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COURS DE LICENCE 2 – SCIENCES ECONOMIQUES
COURS D’ANNIE CLARET
MATHEMATIQUES 3
PRISE DE NOTE PAR : PLASMAN SYLVAIN – SERIE 7
ANNEE 2010 - 2011
1
Sommaire et accès aux chapitres/sous-chapitres
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Chapitre I
Les suites
SECTION I - LES SUITES, GENERALITES
I.
Les suites, généralités
A. Définition
B. Notation
C. Exemples
D. Opérations sur les suites
E. Suites convergentes
II.
Théorème de convergence pour les suites réelles
A. Définitions
B. Théorème (admis)
C. Exemples
D. Étude de
SECTION II - LES SUITES RECURRENTES LINEAIRES
I.
Généralités
II.
Equation d’ordre 1
A. Résolution de (2)
B. Comportement des solutions de (2)
C. Solutions particulières de (1)
D. Exemples (2)
III.
Equation d’ordre 2
A. Résolution de (2)
B. Comportement des solutions de (2)
C. Solutions particulières de (1)
D. Exemples
E. Application économique : Oscillateur économique de Samuelson
2
SECTION III – ESPACES VECTORIELS
I.
Etude de la structure de R²
II.
Espaces Vectoriels
A. Définition
B. Exemples
C. Premières propriétés
III.
Sous espace vectoriels
A. Définition
B. Propositions
C. Exemples
D. Propositions
E. Somme de 2 sous espaces vectoriels
F. Sous espaces vectoriels supplémentaires
IV.
Dépendance et interdépendance linéaire
A. Définition
B. Exemples
C. Propriétés
D. Théorème (admis)
E. Base d’un espace vectoriel
F. Dimension d’un espace vectoriel
G. Dimension des sous espaces vectoriels de E
Chapitre II
Applications linéaires
SECTION I - GENERALITES
I.
Généralités sur les applications linéaires
A. Définition
B. Proposition
C. Exemples
D. Remarque
E. Propriétés
F. Image et noyau d’une application linéaire
3
Annexes
AUTRES
Bibliographie
4
Chapitre I
Les suites
SECTION I – LES SUITES, GENERALITES
I.
Les suites, généralités
A. Définition
Soit
,
(ensemble)
On appelle suite définie sur
à valeurs réelles toute application de
B. Notation
= Ensemble des termes de la suite
: Terme de rang
C.
Exemples
-
Suite définition terme à terme
-
Suite définie par récurrence
Suite arithmétique (
5
vers
(réel)
Suite géométrique (
Si
ou
Si
et
,
)
pour tout
D. Opérations sur les suites
R étant muni des deux lois + et *, l’ensemble des suites définies sur A à valeurs réelles,
muni de + et *
Egalité
Multiplication
6
est
E.
Suite convergentes (
(nombre entier))
Définitions :
Exemple :
Soit
, existe-t-il
–
tel que
?
Or
Il suffit de choisir
, entier, et strictement supérieur à
0
Alors
II.
,
soit
Théorème de convergence pour les suites réelles
(
) : Sens de variation d’une suite
A. Définitions
1. Sens de variations des suites
: Suite à valeurs réelles

Suite croissant : Avec
Suite strictement croissante :

Suite décroissante
Suite strictement décroissante
Ex :
7
Ex :
2. Borner les suites

Suite majorée :

Suite minorée

Suite bornée : majorée et minorée
B.
Théorème (admis)
Ex :
Ex :
Ex :
: Suite à valeurs réelles
Si
est croissante majorée, alors elle converge
Si
est désormais minorée, alors elle converge
Les réciproques sont fausses
C. Exemples
Par récurrence : un > = 0 pour tout n appartient à N
Ce qui veut dire :
,
est minorée par 0
d’où
8
Comme elle est minorée par 0, elle converge
D. Étude de
Si la suite
définie par
, f continue
converge, sa limite est un point fixe de
Preuve :
f continue
Application à l’exemple :
Soit
, f continue sur
Si f est croissante, (
a) Si
) est monotone
, alors (
) est croissante
Par récurrence : pour
Conclusion :
b) Si
,
est décroissante
Si est décroissante, la suite
de sens de variations contraires
se décompose en deux sous suites
9
et
monotones et
1)
(o = rond = image de)
La croissance de
entraine la monotonie des deux sous suites
2) Supposons (
) croissante,
SECTION II – SUITES RECURRENTES LINEAIRES (voir fiche)
I.
Généralités
La variable entière est notée (temps, intervenant dans les modèles économiques)
Soient
Pb : recherche de la suite
vérifiant :
L’équation (1) s’appelle « Equation récurrente d’ordre p à coefficients constants »
« Suite récurrente linéaire »
1) L’équation :
est l’équation de récurrence d’ordre
à coefficients constants appelée équation homogène associée à l’équation complète (1)
2) L’ensemble des solutions de (2) est parfaitement déterminé par la connaissance de p
solutions indépendantes de cette équation.
3) Obtention de la solution de (1)
Soit
Soit
10
Donc :
La solution générale de l’équation complète (1) s’obtient en ajoutant à la solution générale de
l’équation homogène de (2) une solution particulière de l’équation complète (1)
Remarque : la donnée de conditions initiales
entraîne l’unicité de la solution de (1)
4) Equation
On résout séparément :
Soit
Soit
Conclusion :
Exemple
Toutes les solutions s’écrivent

Remarquons :

Remarquons :
11
Alors
II.
Equation récurrente d’ordre I
(E.C) : Equation complète
(E.H) : Equation homogène
(E.C)
,
(E.H)
(1)
(2)
A. Solution de (2)
L’ensemble des solutions de (2) est engendré par 1 solution non nulle (p=1)
On la cherche sous la forme
(
L’équation
)
s’appelle « équation caractéristique » associée à l’équation (1) ou (2)
B. Comportement des solutions de (2)
Solution d’équilibre : solution constante
0 est choisi comme solution d’équilibre si
, on dit qu’il y a équilibre stable
(Condition de stabilité)
12
C. Solutions particulières de (1)
Où
et P polynôme de degré p

Si µ n’est pas racine de
On cherche

sous la forme :
avec
Si µ est racine de
On cherche
sous la forme :
avec
D. Exemples (2)
(1)
–
(E.H)
,
S.P de (1) :
D’où
D’où
–
<->
–
Et
La donnée de
fixe
–
13
D’où
–
Et
–
(1)
–
(E.H)
–
S.P de (1),
–
Remarque :
solution générale de l’E.H, il suffit de chercher
Ici :
III.
Equation récurrente d’ordre 2
(E.C)
(E.H)
(1)
(2)
A. Résolution de (2)
14
sous la forme
L’ensemble des solutions de (2) est engendré par deux solutions indépendantes (non
proportionnelles). Ces deux solutions se cherchent sous la forme :
,
Est l’équation caractéristique associée à l’équation (1)
–
a)
admet deux racines distinctes
.
( )
Solution de (2) :
b)
, une racine double λ
(2)
:
Solution de (2) :
c)
, racines complexes conjugués,
La solution est :
On montre alors que
Alors
=2 parties réelles (
sont deux complexes conjugués
), (Re = parties réelles)
15
B. Comportement des solutions de (2)
Selon la nature de et (racines simples ou doubles, réelles ou complexes) la convergence de
se fera de façon monotone ou non, comportant des composantes oscillatoires ou non.
Equilibre stable si :
Soit si |
|< 1 et | |<1
C. Solutions particulières de (1)
, P polynôme de
On cherche
sous la forme
, Q polynôme



Si µ n’est pas racine de
Si µ est racine simple de
Si µ est racine double de
D. Exemples
1)
E.H :
Conditions initiales :

2)
a) (E.H)
16
b)
µ=2, racine simple de
;
c)
3)
(E.H)
SP de (1)
Ici
17
D’où

4)
(E.H)
 Solution particulière de l’équation complète (SPEC) : (-2) non racine de (*)
E. Application économique : Oscillateur économique de Samuelson
= consommation
= revenu national
= investissement induit par les variations de la consommation
= investissement autonome
Modèle de Samuelson : ses hypothèses
18
Remarque : SP de (1)
:
1 non racine de

Problème : étude de la stabilité du modèle
Résolution de (2)
–
1)
Deux racines réelles distinctes
2)
Une racine double lambda
3)
Deux racines complexes conjuguées
19
Comportement des solutions de (2)
 Propriété : les racines de
et seulement si
sont de modules strictement inférieurs à 1 si
Ici
Il faut donc comparer a :
1) d’une part à
2) d’autre part à
Etude de g(k) pour k>0
0
4
+
0
1
0
1
0
20
Courbe sur photocopie donnée en cours (Voir « Le PACK »)
21
SECTION III – ESPACE VECTORIELS
I.
Etude de la structure de R²
C’est une loi de composition interne vérifiant :
① + est commutative
Pour tous couples
② + est associative
Pour tous
En effet :
③ + admet un élément neutre : le couple nul
④ Tout élément
de
admet un symétrique : le couple
En effet :
22
⑤
est un groupe commutatif
Vérifiant :
①
En effet :
②
En effet :
③
En effet :
④
23
En effet :
II.
Espace vectoriel
K = R ou K=C
E : Ensemble
A. Définition
On dit que E à une structure d’espace vectorielle sur K si sur E sont définies deux fois :
1) Une loi de composition interne
2) Une loi de composition externe
Vérifiant :
a) (
) groupe commutatif
b) Pour tout éléments
de E, pour tout éléments




B. Exemples
+:
Groupe commutatif
Neutre
24
de K :
Symétrique de
=
b) l’ensemble des suites à valeurs de R
Car
L’ensemble des fonctions définies sur R à valeurs réelles est un espace réelles est un espace vectoriel
sur R,
–
C. Premières propriétés
25
Supposons
(3ème point)
(4ème point)
Conséquence :
1)
2)
26
III.
Sous espace vectoriel
A. Définition
F est un sous ensemble vectoriel de E si, muni des lois + et , il a une structure d’espace vectoriel sur
K.
B. Proposition
a) F est un sous espace vectoriel de E si et seulement si :



(F stable pour )
b) F est un sous espace vectoriel de E si et seulement si :
1)
2)
(F stable par combinaison linéaire)
Remarque : F étant un sous espace vectoriel
C. Exemples
2) Soient
27
P est un s.e.v de
P : plan vectoriel
D. Proposition
28
L’intersection de deux sous espaces vectoriels de E est un sous espace vectoriel de E
La réunion de deux sous espaces vectoriels de E n’est pas un sous espace vectoriel de E, en général.
Preuve : F et G sont deux s.e.v de E
s.e.v de E. En effet :
Soient
Soient
29
Définition :
On appelle espace vectoriel engendré par une partie A de E le plus petit espace vectoriel de E
contenant A. C’est l’intersection de tous les sous espaces vectoriels de E contenant A.
Exemple : L’espace engendré par
dans
, c’est
E. Somme de deux sous espaces vectoriels
Définition
Soient F et G deux sous espaces vectoriels de E. On appelle sommes des deux s.e.v F et G
Propositions
F+G est un sous ensemble vectoriel de E
Preuve : 1)
Définition
Soit E’=F+G
30
Tout vecteur de s’écrit
si, pout tout
unique on dit que la somme F+G est directe et on note
, cette décomposition est
E’=F+G
Propriété :
1) E’=F + G
Soit
L’unicité de la décomposition exige
Donc
F. Sous espaces vectoriels supplémentaires
Définition
Deux sous espaces vectoriels F et G d’un espace vectoriel E sont dit supplémentaires
Si E = F + G
Exemples
1)
31


IV.
Dépendance et interdépendance linéaire
A. Définitions
1) A est une famille libre ou linéairement indépendante si toute combinaison linéaire de vecteurs de
A égale à 0-> implique que tous les coefficients sont nuls.
Si
Dans le cas contraire, A s’appelle une famille liée.
Les vecteurs de A sont dits linéairement dépendants.
32
2) A
est une famille génératrice de E si tout vecteur de E s’écrit comme une
combinaison linéaire des vecteurs de A
B. Exemples
E=R²
1)
est libre (mais non génératrice de R²)
Car
B=
est génératrice de R²
Soit
B n’est pas libre
Il suffit de choisir
33
On obtient une combinaison linéaire des éléments de B dont les coefficients sont non nuls
.
C. Propriétés
a)
b) Si
c) Toute sur-famille d’une famille liée est liée.
Toute sur-famille d’une famille génératrice est génératrice
Toute sous-famille d’une famille libre est libre
D. Théorème (admis)
Si
est une famille génératrice et une famille libre,
E. Base d’un espace vectoriel
Définitions
Une base de E est une famille de E à la fois libre et génératrice.
Proposition
Soit B une famille génératrice.
B est une base si et seulement si tout vecteur de E s’écrit comme une combinaison linéaire des
vecteurs de B de manière unique.
Preuve :
1) On suppose B libre : B =
Soit
tel que
34
B libre
donc la décomposition est unique
2) On suppose :
Tout
s’écrit
(avec
) de façon unique
B est libre
Exemples
Dans
1)
2)
F. Dimension d’un espace vectoriel
Propriétés
Dans un espace vectoriel, toutes les bases ont les même nombre d’éléments.
Soit B et B’ deux bases de cardinaux respectif n et n’
35
B libre et B’ génératrice
B libre et B’ génératrice
Définition
Le cardinal commun à l’ensemble de toutes les bases de l’
Remarque
E s’appelle la dimension de l’
E.
est un espace vectoriel de dimension
Conséquences
Soit
un
de dimension
Tout système libre d’ordre
:
est une base, tout système générateur d’ordre
est une base.
G. Dimension des sous espaces vectoriels de E
Rang d’une famille de vecteurs
Définition : A étant une famille de vecteurs de E et F le
A la dimension de F
Exemple :
Dans
1) A =
F
… A est libre
engendré par A : A système générateur de F.
A base de F,
Rang A = 2
2) B
, base de
Espace engendré par B :
Rang B = 3
3) C =
Droite vectorielle de base
Rang C = 1
36
de E engendré par A, on appelle rang de
Théorème (admis)
F et G étant deux
d’un espace vectoriel E :
–
Cas particulier : Si
Exemple
Dans
1)
est un plan vectoriel (connu)
–
37
2)
est un plan vectoriel
3)
est une droit vectorielle
4)


38
39
Chapitre II
Applications linéaires
SECTION I – GENERALITES
I.
Généralités sur les applications linéaires
A. Définition
E et F étant deux espaces vectoriels sur K, une application
B. Proposition
F est linéaire si et seulement si :
C. Exemples
1)
a)
40
est dite linéaire si :
b)
2)
et
Soient
Remarque :

41
Symétrie par rapport à
, parallèlement à
D. Remarque
Pour toute application linéaire
On sait :
pour tout
pour tout
Choix
Donc
Ex :
Notations : L
L
: ensemble des applications linéaire de E vers F
: ensemble des applications linéaires de E vers lui même
E. Propriétés
1) On définit sur L
une addition et une multiplication externe.
Addition : +
L
,
L
L
,
Multiplication externe : *
L
,
L
:
42
L
espace vectoriel sur
2) Soit
L
et
L
L
. Alors
F. Image et noyau d’une application linéaire
43
Signé par :
(^)(^)
^ ^
(= - =)
(‘’) (‘’)
POOKIPOOKI
votre fidèle serviteur …
44
Bibliographie :
« Mathématique schématisées » DAMERON Jean Claude, Economica
« Analyse mathématique pour économistes » GUERRIEN, B – ARCHINARD, Economica
« Algèbre linéaire pour économistes »GUERRIEN, B, Economica
« Algèbre Exercices corrigés avec rappel de cours » LECOUTRE J.P. – PILIBOSSIAN P., Masson
« Algèbre linéaire pour économiste » PILLIER Alain, (Maxima)
« Cours de mathématiques pour économistes » MICHEL Philippe, Economica
45