Université de Limoges Licence de Mathématiques 4e Configurations géométriques 2014-15 semestre S. Vinatier - F. Nacry TD1 - Algèbre linéaire Exercice 1 On considère un ensemble E dont les éléments sont appelés points et qui contient des sousensembles appelés droites. On note D l’ensemble des droites. On dit que trois points sont alignés lorsqu’ils appartiennent à une même droite. On suppose (uniquement) satisfaites les trois propriétés suivantes : (P1) pour tous points A, B distincts, il existe une unique droite d telle que {A, B} ⊂ d ; (P2) toute droite contient au moins deux points distincts ; (P3) il existe trois points distincts deux à deux, non alignés. Montrer que : a) Les ensembles E et D sont non vides. b) L’intersection de deux droites distinctes est vide ou réduite à un point. c) Pour toute droite d, il existe un point P tel que P ∈ / d. d) Pour tout point P , il existe une droite d telle que P ∈ / d. Exercice 2 Le R-espace vectoriel R2 est supposé muni de sa base canonique (~ı, ~) et de sa structure euclidienne usuelle. Donner une équation paramétrique et une équation cartésienne des droites vectorielles de R2 , D1 , D2 et D3 dirigées respectivement par : ~u = 2~ı + ~ , 1 ~v = −~ı − ~ , 2 w ~ = −~ı + 2~ . Lesquelles sont orthogonales ? Exercice 3 Le R-espace vectoriel R3 est supposé muni de sa base canonique (~ı, ~, ~k) et de sa structure euclidienne usuelle. On note ∧ le produit vectoriel de deux vecteurs de R3 . a) Donner une équation paramétrique et une équation cartésienne des droites vectorielles de R3 , D1 , D2 et D3 , dirigées respectivement par : ~u = 2~ı + ~ , 1 ~v = −~ı − ~ + 3~k , 2 w ~ = −~ı + 2~ . Lesquelles sont orthogonales ? b) Donner une équation cartésienne de l’hyperplan vectoriel de R3 orthogonal au vecteur ~v et une équation cartésienne de la droite vectorielle de R3 orthogonale aux vecteurs ~u et w. ~ c) Calculer ~u ∧ ~v , ~v ∧ w ~ et w ~ ∧ ~u. Forment-ils une base de R3 ? d) Soit θ ∈ R. Calculer ~u ∧ ~v , ~v ∧ w ~ et w ~ ∧ ~u où ~u = ~ı, ~v = cos θ~ı + sin θ ~, w ~ = ~k. Si θ ∈ / πZ, 3 montrer que cette famille est une base de R . 1 Exercice 4 Le R-espace vectoriel R3 est supposé muni de sa base canonique (~ı, ~, ~k). On considère les vecteurs ~v = ~ − ~k, ~v 0 = 3~ı + ~k, w ~ = ~ı + 2~k et w ~ 0 = −2~ı + ~. a) Justifier que ~v et ~v 0 engendrent un hyperplan vectoriel P de R3 et que w ~ et w ~ 0 engendrent 3 un hyperplan vectoriel Q de R . b) Montrer que P ∩ Q est une droite vectorielle de R3 et en donner une équation paramétrique. Exercice 5 Le R-espace vectoriel R3 est supposé muni de sa base canonique (~ı, ~, ~k) et de sa structure euclidienne usuelle. Soient a, b, c, a0 , b0 , c0 ∈ R. On considère les vecteurs ~v = a~ı + b~ + c~k et ~v 0 = a0~ı + b0~ + c0~k. a) Justifier par un argument d’algèbre linéaire que le sous-espace vectoriel de R3 , P = VectR {~v , ~v 0 } vérifie : x y z 3 P = (x, y, z) ∈ R : det a b c = 0 . a0 b0 c0 Donner une condition nécessaire et suffisante pour que P soit un hyperplan vectoriel de R3 et en donner une équation cartésienne. On suppose désormais que P est un hyperplan vectoriel de R3 . b) Donner une description de P à l’aide du produit vectoriel ~v ∧ ~v 0 . c) Donner une équation paramétrique et une équation cartésienne de la droite vectorielle de R3 orthogonale à P. 2