Introduction à la cohomologie des faisceaux

F:A → B A B
A B
AC→
B→A→0B

0→A→B→C
A0→F(A)→F(B)→F(C)B
Ab
P I A
HomA(P, −) : A → Ab HomA(−, I) : Aop →
Ab
AA
· · · Pn→Pn−1→ · · · → P1→P0→A→0
0→A→I0→I1→ · · · → In→In+1 → · · ·
PnIn
A A
A
A
A
A
AXHomA(X, −) :
A → Ab
A
F:A→B G:B → A
F G
HomA(A, G(B)) 'HomB(F(A), B).
F G

F G G F
B A A
BGB
FAF G
F:A → B
A
A→I•AA
n F
RnFA → B A
Hn(F(I•))
R0F'F
RnFAn > 0
0→A→B→C→0A
0→R0F(A)→ · · · → RnF(A)→RnF(B)→RnF(C)→Rn+1F(A)→ · · · .
A
AAHomA(A, −) :
A → Ab A
HomA(−, B) Extn
A:
Aop × A → Ab
A
C(A)Z
+1
C C(A)I C(A)

AC→I
CA
C
F:A → B A
FRnF
n
C n
F(I)I C
Ip,q
2=Hp(RqF(C•))
IIp,q
2=RpF(Hq(C•))
r
(r, 1−r)
(Rp+qF)(C)
AF −→ B G −→ C
A B F
AGB
F F
AA
Ep,q
2= (RpG)(RqF(A))
Rp+q(G◦F)(A)
D(A)
C(A)

F:A→B
RF:D(A)→D(B)RnF(C)
C n RF(C)
Extn(A, B)A
HomD(A)(A, ΣnB)AC(A)
0
R(G◦F)'(RG)◦(RF)
D(A)
Σ
1
X→
Y→Z→ΣX
A
XTXT
AXA
TXAP ref(X, A) = Fct(Top
X,A)
A
A
Ab
A
FX E T