130_livre_professeur..

6. Vecteurs et repères
Objectifs et pré-requis
Ce chapitre porte sur la notion de vecteur. Le choix effectué consiste à introduire cette notion avec la
notion assez naturelle de la translation, qui n’est pas étudiée en tant que telle. Les situations proposées demandent aux élèves de résoudre des problèmes dont la résolution repose sur des calculs de
coordonnées, de distance, et d’alignement de parallélisme. Les élèves seront entraînés à mobiliser
les techniques habituelles de la géométrie plane, étudiées dans les classes de collège, qui peuvent
être enrichies par les techniques de la géométrie repérée nouvellement introduites.
Les vecteurs constituent un outil supplémentaire à la disposition des élèves pour travailler dans des
configurations planes.
La géométrie repérée offre enfin l’occasion de résoudre certains problèmes d’un point de vue
algorithmique.
Extrait du programme (Bulletin officiel n° 30 du 23 juillet 2009) :
Contenus
Coordonnées d’un point du plan
Abscisse et ordonnée d’un point
dans le plan rapporté à un repère
orthonormé.
Distance de deux points du plan.
Milieu d’un segment.
Vecteurs
Définition de la translation qui
transforme un point A du plan en
un point B.
Vecteur AB associé.
Égalité de deux vecteurs :
u = AB = CD .
Coordonnées d’un vecteur
dans un repère.
Somme de deux vecteurs.
Produit d’un vecteur
par un nombre réel.
Relation de Chasles.
Capacités attendues
• Repérer un point donné du plan, placer un point
connaissant ses coordonnées.
• Calculer la distance de deux points connaissant leurs
coordonnées.
• Calculer les coordonnées du milieu d’un segment.
• Savoir que AB = CD équivaut à ABDC est un
parallélogramme, éventuellement aplati.
• Connaître les coordonnées (xB – xA, yB – yA) du vecteur AB .
• Calculer les coordonnées de la somme de deux vecteurs
dans un repère.
• Utiliser la notation ␭u .
• Établir la colinéarité de deux vecteurs.
• Construire géométriquement la somme de deux vecteurs.
• Caractériser alignement et parallélisme par la colinéarité
de vecteurs.
▶ Corrigé de la question d’ouverture du chapitre
Les coordonnées géographiques de l’œil du cyclone sont (25° N ; 130° E).
6. Vecteurs et repères • 93
Corrigés des activités
1
Attention, ça glisse !
1 a., b. et c. Voir ci-contre.
●
Patineur 1
2 1 et 7
●
2 et 10
3 et 9
4 et 6
5 et 12
8 et 11
A
B
Patineur 2
3 a., b. et d.
●
M
B
A
N
B’
O
C
A’
D
B’’
A’’
C’
D’
C’’
P
D’’
c. Les segments fléchés ont la même longueur, la même direction et le même sens.
2
Somme de vecteurs
1 a. et b. Voir ci-contre.
●
2 a. Comme AB = MN
●
,ABNM
est un parallélogramme.
On en déduitque
AM
= BN .
b. Comme NP = BC
, NPCB
est un parallélogramme.
On en déduit que BN = CP
. c. D’après a. et b., on a AM = CP . On en déduit que AMPC
est un parallélogramme
et que P est l’image de M par la
translation de vecteur AC .
3
Coordonnées de vecteurs
1 a. OB = 3OI = 3i
●
et OC = −2OJ = −2 j .
b. OA = 3i − 2 j
A(3 ; – 2)
94 • 6. Vecteurs et repères
C
A
P
M
B
N
c.
Nom du point
Décomposition vectorielle
OA = 3i − 2 j
A
Coordonnées du point
(3 ; – 2)
C
OB = 3i
OC = −2 j
(0 ; – 2)
D
OD = 7i − j
(7 ; – 1)
E
OE = 4i + j
(4 ; 1)
F
OF = 4 j
(0 ; 4)
G
OG = −2i − j
(– 2 ; – 1)
B
(3 ; 0)
N y
d.
M
P
J
O
2 a.
●
AD = 4i + j
I
x
b. AD = OE donc AD (4 ; 1)
c.
Nom du vecteur
AD
Décomposition vectorielle
AD = 4i + j
Coordonnées du vecteur
BF
BF = −3i + 4 j
(– 3 ; 4)
EG
EG = −6i − 2 j
(– 6 ; – 2)
FC
FC = −6 j
(0 ; – 6)
(4 ; 1)
Corrigés des Travaux pratiques
TICE 1
Lire des coordonnées dans différents repères
Exercice autocorrectif.
6. Vecteurs et repères • 95
TICE 2
Démontrer avec les vecteurs
1 Voir ci-contre.
●
2 a. MA = DN = PB .
●
b. Les points N, O et P sont alignés.
3 a.
●
Appliquer les égalités vectorielles obtenues dans les
différents parallélogrammes construits.
b. Démontrer que le quadrilatère DPBN est un
parallélogramme.
TICE 3
Somme nulle
1 Voir ci-contre.
●
2 On conjecture que le point M se trouve au centre
●
de gravité du triangle ABC.
3 a. On applique la relation
●
de
Chasles.
On en déduit que AM = 2MI et donc que A, M et
I sont alignés.
b. On démontre de façon analogue que B, M et
J sont alignés.
c. On en déduit que M est le point d’intersection
des médianes du triangle ABC.
TICE 4
Longueurs égales dans un parallélogramme
1 Voir ci-contre.
●
2 On conjecture que DM = MN = NB.
●
3 a. On se place dans le parallélogramme AICJ.
●
b. On applique une propriété des milieux dans le
triangle DCN.
c. On applique de même une propriété des milieux
dans le triangle ABM.
d. DM = MN = NB.
TICE 5
Que de milieux !
1 Voir ci-contre.
●
2 On conjecture que les points D, H et E sont alignés ou que H est
●
le milieu du segment [DE].
3 A(0 ; 2)
●
B(0 ; 0)
C(1 ; 0)
I(0 ; 1)
J(0,5 ; 1)
D(0,25 ; 1)
E(0,5 ; 0)
F(0,25 ; 0,5)
G(0,5 ; 0,5)
H(0,375 ; 0,5)
Le milieu de [DE] a pour coordonnées (0,375 ; 0,5),
c’est le point H.
96 • 6. Vecteurs et repères
Algorithmique 1
Construction du quatrième sommet du parallélogramme
y + yC 3 + 5
3+6
=
= 4,5 et y I = B
=
= 4 , donc I(4,5 ; 4).
2
2
2
2
Les coordonnées
de D s’obtiennent en ajoutant celles du vecteur u à celles du point C. On en
déduit que CD = u .
b. ABDC est un parallélogramme car CD = u .
1 x
●
2 a.
●
I
=
xB + xC
⎛⎛3
3 − 1⎞
⎛2 ⎞
c. u⎜
donc u⎜ ⎟ . xD = xC + xu = 6 + 2 = 8 et y D = y C + yu = 5 − 1 = 4 , donc D(8 ; 4).
⎟
⎝⎝3
⎝ −1⎠
3 − 4⎠
3 On sait que ID = AI donc on peut écrire par exemple en ligne 2 :
v:=vecteur(A,I); D:=I + v.
●
Algorithmique 2
Coordonnées et norme d’un vecteur
⎛ p − m⎞
⎛ x⎞
Le vecteur AB a pour coordonnées ⎜
, c’est-à-dire ⎜ ⎟ .
⎝ y⎠
⎝q − n ⎟⎠
La norme du vecteur AB est donc AB = x 2 + y 2 .
On peut ajouter une ligne de la forme SQRT(X2+Y2)→ Z et ajouter Z dans la liste des résultats à afficher en sortie.
Sur TI 83+
sur Casio Graph 35+
Algorithmique 3
1 Les vecteurs
●
Colinéarité, alignement
⎛ p⎞
⎛m⎞
AB et CD ont pour coordonnées ⎜ ⎟ et ⎜ ⎟ .
⎝n ⎠
⎝ q⎠
L’erreur vient du test de colinéarité qui devrait être « if m*q-n*p==0 ».
2 Il faut trois
●
points A, B et C et remplacer le calcul des coordonnées du vecteur CD par celles du
vecteur AC par exemple. Penser bien sûr à changer le texte dans la conclusion.
Quelques exemples de programmation :
En Python
Avec Algobox
6. Vecteurs et repères • 97
Algorithmique 4
Triangles isocèles
1 Avec les points A(– 1 ; – 1), B(7 ; 3) et C(2 ; 3) :
●
a = (7 – 2)2 + (3 – 3)2 = 52 + 02 = 25 et
b = (– 1 – 2)2 + (– 1 – 3)2 = (– 3)2 + (– 4)2 = 25.
Le test « Si a = b » est vrai donc l’algorithme affiche « Le triangle ABC est isocèle en C ».
2 a.
●
Les variables a, b et c représentent les carrés des longueurs BC, AC et AB.
b. Le calcul de c n’est nécessaire que si a et b ne sont pas égaux.
2 Pour tester si le triangle est équilatéral, il faut évaluer les égalités entre a, b et c avant de prendre une
●
décision et d’afficher la nature du triangle.
Un exemple d’algorithme :
Entrée :
xa et ya les coordonnées de A.
xb et yb les coordonnées de B.
xc et yc les coordonnées de C.
Traitement
a = (xb - xc)2 + (yb - yc)2
et sortie :
b = (xa - xc)2 + (ya - yc)2
c = (xa - xb)2 + (ya - yb)2
si a = b
si a = c
afficher « le triangle ABC est équilatéral. »
sinon
afficher « le triangle ABC est isocèle en C. »
sinon
si b = c
afficher « le triangle ABC est isocèle en A. »
sinon
si a = c
afficher « le triangle ABC est isocèle en B. »
sinon
afficher « le triangle ABC n’est pas isocèle. »
Algorithmique 5
Construction de figures par itération
1 a.
●
L’exécution de truc(60, 50, 80) donne la figure ci-contre.
b. En nommant les sommets A, B, C et D, la construction implique les
angles marqués sur la figure. L’angle formé par les vecteurs BC et CD est 180 – a, donc son
supplé
mentaire est a, qui est aussi l’angle formé par les vecteurs CB et CD .
On peut ainsi montrer à l’aide des angles alternes-internes que les
droites (AB) et (CD) sont parallèles.
On montre de même que les droites (BC) et (AD) sont parallèles, on en
conclut que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.
180 – a
D
a
C
a
A
B
Remarque
On aurait pu s’appuyer sur le fait que les cotés sont deux à deux égaux, mais rien ne prouve alors que
ABCD soit un quadrilatère (se referme-t-il ?).
2 a.
●
Si n = 4, a = 90, donc chaque truc construit est un parallélogramme avec un angle droit, c’est un
rectangle.
98 • 6. Vecteurs et repères
Le multitruc(4) est composé de quatre rectangles.
b. multitruc(6) :
3
●
c. Le multitruc(13) ne se referme pas car le programme calcule un angle a arrondi à l’entier inférieur.
360
≈ 27,69... donc le programme trace la figure avec a = 27. Il manque donc 360 – 27 × 13 = 9°.
13
4
●
Problème ouvert 1
Cercle et parallélogrammes
1 Voir ci-contre.
●
2 Conjecturer que les points M, N et B sont
●
alignés ou, mieux, que le point B est le milieu
de [MN].
3 Dans les parallélogrammes
correspondants,
●
prouver que AP = BM et que AP = NB .
Problème ouvert 2
Dans un parallélogramme
1
●
2 On démontre que le quadrilatère DCA’B est un parallélogramme en prouvant que DC = BA ′ .
●
6. Vecteurs et repères • 99
Problème ouvert 3
Dans un trapèze
1 On peut conjecturer que les points I, J, K et L sont alignés et
●
que IJ = KL et IK = JL.
2 En considérant respectivement
●
les triangles ABD et ABC,
prouver que les vecteurs IK et JL sont égaux et en déduire
que le quadrilatère IKLJ est un parallélogramme aplati. On
en déduit que les segments [IK] et [JL] ont même milieu.
Problème ouvert 4
Droites parallèles (1)
1 Voir ci-contre.
●
2 Dans le repère (B, BC, BA) , on a :
●
A(0 ; 1)
C(1 ; 0)
I(0,5 ; 0)
1
1 2
; 0) P( ; )
3
3 3
1 P est tel que AP = AC .
3
E(0 ;
2
)
3
B(0 ; 0)
F(
Problème ouvert 5
Droites parallèles (2)
1 Voir ci-contre.
●
2 Dans le repère (A, AB, AD) , on note (x ; y) les
●
coordonnées de P. Alors :
RM (x ; –y),
NS (1 – x ; y – 1).
Les vecteurs RM et NS sont colinéaires,
donc :
x(y – 1) = –y(1 – x) soit x = y.
Les points cherchés sont donc les points du
segment [AC].
Problème ouvert 6
Milieu cherche son segment
Le passage par le parallélogramme de sommets
A, P et Q et de centre B peut être envisagé.
100 • 6. Vecteurs et repères
Corrigés des exercices et problèmes
Exercices d’application
La translation de vecteur BN envoie la figure 1
sur la figure 7.
La translation de vecteur DK envoie la figure 2 sur
la figure 8.
La translation de vecteur EG envoie la figure 3 sur
la figure 5.
La translation de vecteur OI envoie la figure 4 sur la
figure 6.
1
d. BB = EE
e. AB = −DC
f. − AB = −CD ou − AC = −BD
8
M
P
B
2
L’image du
point …
1. et 2.
C
N
N
par la translation
de vecteur …
t
AB
L
t
CD
E
L
t
u
M
I
t
AB
G
M
t
CD
J
E
t
u
J
O
t
CD
M
K
t
AB
H
est le point ….
J
A
3. N est le milieu de [AB] et P est le milieu de [MC].
9
1. et 2.
A
F
B
D
E
3. On prouve que FD = DE .
10
2u
2u – 3v – w
– 3v
3
Construction des images du quadrilatère
ABCD.
4
C
–w
Construction de l’image de la figure.
a. AB = EF = GH = JO
b. CD = EG = GI = NP = FH
c. DC = GE = GI = PN = HF
5
11
– u – 2v + 1 w
2
6
a. Vrai
Faux
Vrai
Vrai
Faux
Faux
Vrai
7 a. BD = AC
b.
c.
d.
e.
f.
g.
b. ED = BA
c. DB = CA
– 2v
–u
1w
2
12
B
a
b
C
A
6. Vecteurs et repères • 101
13
a. BC = BA + AC
BC = BI + IA + AJ + JC
BC = IA + IA + AJ + AJ
BC = 2IJ
b. On vient de montrer le théorème des milieux.
23
– OB
– 2u
C
A
O
3u
–v
2v
a. AD = AI + ID = IC + ID
b. AB + AD = AC = 2IC
B
24
14
M
25
– AC
a.
A
B
F
– 2 AB
E
– 3 BC
2
N
C
3 BC
b. FB + FC = 2FA + AB + AC = 0
C
A
26
B
a. et b.
C
15
A
B
D
M
MA
E
C
2 BC + BD – 2 AC
D
B
A
c. BCDE est un losange. On démontre que BCDE
est un parallélogramme dont les diagonales sont
perpendiculaires.
27
a.
B
17
3 a. u = a + 2b
2
a. u = a + 5b
b. v = −a + b
18
a. u = a
b. u
16
c. u = −17a
b. u = −3a + 2b
7 a
8
d. u = 10a
a. u = 2a + 8b
7 7 b. u = a − b
3
12
c. u = −5a − b
19
20
Démonstration en appliquant la relation de
Chasles.
21
Démonstration en appliquant la relation de
Chasles.
22 CA + CB = CI + IA + CI + IB = 2CI
102 • 6. Vecteurs et repères
A
M
C
D
N
b. MD + ND = MA + AD + NC + CD
MD + ND = AB + BC + CB + BA = 0
28
Les
couples de vecteurs colinéaires sont :
a
et z
b
et t
u
et w
c et v
29 a. k = – 0,5
b. Les vecteur u et v sont colinéaires.
5
2
b. Les vecteur u et v sont colinéaires.
30
a. k = −
31
1. Construire les vecteurs en remarquant que
1 w= u.
3
2. Les vecteur v et w sont colinéaires car v = −12w .
32 Les droites (AB) et (CD) sont parallèles dans
les cas a, b et d.
Les droites (AB) et (CD) ne sont pas parallèles dans
le cas c.
33 La propriété des milieux donne : BC = 2IJ .
Les vecteurs sont colinéaires.
34 Les points A, B et C sont alignés dans les cas a,
c et d.
Dans le cas b, on a BA = 0 , donc A et B sont
confondus, et les 3 points sont alignés.
35 La colinéarité de AB et AC prouve que A, B et
C sont alignés.
La colinéarité de BC et CD prouve que B, C et D
sont alignés.
42
a. et b. u (– 3 ; 1)
– u (3 ; – 1)
v (– 1 ; 3)
– v (1 ; – 3)
w (1 ; 3)
– w (– 1 ; – 3)
z (– 3 ; – 1)
– z (3 ; 1)
43 1. u (– 4 ; 6)
v (4 ; 2)
w (– 3 ; – 7)
z (– 7 ; – 3)
2. a. A(9 ; – 1)
44
1. et 2. a.
y
36 1. A(– 2 ; 5), B(4 ; 2), C(4 ; 6) et D(– 4 ; – 2)
2. a. A(5 ; – 2), B(2 ; 4), C(6 ; 4) et D(– 2 ; – 4)
b. A(– 2 ; 2,5), B(4 ; 1), C(4 ; 3) et D(– 4 ; – 1)
c. A(2 ; – 5), B(– 4 ; – 2), C(– 4 ; – 6) et D(4 ; 2)
37 a. Vrai
c. Vrai
2. a.
b. I(0 ; 0) et B(– 1 ; 0)
1. I(0 ;
(
O
a
)
b. I(0 ; 0) et C(0 ; 1)
41 a. u (5 ; – 2) et v (– 4 ; – 3)
b. et c.
– 1w
3
x
46
AB (0 ; – 5), AC (8 ; – 6) et BC (8 ; – 1)
47
t
2 u (4 ; – 6)
48
t
–3 u(6 ; – 12)
49
a. S(2 ; – 3)
50
C(8 ; 2)
51
a. M( −
t
4 v (8 ; – 20)
t
– 5 w (0 ; 10)
t
t t
– 3 u + 4 v – 5 w (4 ; – 22)
y
w
A
B
j
O i
–u
b
v
t
5 v (– 5 ; – 20)
t
t
2 u + 5 v (– 1 ; – 26)
t
t
2 u – 5 v (9 ; 14)
1
) et C(– 1 ; 1)
2
2. a. I, IB, IC
40
w
b. a (– 6 ; – 1) et b (3 ; 3)
45 a. AB (4 ; – 2), DC (4 ; – 2)
b. ABCD est un parallélogramme.
(C, CB, CA) ou (I, IB, IA)
(I, IC, IA)
1.
u
b. Faux
d. Faux
38 a. A(0 ; 0) et C(1 ; 1)
b. A(1 ; 0) et C(0 ; 1)
c. A(0 ; 0) et C(1 ; 0)
39
b. B(2 ; 6)
x
52
b. S(6 ; 7)
8 3
; )
b. N(26 ; – 4)
5 5
1. u = i − 2 j et v = −3i − j
6. Vecteurs et repères • 103
2. a.
b. b (1 ; 4)
a (2 ; – 3)
c. c (– 2 ; – 9)
53 1. AB (1 ; 2)
2. a. M(4 ; 3)
b. N(5 ; 5)
7
c. P( ; 2)
2
54 Les vecteurs u et v sont colinéaires dans les
cas a et b.
55 Les vecteurs u et v ne sont pas colinéaires.
56 AC (2 ; 6) et BD (3 ; 9)
2 × 9 – 6 × 3 = 0, les vecteurs sont donc colinéaires.
1. On démontre que les vecteurs AB et CD
sont colinéaires et on en déduit que les droites (AB)
et (CD) sont parallèles.
2. On démontre que les vecteurs EB et ED sont
colinéaires et on en déduit que les points E, B et D
sont alignés.
68 On démontre que les vecteurs AB et CD sont
colinéaires et on en déduit que le quadrilatère ABCD
est un trapèze.
67
69
1.
y
B
57 Il faut vérifier que les coordonnées des vecteurs
ne sont pas proportionnelles.
58
I(– 4 ; 3)
59
P(
60
AB =
221
61
CD =
40
62
1.
1
13
; −
)
2
30
j
B
y
O
x
I
C
A
61 ≈ 7,81
5
4
c. n = 0 ou n = 14
63
a. n = –
N
O i
J
2. a. BC =
P
M
M
b. M(–
1
; – 2)
2
b. n = – 3 ou n = 3
64 a. On démontre que les vecteurs B et CD
ne sont pas colinéaires.
b. On démontre que les vecteurs AC et DE sont
colinéaires.
65 1. et 2. On démontre que les vecteurs AB et
AC sont colinéaires.
66 1. On démontre que les vecteurs AB et AC
ne sont pas colinéaires et on en déduit que les points
A, B et C ne sont pas alignés.
2. On démontre que les vecteurs AB et AC sont
colinéaires et on en déduit que les points A, B et C
sont alignés.
104 • 6. Vecteurs et repères
C x
2. Les coordonnées du point P sont
(5 ; 4).
On démontre que les vecteurs BP et CP ne sont
pas colinéaires et on en déduit que le point P n’appartient pas au segment [BC].
70 1. On a BD = BC + BA .
2. a. On démontre que les vecteurs BD et EF sont
colinéaires et on en déduit que les droites (BD) et
(EF) sont parallèles.
b. On démontre que les vecteurs FA et FG sont
colinéaires et on en déduit que les points F, A et G
sont alignés.
3
1
3
1
71 a. I( ; − ) et J( ; − )
2
2
2
2
b. Les diagonales du quadrilatère ABCD ont même
milieu donc ABCD est un parallélogramme.
72
a.
y
A
B
D
j
O i
x
E
C
b. D(1 ; 0)
c. E(3 ; – 1)
73 a. EF = FG = GH = EH = 5
b. Le quadrilatère EFGH est un losange.
2.
74 AB = BC = 26
Le triangle ABC est isocèle en B.
75 AB2 = 32
AM2 = m2 + 4m + 5
BM2 = m2 – 4m + 13
En appliquant le théorème de Pythagore :
– le triangle ABM est rectangle en B pour m = 5 ;
– le triangle ABM est rectangle en M pour m = – 7
ou m = 7 ;
– le triangle ABM est rectangle en A pour m = – 3.
76
R
89
77
B et C
78
A et C
79
A, B et D
80
A
81
B, C et D
82
B et D
83
B et D
84
A et D
Remarque
En B et C, des valeurs particulières de a, b et k
peuvent rendre colinéaires les vecteurs considérés.
B et C
86
B
Problèmes
87
88
nul.
P
(– 1 ; 15 ) et (– 1 ; – 15 )
QCM
85
F’
P + R + F’
1. La somme des vecteurs est égale au vecteur
1. Figure dans chacun des cas.
2. a. 2OA + 3OB = 0
2OA + 3OA + 3AB = 0
3 OA = − AB
5
b. Démonstration semblable.
3. Plus le point d’appui est proche de l’objet à
soulever et plus il sera facile de soulever un objet
lourd.
90 a. KD = DC = AB = BI
O est le milieu de [IK] car KDIB est un parallélogramme.
b. LA
L = AD = BC = CJ , donc LAJC est un parallélogramme et O est le milieu de [LJ].
c. IJKL est un parallélogramme.
91 CN = 2AB + AC − 3BC
CN = 2AB + AC − 3BA − 3AC
CN = 5AB + 2CA
CA + AN = 5AB + 2CA .
Donc AN = 5AB + CA = AM .
On en déduit que M et N sont confondus.
92 1. a. AB = AN + NP + PB
AB = OM + NP + MN + MO
AB = MP
b. OC = OP + PC = 2OP = MP
c. Le quadrilatère OABC est un parallélogramme.
2. (CA) coupe [OB] en son milieu donc (CA) est une
médiane de OBC.
P est le milieu de [OC] donc (PB) est une médiane
de OBC.
3. (OG) est la troisième médiane du triangle OBC
donc elle coupe [BC] en son milieu.
6. Vecteurs et repères • 105
93
b.
c.
2.
3.
1. a. 0°
Pôle Nord : 90° N
Pôle Sud : 90° S
France, Angleterre et Espagne.
a. 40° N
b. 10° E
a. (30° S ; 149° O)
b. (33° N ; 110° E)
b. On en déduit que les point A, C et D ne sont pas
alignés. Les pièces du puzzle ne recouvrent pas totalement le rectangle.
94 a. Siaya et Macapa sont distantes de 9 450 km
environ.
b. Les deux villes sont distantes de 11 118 km
environ.
1
1
; 0), J( ; 1), K(x ; y) et L(1 – x ; 1 – y)
2
2
1
1
; y – 1) et LI (x –
; y – 1).
2. a. JK (x –
2
2
b. JK = LI donc le quadrilatère ILJK est un parallélogramme.
95
98
Traduction de l’énoncé
Point de vue
Depuis le seuil de l’auberge des Amis (altitude
900 m) est-il possible, par beau temps, d’apercevoir le clocher de la chapelle de l’Orpaillage
(altitude 660 m).
Répondre en utilisant la carte ci-jointe. Justifier.
97
1. I(
1. AB2 = 17, AC2 = 34 et BC2 = 17.
2. a. M est le milieu de [AC]. Ses coordonnées sont
⎛
5⎞
; 2− ⎟.
2⎠
⎝⎜ 2
b. Les triangles MAB et MBC sont rectangles en M
donc :
P est le milieu de [AB]. Ses coordonnées sont
⎛1
⎞
⎜⎝ 2 ; 2 − 2⎟⎠ ;
Q est le milieu de [BC]. Ses coordonnées sont
⎛
9⎞
⎜⎝ 2 ; 2 − 2⎟⎠ .
3 1
; )
2 2
2. a. A’(4 ; – 1)
b. Le quadrilatère ABA’C est un parallélogramme.
c. On démontre que le triangle ABC est rectangle en
A : AB2 = 17, AC2 = 17 et BC2 = 34.
3. On démontre par exemple que le triangle BTC est
rectangle en B : BT2 = 34, BC2 = 34 et TC2 = 68.
99
Soient A la position de l’observateur à l’Auberge des
Amis, M le point situé dans la direction du regard
vers le village à l’altitude 800 m sur la crête de la
Croupe, H le point d’altitude 900 m situé à la verticale de la chapelle, N le point situé à l’altitude 900 m
à la verticale de M, S l’intersection de la ligne du
regard (AM) avec la verticale (OH) de la chapelle.
Le théorème de Thalès ou le théorème des milieux
donnent alors HS = 200 m.
Or OH = 900 – 660 = 240 m, donc OS = 40 m.
On ne peut donc pas voir le clocher de la chapelle
de l’Orpaillage depuis l’Auberge des Amis, à moins
qu’il ne soit haut de plus de 40 m, ce qui est peu
plausible.
96
1. Aire du carré : 64.
Aire du rectangle : 65.
Les deux figures n’ont pas la même aire alors qu’on
aurait pu le penser.
⎛ 1 1 ⎞
2. a. Dans le repère ⎜ A, AB, BC⎟ : AC (8 ; 3) et
3 ⎠
⎝ 8
AD (13 ; 5).
8 × 5 – 13 × 3 ≠ 0, donc les vecteurs AC et AD ne
sont pas colinéaires.
106 • 6. Vecteurs et repères
100
1. I(
1.
y
M
b
N
a
J
–b
O
x
I a
2. a. Le triangle OMN semble être un triangle
rectangle isocèle en O.
b. OM2 = a2 + b2 = ON2
et MN2 = (a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2) = OM2 + ON2.
101
1.
D
C
M
A
2. a. (A, AB, AD )
b. D(0 ; 1), C(1 ; 1) et N(
B
4
; 1).
3
N
c. Les points D, C et N ont la même ordonnée, ils
sont alignés.
102
1. et 2. a.
y
C
J
K
I
x
L
O i
B
D
b. Le quadrilatère IJKL est un parallélogramme.
1
13
1
13
3. a. I(4 ; ), J(
; 1), K(9 ; ) et L(
; 0)
2
2
2
2
b. On démontre que les vecteurs IJ et LK sont
égaux.
103
1. a.
A’
D
I
O
B
O’
2. a. A ′C = A ′D + DC = DA + DC = DB
b. DB = DO + OB = 2OB = O O ′
c. A ′C = O O ′ , donc le quadrilatère A’CO’O est un
parallélogramme, et I est le milieu de [A’O’].
104
1
3 3
I ( ; 0) , J ( ; ) et Q(0 ; 1).
2
4 4
5
5
5
2
IJ = , IQ2 =
et JQ2 =
donc le triangle IJQ est
8
4
8
isocèle et rectangle en J.
106
On se place dans le repère B, BC, BA :
(
)
1
1 2
A(0 ; 1), J ( ; 0) et I ( ; ) .
2
6 3
1
1
On démontre que les vecteurs AI( ; − ) et
6
3
1
AJ( ; − 1) sont colinéaires et donc que les points A,
2
I et J sont alignés.
107 Le milieu d’un bipoint a des coordonnées
entières si, et seulement si, les abscisses des deux
points sont de même parité et leurs ordonnées
aussi.
On peut placer 4 points en évitant cette situation,
par exemple A (P ; P), B(P ; I), C (I ; P) et D(I ; I), mais
dès qu’on voudra placer un 5e point, ses coordonnées appartiendront l’une de ces 4 catégories.
108 On se place dans le repère A, AB, AD .
C
A
)
(
A
j
1
3
2. On démontre que les vecteurs DE ( ;
− 1) et
2 2
3
1
DF (
; − ) sont colinéaires.
2
2
105 On se place par exemple dans le repère
M, MN, MQ :
1. a. Soit h la hauteur du triangle ABE.
2
⎛ 1⎞
3
h2 + ⎜ ⎟ = 1 donc h =
.
⎝ 2⎠
2
On démontre le même résultat dans le triangle BCF.
1
3
3 1
b. E ( ;
) et F (
; )
2 2
2 2
(
)
Soit (x ; x) les coordonnées de M.
x2
x2
K(x ; 0), J(1 ; x) et P(
;
).
2x 1 2x
2x 1
On démontre que les vecteurs KJ(1 − x ; x
x x2
x2
KP(
;
) sont colinéaires.
2x − 1 2x − 1
)
et
109
b.
c.
2.
b.
3.
4.
1. a. 60°
61°
Il s’agit de ε Cas.
a. 21 h 20
21 h 30
(21 h 30 ; 48°)
M31, Deneb et le Double amas de Persée.
6. Vecteurs et repères • 107