CHAP 13 Fonctions linéaires .

CHAP 13 Fonctions linéaires .
I Fonctions linéaires
1°)Définition :
La fonction linéaire f de coefficient a, associe à tout nombre x l’unique nombre ax (où a est un nombre
constant)
Notation : f : x → ax
où ax est l’image de x . On écrit f(x) = ax
Une fonction linéaire de coefficient a traduit une situation de proportionnalité.
Le coefficient de proportionnalité est a. Pour obtenir l’image d’un nombre par f, on le multiplie par a.
Exemples
1°)
f(x)=3x est une fonction linéaire de coefficient 3 (à tout nombre x, f associe son triple)
2°) : La distance de réaction est proportionnelle à la vitesse. Pour un temps de réaction de deux secondes,
le coefficient de proportionnalité est 0,56.
Désignons par v la vitesse et d la distance de réaction alors d= 0,56 v
Cette situation de proportionnalité se traduit par la fonction linéaire f définie par :
f : x→ 0,56 x
où x est un nombre positif (une vitesse est un nombre positif).
2°)Représentation graphique :
Propriété (admise ) : Dans un repère, la courbe représentative d’une fonction linéaire f(x) =ax , est une
droite (d) passant par l’origine du repère. Nous dirons que l’équation de cette droite est : y =ax.
Autrement dit, la droite (d) est constituée de l’ensemble des points M de coordonnées (x ;y) où y=ax.
Le nombre a s’appelle le coefficient directeur de la droite (d).
Remarque : f(1) =ax1 = a .La droite (d) passe donc toujours par le point (1 ;a).
3°) Interprétation graphique du coefficient directeur
a:
Cas 1 : a positif.
Lorsque x augmente de 1, f(x) augmente de a.
Cas 2 : a négatif.
Lorsque x augmente de 1, f(x) diminue de a.
4°) Tracé de la droite représentative d’une fonction linéaire
Toute droite non parallèle à de l’axe des ordonnées passant par l’origine représente est la droite
représentative d’une fonction linéaire.
Pour représenter une fonction linéaire, il suffit de calculer les coordonnées d’un seul point.La droite
passant par ce point et par l’origine du repère est la droite représentative.
Exemple : Tracer la représentation graphique de la fonction f(x) = -5x dans un repère orthogonal
d’origine O
f étant une fonction linéaire, sa représentation graphique est une droite (d) qui passe par l’origine du
repère.
Je cherche les coordonnées d’un second point de (d) en calculant l’image de 1
f(1)=-5
La droite (d) passe donc par le point (1 ;-5)°
5°) Calculs pratiques
a) Calcul de l’image d’un nombre :
Ex : Soit f la fonction linéaire : f : x→ - 4 x . calculer l’image de 8,
On remplace x par 8 dans la définition de la fonction :
f(8) = -4 x8
f(8) = -32
L’image de 8 par f est – 32.
b) Calcul de l’antécédent d’un nombre connaissant son image:
Ex :Soit f la fonction linéaire : f : x→ - 4 x . calculer l’antécédent de - 15,7.
On cherche x tel que f(x) = -15,7
Or
f(x) = -4 x
D’où - 4x = -15,7
x= 3,925.
L’antécédent de - 15,7 par f est 3,925.
c) Définir une fonction linéaire à partir d’un nombre et de son image
Ex : Soit f une fonction linéaire telle que f(4) = - 1,5. Déterminer l’expression algébrique de f .
f étant une fonction linéaire , f est de la forme : f(x) = ax où a est le coefficient à déterminer.
f(4 ) = -1,5
D’où 4×a=-1,5
a = -1,5 ÷4
a=-0,375
L’expression algébrique de f est : f(x) = 0,375 x
!
!
!
II Application aux pourcentages
Diminuer x de 5 %
Calcul à effectuer
Multiplier par 0,,95
Fonction linéaire
f :!
x a 0,95x
Augmenter x de 5 %
Multiplier par 1,05
f !: x a 1,05x
!
!
t
Cas général :Diminuer un nombre x de t% c’est le multiplier par 1"
.
100
$
t '
Si y est le nombre diminué alors y = x " &1#
)
% 100 (
!
Démonstration :
Soit x le nombre initial!et y le nombre obtenu après une diminution de t%.
t
#x
100
t
y = x # (1"
)
100
y=x"
Exemple : Un baladeur MP3 coûte 75 €. Son prix subit une baisse de 4%.Quel est son nouveau prix ?
$
4 '
75 " &1#
)
% 100 (
= 75 " (1# 0,04 )
= 75 " 0,96
= 72
Son nouveau prix est 72 €.
Cas général: Augmenter un nombre x de t% , c’est le multiplier par 1+
#
t &
Si y est le nombre augmenté alors y = x " %1+
(
$ 100 '
t
.
100
!
Exemple : En mars 2010, 301 personnes ont eu un accident mortel en France. Entre mars 2010 et 2011,ce
nombre a augmenté de 3% . Combien de personnes sont mortes sur les routes en mars 2011 ?
!
#
3 &
300 " %1+
(
$ 100 '
= 300 " (1+ 0,03)
= 300 "1,03
= 309
309 personnes sont mortes sur les routes en mars 2011.
III Fonctions affines
a)Définition :
La fonction affine f de coefficients a et b , associe à tout nombre x l’unique nombre ax+ b.
Notation : f : x → ax+b
où ax+b est l’image de x . Les nombres a et b sont des nombres constants.
Avec la notation fonctionnelle, on écrit :
f(x) = ax+b
Exemples
1°)
f(x)=-3x+1,2 est une fonction affine où a= -3 et b= 1,2
2°) : Un forfait
b)Représentation graphique :
Propriété (admise ) : La courbe représentative d’une fonction affine f(x) =ax+b , est une droite (d) qui
passe par le point (0 ;b). Nous dirons que l’équation de cette droite est : y =ax+b.
Autrement dit, la droite (d) est constituée de l’ensemble des points M de coordonnées (x ;y).
Remarques :
Le nombre a s’appelle le coefficient directeur de la droite (d).
Le nombre b est appelée l’ordonnée à l’origine.
Remarques :
1) Toute droite différente non parallèle à l’axe des ordonnées représente une fonction affine.
2) Pour représenter une fonction affine, il suffit de calculer les coordonnées de deux points.
La droite passant par ces deux points est la droite représentative.
Exemple 1 : Tracer la représentation graphique de la fonction f(x) = -2x+1 dans un repère orthogonal
d’origine O
Comme f est une fonction affine, sa droite représentative est la droite (d) d’équation y = -2x+1
Cherchons les coordonnées de deux points de (d).
Valeurs de x
0
f(x) = images de x
-2 x0+1=
Points
A (0 ;1)
b) Calculs pratiques
1) Calcul de l’image d’un nombre :
Soit f la fonction affine : f : x→ - 4 x-1 . Calculer l’image de 1,5,
On remplace x par 1,5 dans la définition de la fonction :
f(1,5) = -4 x(-1,5) -1
f(1,5) = 6-1
f(-1,5)=5
L’image de 1,5 par f est – 5.
2) Calcul de l’antécédent d’un nombre à partir de son image:
Soit f la fonction linéaire : f : x→ -3 x+5 . Calculer l’antécédent de 15.
On cherche x tel que f(x) = 15
Or
f(x) = -3x+5
Donc - 3x+5 = 15
x= -10/3
L’antécédent de -15 est -10/3.
3) Déterminer une fonction affine .
Soit f une fonction linéaire telle que f(4) = - 1,5. Déterminer l’expression algébrique de f .
f est une fonction linéaire donc f(x) = ax. On cherche à déterminer le nombre a.
On sait que f(4 ) = -1,5 donc
4×a=-1,5
a = -1,5 ÷4
a=-0,375
Donc f : x→-0,375 x ou f(x) = 0,375 x