TD1 - Algèbre linéaire - Université de Limoges

Université de Limoges 2014-15
Licence de Mathématiques 4esemestre
Configurations géométriques S. Vinatier - F. Nacry
TD1 - Algèbre linéaire
Exercice 1
On considère un ensemble Edont les éléments sont appelés points et qui contient des sous-
ensembles appelés droites. On note Dl’ensemble des droites. On dit que trois points sont alignés
lorsqu’ils appartiennent à une même droite. On suppose (uniquement) satisfaites les trois pro-
priétés suivantes :
(P1) pour tous points A, B distincts, il existe une unique droite dtelle que {A, B} ⊂ d;
(P2) toute droite contient au moins deux points distincts ;
(P3) il existe trois points distincts deux à deux, non alignés.
Montrer que :
a) Les ensembles Eet Dsont non vides.
b) L’intersection de deux droites distinctes est vide ou réduite à un point.
c) Pour toute droite d, il existe un point Ptel que P /∈d.
d) Pour tout point P, il existe une droite dtelle que P /∈d.
Exercice 2
Le R-espace vectoriel R2est supposé muni de sa base canonique (~ı,~)et de sa structure eu-
clidienne usuelle. Donner une équation paramétrique et une équation cartésienne des droites
vectorielles de R2,D1,D2et D3dirigées respectivement par :
~u = 2~ı +~ , ~v =−~ı −1
2~ , ~w =−~ı + 2~ .
Lesquelles sont orthogonales ?
Exercice 3
Le R-espace vectoriel R3est supposé muni de sa base canonique (~ı, ~, ~ k)et de sa structure
euclidienne usuelle. On note ∧le produit vectoriel de deux vecteurs de R3.
a) Donner une équation paramétrique et une équation cartésienne des droites vectorielles de R3,
D1,D2et D3, dirigées respectivement par :
~u = 2~ı +~ , ~v =−~ı −1
2~ + 3~
k , ~w =−~ı + 2~ .
Lesquelles sont orthogonales ?
b) Donner une équation cartésienne de l’hyperplan vectoriel de R3orthogonal au vecteur ~v et
une équation cartésienne de la droite vectorielle de R3orthogonale aux vecteurs ~u et ~w.
c) Calculer ~u ∧~v,~v ∧~w et ~w ∧~u. Forment-ils une base de R3?
d) Soit θ∈R. Calculer ~u ∧~v,~v ∧~w et ~w ∧~u où ~u =~ı,~v = cos θ~ı + sin θ ~,~w =~ k. Si θ /∈πZ,
montrer que cette famille est une base de R3.
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Exercice 4
Le R-espace vectoriel R3est supposé muni de sa base canonique (~ı,~,~ k). On considère les vecteurs
~v =~ −~ k,~v0= 3~ı +~ k,~w =~ı + 2~ ket ~w0=−2~ı +~.
a) Justifier que ~v et ~v0engendrent un hyperplan vectoriel Pde R3et que ~w et ~w0engendrent
un hyperplan vectoriel Qde R3.
b) Montrer que P ∩ Q est une droite vectorielle de R3et en donner une équation paramétrique.
Exercice 5
Le R-espace vectoriel R3est supposé muni de sa base canonique (~ı, ~, ~ k)et de sa structure
euclidienne usuelle. Soient a, b, c, a0, b0, c0∈R. On considère les vecteurs ~v =a~ı +b~ +c~ ket
~v0=a0 ~ı +b0~ +c0~ k.
a) Justifier par un argument d’algèbre linéaire que le sous-espace vectoriel de R3,P= VectR{~v, ~v0}
vérifie :
P= (x, y, z)∈R3: det 
x y z
a b c
a0b0c0
= 0
.
Donner une condition nécessaire et suffisante pour que Psoit un hyperplan vectoriel de R3
et en donner une équation cartésienne.
On suppose désormais que Pest un hyperplan vectoriel de R3.
b) Donner une description de Pà l’aide du produit vectoriel ~v ∧~v0.
c) Donner une équation paramétrique et une équation cartésienne de la droite vectorielle de R3
orthogonale à P.
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