130_livre_professeur..

6. Vecteurs et repères • 93
6. Vecteurs et repères
Objectifs et pré-requis
Ce chapitre porte sur la notion de vecteur. Le choix effectué consiste à introduire cette notion avec la
notion assez naturelle de la translation, qui n’est pas étudiée en tant que telle. Les situations propo-
sées demandent aux élèves de résoudre des problèmes dont la résolution repose sur des calculs de
coordonnées, de distance, et d’alignement de parallélisme. Les élèves seront entraînés à mobiliser
les techniques habituelles de la géométrie plane, étudiées dans les classes de collège, qui peuvent
être enrichies par les techniques de la géométrie repérée nouvellement introduites.
Les vecteurs constituent un outil supplémentaire à la disposition des élèves pour travailler dans des
configurations planes.
La géométrie repérée offre enfin l’occasion de résoudre certains problèmes d’un point de vue
algorithmique.
Extrait du programme (Bulletin officiel n° 30 du 23 juillet 2009) :
Contenus Capacités attendues
Coordonnées d’un point du plan
Abscisse et ordonnée d’un point
dans le plan rapporté à un repère
orthonormé.
Distance de deux points du plan.
Milieu d’un segment.
• Repérer un point donné du plan, placer un point
connaissant ses coordonnées.
• Calculer la distance de deux points connaissant leurs
coordonnées.
• Calculer les coordonnées du milieu d’un segment.
Vecteurs
Définition de la translation qui
transforme un point A du plan en
un point B.
Vecteur
A
B
associé.
Égalité de deux vecteurs :
u
=
A
B
=
C
D .
Coordonnées d’un vecteur
dans un repère.
Somme de deux vecteurs.
Produit d’un vecteur
par un nombre réel.
Relation de Chasles.
• Savoir que
A
B
=
C
D
équivaut à ABDC est un
parallélogramme, éventuellement aplati.
• Connaître les coordonnées (xB – xA, yB – yA) du vecteur
A
B
.
• Calculer les coordonnées de la somme de deux vecteurs
dans un repère.
• Utiliser la notation
␭
u
.
• Établir la colinéarité de deux vecteurs.
• Construire géométriquement la somme de deux vecteurs.
• Caractériser alignement et parallélisme par la colinéarité
de vecteurs.
Corrigé de la question d’ouverture du chapitre ▶
Les coordonnées géographiques de l’œil du cyclone sont (25° N ; 130° E).

94 • 6. Vecteurs et repères
Corrigés des activités
1 Attention, ça glisse !
●
1 a., b. et c. Voir ci-contre.
A
Patineur 1
Patineur 2
B
●
2 1 et 7
2 et 10
3 et 9
4 et 6
5 et 12
8 et 11
●
3 a., b. et d. B
A
D
C
B’
A’
D’
C’
B’’
A’’
D’’
C’’
M
O
P
N
c. Les segments fléchés ont la même longueur, la même direction et le même sens.
2 Somme de vecteurs
●
1 a. et b. Voir ci-contre. A
MB
C
N
P
●
2 a. Comme
A
B
=
M
N
, ABNM est un parallélogramme.
On en déduit que
AM
BN
=
.
b. Comme
N
P
=
B
C , NPCB est un parallélogramme.
On en déduit que
B
N
=
C
P
.
c. D’après a. et b., on a
A
M
=
C
P
. On en déduit que AMPC
est un parallélogramme et que P est l’image de M par la
translation de vecteur
A
C
.
3 Coordonnées de vecteurs
●
1 a.
O
B
=
3
O
I
=
3
i
et
O
C
=
−
2
O
J
=
−
2
j
.
b.
O
A
=
3
i
−
2
j
A(3 ; – 2)

6. Vecteurs et repères • 95
c.
Nom du point Décomposition vectorielle Coordonnées du point
A
O
A
=
3
i
−
2
j
(3 ; – 2)
B
O
B
=
3
i
(3 ; 0)
C
O
C
=
−
2
j
(0 ; – 2)
D
O
D
=
7
i
−
j
(7 ; – 1)
E
O
E
=4
i
+
j
(4 ; 1)
F
O
F
=
4
j
(0 ; 4)
G
O
G
=
−
2
i
−
j
(– 2 ; – 1)
d.
x
J
O
y
P
M
N
I
●
2 a.
A
D
=
4
i
+
j b.
A
D
=
O
E
donc
A
D
(4 ; 1)
c.
Nom du vecteur Décomposition vectorielle Coordonnées du vecteur
A
D
A
D
=
4
i
+
j
(4 ; 1)
B
F
B
F
=
−
3
i
+
4j
(– 3 ; 4)
E
G
E
G
=
−
6
i
−
2
j
(– 6 ; – 2)
F
C
F
C
=
−
6
j
(0 ; – 6)
Corrigés des Travaux pratiques
TICE 1 Lire des coordonnées dans différents repères
Exercice autocorrectif.

96 • 6. Vecteurs et repères
TICE 2 Démontrer avec les vecteurs
●
1 Voir ci-contre.
●
2 a.
M
A
=
D
N
=
P
B
.
b. Les points N, O et P sont alignés.
●
3 a. Appliquer les égalités vectorielles obtenues dans les
différents parallélogrammes construits.
b. Démontrer que le quadrilatère DPBN est un
parallélogramme.
TICE 3 Somme nulle
●
1 Voir ci-contre.
●
2 On conjecture que le point M se trouve au centre
de gravité du triangle ABC.
●
3 a. On applique la relation de Chasles.
On en déduit que
A
M
=
2
M
I
et donc que A, M et
I sont alignés.
b. On démontre de façon analogue que B, M et
J sont alignés.
c. On en déduit que M est le point d’intersection
des médianes du triangle ABC.
TICE 4 Longueurs égales dans un parallélogramme
●
1 Voir ci-contre.
●
2 On conjecture que DM = MN = NB.
●
3 a. On se place dans le parallélogramme AICJ.
b. On applique une propriété des milieux dans le
triangle DCN.
c. On applique de même une propriété des milieux
dans le triangle ABM.
d. DM = MN = NB.
TICE 5 Que de milieux !
●
1 Voir ci-contre.
●
2 On conjecture que les points D, H et E sont alignés ou que H est
le milieu du segment [DE].
●
3 A(0 ; 2) B(0 ; 0) C(1 ; 0)
I(0 ; 1) J(0,5 ; 1) D(0,25 ; 1)
E(0,5 ; 0) F(0,25 ; 0,5) G(0,5 ; 0,5) H(0,375 ; 0,5)
Le milieu de [DE] a pour coordonnées (0,375 ; 0,5),
c’est le point H.

6. Vecteurs et repères • 97
Algorithmique 1 Construction du quatrième sommet du parallélogramme
●
1
x
I
=
x
B
+
x
C
2
=
3
+
6
2
=
4
,
5
et
y
I
=
y
B
+
y
C
2
=
3
+
5
2
=
4 , donc I(4,5 ; 4).
●
2 a. Les coordonnées de D s’obtiennent en ajoutant celles du vecteur
u
à celles du point C. On en
déduit que
C
D
=
u
.
b. ABDC est un parallélogramme car
C
D
=
u
.
c.
u
3
−
1
3
−
4
⎛
3
⎝
3
⎜
⎛
⎛
⎝
⎝
⎞
⎠
⎟
⎞
⎞
⎠
⎠
donc
u
2
−
1
⎛
⎝
⎜
⎛
⎛
⎝
⎝
⎞
⎠
⎟
⎞
⎞
⎠⎠
. x
D
=
x
C
+
x
u
=
6
+
2
=
8
et
y
D
=
y
C
+
y
u
=
5
−
1
=
4
, donc D(8 ; 4).
●
3 On sait que
I
D
=
A
I
donc on peut écrire par exemple en ligne 2 :
v:=vecteur(A,I); D:=I + v.
Algorithmique 2 Coordonnées et norme d’un vecteur
Le vecteur
A
B
a pour coordonnées
p
−
m
q
−
n
⎛
⎝
⎜
⎛
⎛
⎝
⎝
⎞
⎠
⎟
⎞
⎞
⎠
⎠
, c’est-à-dire
x
y
⎛
⎝
⎜
⎛
⎛
⎝
⎝
⎞
⎠
⎟
⎞
⎞
⎠
⎠
.
La norme du vecteur
A
B
est donc
AB
xy
=
x
22
y
+
.
On peut ajouter une ligne de la forme SQRT(X2+Y2)→ Z et ajouter Z dans la liste des résultats à affi-
cher en sortie.
Sur TI 83+ sur Casio Graph 35+
Algorithmique 3 Colinéarité, alignement
●
1 Les vecteurs
A
B
et
C
D
ont pour coordonnées
m
n
⎛
⎝
⎜
⎛
⎛
⎝
⎝
⎞
⎠
⎟
⎞
⎞
⎠
⎠
et
p
q
⎛
⎝
⎜
⎛
⎛
⎝
⎝
⎞
⎠
⎟
⎞
⎞
⎠
⎠
.
L’erreur vient du test de colinéarité qui devrait être « if m*q-n*p==0 ».
●
2 Il faut trois points A, B et C et remplacer le calcul des coordonnées du vecteur
C
D
par celles du
vecteur
A
C
par exemple. Penser bien sûr à changer le texte dans la conclusion.
Quelques exemples de programmation :
En Python Avec Algobox