Devoir Maison numéro 17 - CPGE du Lycée Montesquieu

Devoir Maison numéro 17
Corrigé
Pour le 1er février 2014
Exercice de rédaction
Factoriser P(X) = 3X4+ 11X3+ 20X2+ 7X−5, sachant qu’il existe des racines rationnelles.
Factoriser P=X5−13X4+ 67X3−171X2+ 216X−108 sachant qu’il admet une racine triple.
Problème
On considère l’équation à coefficients réels (e) : x3+ax2+bx+c= 0, et on note P(X) = X3+aX2+bX +c.
a) Trouver un réel αdépendant de a, b, c, tel que le coefficient du terme de degré deux du polynôme
Q(X) = P(X+α)soit nul.
Corrigé On a X3+ (3 ∗α+a)∗X2+ (3 ∗α2+b+ 2 ∗a∗α)∗X+α3+c+b∗α+a∗α2. Donc il faut
que α=−a
3.
b) On note alors Q(X) = X3+pX +q. Exprimer pet qen fonction de a, b, c.
Corrigé Dans les conditions précédentes, on trouve p=−1/3a2+bet q=2
27 a3+c−1/3ba.
c) Trouver une condition nécessaire et suffisante portant sur pet qpour que le polynôme Qpossède
dans Cune racine au moins double. Résoudre l’équation (e0) : Q(x)=0dans ce cas.
Corrigé On note dans ce cas uet vles deux racines de Q. D’après les relations entre coefficients en
racines, Qadmet une racine double si et seulement si le système suivant admet une solution :
2u+v= 0
u2+ 2uv =p
u2v=−q⇔
2u+v= 0
−3u2=p
u2v=−q⇔
2u+v= 0
−27u6=p3
−2u3=−q⇔
2u+v= 0
2u3=q
4p3+ 27q2= 0
Ainsi, Qadmet une racine double si et seulement si le dernier système admet des solutions : il est donc
nécessaire et suffisant que 4p3+ 27q2= 0 car quand q∈R, le système 
2u+v= 0
2u3=qadmet toujours des
solutions.
On suppose que la condition trouvée au 2◦) n’est pas vérifiée et on veut résoudre l’équation (e’).
d) Montrer que tout complexe xpeut se mettre sous la forme x=u+voù uet vsont des complexes
vérifiant la condition 3uv +p= 0 .
Corrigé uet vsont solution du système 
u+v=x
u×v=−p
3
si et seulement si uet vsont racines du polynôme
X2−xX −p
3. Dans C, un tel polynôme admet toujours deux racines (d’Alembert Gauss). Donc on peut
toujours décomposer un complexe xsous ces contraintes.

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e) Montrer que si xest solution de (e0),u3et v3sont les racines z1et z2d’une équation du second
degré que l’on formera.
Corrigé Si xest solution de (e0)et que x=u+v, on substitue u+vàxdans (e0). On a alors
(u+v)3+p(u+v) + q=u3+v3+ 3uv(u+v) + p(u+v) + q=u3+v3+ (3uv +p)
0
(u+v) + q=u3+v3+q.
Donc u3+v3=−q. D’autre par u3v3=−p3
27 donc u3et v3sont racines du polynôme X2+qX −p3 27 .
f) En déduire les solutions de (e0)en distinguant les cas 4p3+ 27q2>0et 4p3+ 27q2<0.
Corrigé Le discriminant de ce polynôme vaut ∆ = q2+ 4p3
27 . S’il est positif, les racines u3et v3valent
−q±√∆
2. En temps que réels, leur racine cubique est définie. Les valeurs que peuvent prendre uet vsont donc
de la forme ω3
q−q±√∆
2avec ω∈U3. On a de plus la contrainte 3uv +p= 0 donc le produit uv est un réel.
Les valeurs possibles de xsont donc {3
q−q−√∆
2+3
q−q+√∆
2, j 3
q−q−√∆
2+j23
q−q+√∆
2, j23
q−q−√∆
2+j3
q−q+√∆
2}.
Puisque le discriminant est stricement positif, il n’y a pas que des racines réelles.
Si le discriminant est négatif, les racines u3et v3valent −q±i√|∆|
2. Soit δ∈Ctel que δ3=−q+i√|∆| 2.u3
et v3sont complexes conjugués donc uet vaussi. uest par exemple de la forme ωδ et vde la forme ω0¯ δ
avec (ω, ω0)∈(U3)2. Comme uet vsont conjugués, on a nécessairement ω0= ¯ω.xest donc un élément de
{δ+¯ δ, jδ +j2¯ δ, j2δ+j¯ δ}. Dans tous les cas, xest un réel.
g) Dans quel cas les racines sont-elles toutes réelles ? Comparer avec l’étude des variations de Q.
Corrigé Dans le cadre de l’étude des variations, on a Q0= 3X2+p. Si pest strictement positif, Q
n’a pas de racines réelles, Qest croissant et n’a qu’une racine réelle. On remarque qu’on a alors ∆>0.
Sinon, la dérivée s’annule en ±q−p
3. qui correspondent aux minimum et maximum locaux de Q. Pour
que Qadmette trois racines réelles, il faut que le maximum soit positif et le minimum négatif, c’est
à dire Q(q−p
3)Q(−q−p 3)<0. Or Q(−q−p 3) = −2
√27 (−p)3/2+qet Q(q−p
3) = 2
√27 (−p)3/2+q, donc
Q(q−p
3)Q(−q−p 3) = 4 27 p3+q2. C’est négatif si et seulement si ∆est négatif.
h) Application : Résoudre dans Cl’équation x3−3x2−3x−1=0.
Corrigé On trouve ici α= 1, et p=q=−6. On a alors ∆ = 36 −4∗216/27 = 4 qui est positif. Les
racines sont {3
√2 + 3 √4−1, j 3 √2 + j23 √4−1, j23 √2 + j3 √4−1}.
DM no17 Lycée Montesquieu - 2013/2014