magister digheche

République Algérienne Démocratique et Populaire
Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scienti…que
UNIVERSITÉ SÉTIF-1
FACULTÉ des SCIENCES
DÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES
Pour l’obtention du Diplôme :
MAGISTER
Option : Mathématiques Fondamentales
Par
DIGHECHE Abdelkarim
Theme :
PROLONGEMENT D’APPLICATIONS LOCALEMENT
BIHOLOMORPHES
Membres du Comité d’Examen :
Président Mr. ACHACHE Mohamed Professeur UNIVERSITÉ SÉTIF-1
Encadreur Mr. KRACHNI Mostafa MCA UNIVERSITÉ SÉTIF-1
Examinateur Mr. BENSALEM Naceurdine Professeur UNIVERSITÉ SÉTIF-1
Janvier 2015

Dédicace
Ames parents ;
Ames frères ;
Ames amis.
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Table des matières
Dédicace 2
Table des matières 3
Introduction 1
1 Introduction à l’analyse et à la géométrie complexes 4
1.1 Dé…nitions de base .............................. 4
1.1.1 Le complexi…é d’un espace vectoriel réel . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Notions d’Analyse complexe ........................ 6
1.2.1 Fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.2 Fonctions analytiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.3 Fonctions holomorphes de plusieurs variables . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Notions de géométrie complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.3.1 La structure presque complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2 Prolongement d’applications holomorphes 29
2.1 Préliminaires: ................................. 29
2.2 Variétéskählerienne:.............................. 33
2.3 Variétés parallélisables : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4 Variétés homogènes compactes : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4.1 Dé…nitions et préliminaires : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3

Table des matières
2.5 Surfaces prèsque homogènes : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3 Prolongement d’applications localement biholomorphes 42
4

Introduction générale
Le but de ce mémoire de Magister est d’étudier le prolongement des applications holo-
morphes et localement biholomorphes initialement dé…nies sur des ouverts Tde Cnà des
polydisques. Ce problème est déjà bien connu depuis longtemps en analyse complexe, bien
avant les travaux de Hartogs, par la nature même de la dé…nition des fonctions holo-
morphes. On a donc intérêt à bien cerner le domaine d’une telle fonction. En pratique on
a souvent a¤aire au prolongement de fonctions holomorphes déjà dé…nies dans certain ou-
verts. Dès le 19 ième siècle, le problème du domaine d’existence d’applications holomorphes
où méromorphes pour certains applications complexes est s’est posé. Il s’agit alors de pro-
longer des applications holomorphes où méromorphes dé…nies sur cet domaine. Cela est en
e¤et similaire à la recherche d’un domaine de dé…nition plus grand pour la solution d’une
équation di¤érentielle ordinaire que celui qu’on aurait initialement que pour un certain
ouvert dont la taille est dictée par les outils analytiques tels que le théorème du point …xe
etc.. Cependant, il s’avère qu’il est possible de faire cette étude dans un cadre plus général
que celui de la fonction complexe de la variable complexe. En e¤et, notre fonction peut
prendre des valeurs dans ce qu’on appelle une variété complexe pour la dé…nition d’une
application holomorphe dans ce cas. Nous serons inspires d’un travail realisé par Krachni
(voir [10]) que nous assayerons de le détailler.
Il existe plusieurs études et recherches menées sur ce sujet en raison de son importance
en géométrie complexe. Dans ce mémoire, nous allons essayer de faire une synthèse gé-
nérale sur l’un des aspects importants de la question de prolongement des applications
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