Chapitre 2 : Suites et séries numériques et de fonctions

Chapitre 2 : Suites et s´eries num´eriques et de fonctions
Math´ematiques 3, 2015
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IV. S´eries trigonom´etriques, s´eries de Fourier
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IV. 1. Introduction
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Joseph Fourier avait introduit l’´equation de la chaleur et avait ´etudi´e les
solutions de cette ´equation qu’on peut obtenir comme sommes de s´eries
trigonom´etriques qui depuis portent son nom : s´eries de Fourier.
Les s´eries de Fourier constitue un outil important dans l’´etude des
fonctions p´eriodiques et dans le traitement du signal.
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Consid´erons une barre homog`ene de longueur finie L. On s’int´eresse `a
d´eterminer la temp´erature u(x,t) de la barre au point xet `a l’instant t.
On consid`ere des des conditions initiales, on suppose que la temp´erature
est nulle aux extr´emit´es et qu’`a l’instant t= 0 elle est donn´ee par une
fonction ϕ: [0,L]→R.
L’´equation qui r´egit la temp´erature u(x,t) en chaque point x`a un instant
t>0 est l’´equation de la chaleur `a une dimension
(E)∂u
∂t(x,t) = D∂2u ∂x2(x,t),
o`u Dest le coefficient de diffusion.
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