Exercice 1 Soit A un anneau commutatif. (i) Si A est un corps, quels

Semaine no 2
Lycée Janson de Sailly - MP* - 2005-2006
Exercice 1
Soit A un anneau commutatif.
(i) Si A est un corps, quels sont les idéaux de A[X] ?
(ii) On suppose que tous les idéaux de A[X] sont principaux. Que peut-on dire
de A ?
Exercice 2
Soit A un anneau commutatif intègre. On dit qu’un idéal I de A est maximal
s’il n’existe pas d’idéal J de A vérifiant : I $ J $ A.
(i) Si I est un idéal maximal de A, montrer que l’on a alors
∀(x, y) ∈ A2 , xy ∈ I ⇒ x ∈ I ou y ∈ I .
(ii) On suppose maintenant que tout idéal de A est principal.
Montrer que si un idéal I de A vérifie la condition
∀(x, y) ∈ A2 , xy ∈ I ⇒ x ∈ I ou y ∈ I
alors il s’agit d’un idéal maximal.
Exercice 3
Soit p > 3 un nombre premier.
(i) Déterminer le nombre de carrés de Z/pZ.
(ii) Montrer que −1 est un carré dans Z/pZ si et seulement si p ≡ 1[4].
Exercice 5
√
(i) Montrer que la famille (1, 2) est liée dans le R-espace vectoriel R mais
est libre dans le Q-espace vectoriel R.
(ii) Soit p1 , ..., pk des nombres premiers distincts. Montrer que la famille
(ln p1 , ..., ln pk ) est libre dans le Q-espace vectoriel R.
(iii) Pour tout λ ∈ R+ , on note fλ (t) = cos(λt). Montrer que la famille (fλ )λ∈R+
est libre dans R-espace vectoriel des fonctions continues de R dans R.
Exercice 6
Soit A et B deux sous-espaces vectoriels de dimension r d’un K-espace vectoriel
E de dimension n. Montrer que A et B admettent un supplémentaire commun.
Exercice 7
Soit n > 2 et F le sous-espace vectoriel de Rn engendré par e = (1, . . . , 1).
n
n
o
X
n
n
Montrer que R = F ⊕ H où H = (x1 , . . . , xn ) ∈ R ;
xi = 0 .
i=1
Exercice 8
(i) Considérons une suite croissante de sous-espaces vectorielsS(Fk )k∈N de E
i.e. telle que : ∀k ∈ N Fk ⊂ Fk+1 . Montrer que la réunion
Fk est aussi
k∈N
un sous-espace vectoriel de E.
(ii) Soit F et G deux sous-espaces vectoriels de E. Montrer que F ∪ G est un
sous-espace vectoriel de E si et seulement si F ⊂ G ou G ⊂ F .
(iii) En déduire qu’il y a une infinité de nombres premiers du type 4k + 1.
Exercice 4
Soit A et B deux sous-espaces vectoriels d’un R-espace vectoriel E. Montrer que
les assertions suivantes sont équivalentes :
(i) A ∪ B est un sous-espace vectoriel de E ;
(ii) A ∪ B = A + B ;
(iii) A ⊂ B ou B ⊂ A.
Exercice 9
Soit E un espace vectoriel sur un corps K qui soit la réunion de k > 3 sousespaces vectoriels stricts.
(i) Montrer que K est fini.
(ii) Trouver un exemple avec card K = k − 1.