et Γfl’ensemble des ϕf o`u ϕd´ecrit L(V).
1o) a)Soit fun ´el´ement de L(V). Montrer que ∆fest un id´eal `a droite et Γfun id´eal `a gauche.
b)Soit Wun sous-espace vectoriel de V. Montrer que JWest un id´eal `a droite et KWun id´eal `a gauche.
2o) a)Soit Wun sous-espace vectoriel de V. Exprimer dim(JW) et dim(KW) en fonction de dim(V) et dim(W).
b)Soit fun endomorphisme de V. Exprimer dim(∆f) et dim Γf`a l’aide de rg fet de dim(V).
c)Soit Wun sous-espace vectoriel de L(V). Montrer qu’il existe fdans JWtelle que ∆f=JWet gdans KWtelle que
Γg=KW.
3o) a)Soit W, W 0des sous-espaces vectoriels de V. Montrer que Jw∩JW0=JW∩W0et KW∩KW0=KW+W.
b)Montrer que Jw+JW0=JW+W0et KW+KW0=KW∩W0.
4o) a)Soit Mun id´eal `a droite de L(V). Soit Wun sous-espace vectoriel de Vtel que JW⊂Met tel qu’aucun sous-espace
W0de Vne v´erifie JW0⊂Met dim W0>dim W. Montrer que JW=M. Soit Mun id´eal `a gauche de L(V). Montrer de
mˆeme qu’il existe un sous-espace vectoriel Wde Vtel que KW=M.
b)Conclure de cette ´etude que pour tout id´eal `a droite Mde L(V) il existe fdans L(V) telle que ∆f=Met que pour
tout id´eal `a gauche Mde L(V) il existe gtelle que Γg=M.
5o) a)Soit Uet Wdes sous-espaces vectoriels de V. Calculer dim(JU∩KW).
b)Montrer que {0}et L(V) sont les seules parties de L(V) qui sont `a la fois id´eal `a gauche et id´eal `a droite.
Partie II : Bases stables de L(V)
On suppose ici que la dimension de Vest un entier n, au moins ´egal `a 2. On appelle ici base de L(V) toute partie de
L(V) `a la fois libre et g´en´eratrice. Une base S de L(V) (V) est dite stable lorsqu’elle v´erifie :
∀f, g ∈S fg ∈Sou fg = 0 .
Soit Bla base (e1, e2, . . . , en) de V. La base Sde L(V) est dite canoniquement associ´ee `a Blorsqu’il existe une bijection
(i, j)7→ fij de {1, . . . , n}2sur Stelle que :
∀i, j, k ∈ {1, . . . , n}fij (ek) = ½0 si j6=k
eisi j=k.
1o)Montrer que toute base de L(V) canoniquement associ´ee `a une base de Vest stable.
Soit Sune base stable de L(V) et soit rle minimum du rang des ´el´ements de S. Soit S0l’ensemble des fde Stelles que
rg f=r.
2o)Montrer que :
∀g∈S∀f∈S0{gf ∈S0ou gf = 0}et {f g ∈S0ou f g = 0}.
En utilisant I5◦b, montrer que Vect(S0) = L(V) puis que S0=S.
Tous les ´el´ements de Sont donc le mˆeme rang, r.
3o)On veut montrer dans cette question que r < n.
a)Montrer que si l’´el´ement ϕde L(V) v´erifie ∀h∈ L(V), ϕh =hϕ, alors ϕest une homoth´etie de V.
b)Soit ϕ=P
f∈S
f. Montrer que si l’on avait r=nalors on aurait
∀g∈S, ϕg =gϕ =ϕ .
m83em2ea.tex ENSAE 1983 (option M’), Math. II - ´ Enonc´e, page 1 12/10/2003

c)Conclure.
On note d´esormais Jl’ensemble des sous-espaces vectoriels Ude Vtels qu’il existe au moins un ´el´ement fde Sv´erifiant
Im f=U; on note Nl’ensemble des sous-espaces vectoriels Wde Stels qu’il existe au moins un ´el´ement fde Sv´erifiant
Ker f=W. Pour tout Ude Jet pour tout Wde Non note SUl’ensemble des fde Stelles que Im f=Uet SW
l’ensemble des fde Stelles que Ker f=W.
4o) a)Montrer que Vect(SU) = JU, et que Vect(SW) = KWpour tout Ude Jet tout Wde N.
b)Montrer que L(V) est la somme directe des JU, o`u Ud´ecrit J, soit :
L(V) = M
U∈J
JU.
c)Montrer que Vest la somme directe des U, o`u Ud´ecrit J(on pourra utiliser la d´ecomposition de Idans la somme
des JU).
5o) a)Soit Wun ´el´ement de N. Montrer que KWest la somme directe des sous-espaces vectoriels engendr´es par les
SU∩SW, o`u Ud´ecrit J:
KW=M
u∈J
Vect(SU∩SW)
b)En d´eduire que
∀U∈ J ,∀W∈ N ,Vect(SU∩SW) = KW∩JU.
6o) a)Soit fun ´el´ement de SU∩SW. Montrer que f2= 0 ou f2∈SU∩SW.
b)En d´eduire que pour tout W∈ N et tout U∈ J ou bien U⊂Wou bien U⊕W=V.
c)Monter que pour tout Wde Nil existe au moins un Ude Jtel que U⊕W=V.
7o)Soit (U, W ) un ´el´ement de J × N tel que U⊕W=V. On d´efinit comme suit une application f7→ ˜ fde JU∩KW
dans L(U) en posant ˜
f(x) = f(x) si x∈U .
a)Montrer que f7→ ˜ fest un isomorphisme d’espaces vectoriels.
b)En appliquant II3◦`a SU∩SW, montrer que r= 1.
c)Montrer que SU∩SWa pour unique ´el´ement la projection d’image Uet de noyau W.
8o) a)Montrer que Jet Nont chacun n´el´ements et que pour tout U∈ J , et tout W∈ N ,SU∩SWest un singleton.
On note ϕU,W l’unique ´el´ement de SU∩SW.
b)Montrer que :
ϕU,W ϕU0,W 0=½0 si U0⊂W
ϕU,W 0si U0⊕W=V.
c)Montrer que T
W∈N
W={0}.
Partie III : Construction de bases stables
Soit Sune base stable de L(V).
1o)Montrer que l’on peut trouver une base (e1, e2, . . . , en) de V, une base (θ1, θ2, . . . , θn) de V∗,V∗´etant le dual de V,
et une matrice Λ = (λij )16i,j6ntelles que les ´el´ements de Ssont n2endomorphismes ϕij tels que ϕij (x) = λij θj(x)ei.
Soit Ω la matrice (θi(ej))16i,j6n. Soit Al’ensemble des couples (i, j) tels que θi(ej)6= 0.
2o) a)Trouver une relation entre λil, λij , λkl, θj(ek) lorsque (j, k)∈A. On suppose avoir choisi les bases Vet V∗de
fa¸con que θ1(e1) = 1. On pose alors ai=λi1et bj=λ1j.
b)Montrer que si (j, k) appartient `a Aalors θj(ek) = 1
akbj.
c)Montrer qu’il existe une base (e0
1, e0 2, . . . , e0
n) de Vet une base (θ0
1, θ0 2, . . . , θ0
n) de V∗telleq que si (j, k) appartient `a A
alors θ0
j(e0
k) = 1, et que les ´el´ements de Ssont tels que ϕij (x) = θ0
j(e0 i).
3o)On change donc de notation et on suppose donc que ∀i, j, λij = 1, et que si (j, k) appartient `a Aalors θj(ek) = 1.
Montrer que la matrice Ω est inversible et que l’on peut construire ainsi les bases stables de L(V).
4o)Construire, pour n= 2, une base stable de L(V) qui ne soit pas canoniquement associ´ee `a une base de V.
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